分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基矩形板動(dòng)力響應(yīng)

寇 磊， 白 云

(同濟(jì)大學(xué) 地下與建筑工程系，上海 200092)

分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基矩形板動(dòng)力響應(yīng)

寇 磊， 白 云

(同濟(jì)大學(xué) 地下與建筑工程系，上海 200092)

基于彈性地基Pasternak雙參數(shù)模型，利用分?jǐn)?shù)階微分得到黏彈性地基雙參數(shù)模型，并在此基礎(chǔ)上建立采用分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型的雙參數(shù)黏彈性地基上彈性和黏彈性矩形板在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力方程；利用Galerkin方法和分段處理的數(shù)值計(jì)算方法求解四邊簡(jiǎn)支的彈性和黏彈性地基板的動(dòng)力方程，通過(guò)自由振動(dòng)算例驗(yàn)證該求解方法的正確性；并分析沖擊動(dòng)荷載作用下分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型的分?jǐn)?shù)階、粘滯系數(shù)、水平剪切系數(shù)和模量參數(shù)對(duì)位移響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：分?jǐn)?shù)階微分黏彈性模型可以描述不同黏彈性材料的力學(xué)行為；分?jǐn)?shù)階取值0.5前后，矩形板位移響應(yīng)值出現(xiàn)了不同的衰減發(fā)展形態(tài)；粘滯系數(shù)、水平剪切系數(shù)和模量系數(shù)取值越大，位移響應(yīng)衰減速度越快。

分?jǐn)?shù)階微分；黏彈性地基；雙參數(shù)模型；動(dòng)力響應(yīng)；參數(shù)影響

parametric influence

動(dòng)荷載作用下地基上板的動(dòng)力響應(yīng)是剛性路面板、機(jī)場(chǎng)跑道、船塢底板和碼頭平臺(tái)等實(shí)際工程中常見(jiàn)的一類問(wèn)題，因而得到了廣泛重視和大量研究[1-6]。目前，在研究地基與上部結(jié)構(gòu)相互作用的理論中，常采用的地基計(jì)算模型主要有Winkler模型、彈性半空間模型以及雙參數(shù)模型，雙參數(shù)模型即克服了Winkler模型中地基變形不連續(xù)的缺陷，又在數(shù)學(xué)計(jì)算上比半空間模型易于處理[5-7]；絕大多數(shù)研究在描述土體變形隨時(shí)間變化的流變性質(zhì)時(shí)采用流變經(jīng)驗(yàn)公式、流變?cè)Ｐ秃徒?jīng)典黏彈性模型，而實(shí)際天然地基土體的力學(xué)特性受眾多因素影響，其應(yīng)力與應(yīng)變呈現(xiàn)明顯的非線性及隨時(shí)間變化的特性；鑒于分?jǐn)?shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程[8]，采用分?jǐn)?shù)微積分來(lái)描述軟土的流變本構(gòu)關(guān)系逐漸得到廣泛應(yīng)用[9-13]。

本文基于分?jǐn)?shù)階微積分，建立雙參數(shù)黏彈性地基模型，在此基礎(chǔ)上對(duì)地基上薄板在動(dòng)荷載作用下進(jìn)行分析，并對(duì)影響動(dòng)力響應(yīng)的各個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論，為實(shí)際工程中地基與上部結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用分析提供理論基礎(chǔ)。

1 分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基矩形板受荷動(dòng)力方程

1.1 分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基

采用分?jǐn)?shù)階微積分理論中的Riemannn-Liouville 分?jǐn)?shù)階算子[14]，對(duì)于函數(shù)f(t)的α階微分定義為

(1)

設(shè)f(t)至少存在一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并令t0=0，式(1)展開(kāi)為

(2)

由式(2)可知，分?jǐn)?shù)階微分作用于函數(shù)f(t)等于Abel核Ir(t)與函數(shù)f(t)的廣義Stieltjes卷積。

對(duì)于黏彈性材料，其積分型本構(gòu)方程為

(3)

式中，J(t)為蠕變?nèi)崃浚沪?t)為應(yīng)力；ξ(t)為應(yīng)變。

由式(2)和式(3)可知, R-L分?jǐn)?shù)階微分與描述黏彈性材料的積分型本構(gòu)方程表達(dá)形式是一致的。

天然地基在荷載作用下的沉陷變形具有明顯的時(shí)間效應(yīng)，地基土體介于理想固體和理想流體之間，因而考慮采用分?jǐn)?shù)階微分描述地基土體的黏彈性特征更符合實(shí)際狀況。根據(jù)Pasternak 提出的雙參數(shù)彈性地基模型[15]，假定黏彈性地基土體在水平剪切層(x-y面)為均質(zhì)各向同性，并同時(shí)考慮地基在傳遞上部結(jié)構(gòu)變形時(shí)隨時(shí)間變化的影響，如圖1所示，得到剪切層每單位寬度上的剪切力為:

圖1 黏彈性地基雙參數(shù)模型Fig.1 The two-parameter viscoelastic foundation

(4)

式中，Nx、Ny為剪切力；τxz、τyz為剪應(yīng)力；Dα為R-L分?jǐn)?shù)階微分算子；μ為水平剪切系數(shù)，與剪切層變形有關(guān)；wd(x,y,t)為地基的沉陷。

根據(jù)Padovan得到的分?jǐn)?shù)階微分黏彈性本構(gòu)方程[16]，即

Sσ(t)=Qξ(t)

(5)

得到黏彈性地基土體豎向彈簧層的作用力為

R=S-1Qwd(x,y,t)

(6)

同時(shí)建立z方向力的平衡方程，即

(7)

將式(4)和式(6)代入方程(7)中，得到黏彈性地基與上部結(jié)構(gòu)之間的相互作用力q(x,y,t)，即:

q(x,y,t)=S-1Qwd(x,y,t)-μDα2wd(x,y,t)

(8)

若令式(5)中M=N=1,b1=0則式(5)簡(jiǎn)化為:

σ(t)=E0ξ(t)+E1Dαξ(t)=kξ(t)+ηDαξ(t)

(9)

式(9)稱為分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型，該模型由模量系數(shù)為k的Hook彈簧和粘滯系數(shù)為η含分?jǐn)?shù)階α的Newton粘壺并聯(lián)而成，如圖2所示。當(dāng)α=1時(shí)，即為經(jīng)典Kelvin模型。

圖2 分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型Fig.2 Fractional derivative Kelvin model

將式(9)代入式(8)得到采用分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型的q(x,y,t)的表達(dá)式，即

q(x,y,t)=kwd(x,y,t)+

ηDαwd(x,y,t)-μDα2wd(x,y,t)

(10)

1.2 雙參數(shù)黏彈性地基上黏彈性薄板受荷動(dòng)力方程

對(duì)于黏彈性地基上的均質(zhì)各向同性黏彈性薄板，設(shè)其體積變形為彈性變形，即

σkk(t)=3Kξkk(t)

設(shè)其純剪切變形符合分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型，即

Sij(t)=2(G+η′Dβ)eij

式中，K為體積模量；G為剪切模量；η′為黏性系數(shù)；Dβ為R-L分?jǐn)?shù)階微分算子。

根據(jù)薄板ξz=0得到

(11)

基于kirchhoff薄板理論，可得

(12)

當(dāng)?shù)鼗迳鲜軇?dòng)荷載p(x,y,t)作用，薄板的動(dòng)力控制微分方程為

(13)

式中，w(x,y,t)為板的變形；q(x,y,t)為地基與板之間的相互作用力；ρ，h為板的單位密度和厚度。

將式(12)和式(10)代入方程(13)，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件wd=w，得到采用分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型的雙參數(shù)黏彈性地基上黏彈薄板的動(dòng)力方程，即

(14)

1.3 雙參數(shù)黏彈性地基上彈性薄板動(dòng)力方程

對(duì)于黏彈性地基上的均質(zhì)各向同性彈性薄板，根據(jù)kirchhoff薄板理論，得到

(15)

將式(15)和式(10)代入方程(13)，得到采用分?jǐn)?shù)階微分Kelvin模型的雙參數(shù)粘彈性地基上彈性薄板的動(dòng)力方程，即

D4w+kw+ηDαw-μDα2w+

(16)

2 動(dòng)力方程求解

對(duì)于板四邊簡(jiǎn)支情況，如圖3，邊界條件為

初始條件為

圖3 四邊簡(jiǎn)支板Fig.3 Plate with four edges simply supported

由于非線性偏微分-積分方程(14)、(16)難以求解，采用Galerkin方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，在邊界條件下，方程(14)、(16)的解可展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)形式

(17)

將式(17)代入式(14)，得到：

AT″(t)+BT(t)+CDβT(t)+EDαT(t)=Ff(t)

(18)

式中，

將式(18)變化為

(19)

先計(jì)算方程組(19)出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)DβT(t)、DαT(t)，現(xiàn)以DαT(t)為例。

根據(jù)R-L分?jǐn)?shù)階微分的定義可知，設(shè)T(t)至少存在一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則

(20)

(21)

被積函數(shù)在S1的定義域中處處有定義，由復(fù)化梯形求積公式直接求得[17]。

n≥3

(22)

(23)

由式(20)、式(22)和式(23)求出分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)DαT(t)，同理求出分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)DβT(t)。對(duì)于方程組(19)，將計(jì)算時(shí)間t進(jìn)行離散t=nΔt，Δt為等距步長(zhǎng)；先用Euler方法計(jì)算起始3步的值，然后用改進(jìn)的四步Adams預(yù)估-校正算法進(jìn)行計(jì)算。

方程(16)同樣按上述方法進(jìn)行求解。

3 算例及參數(shù)討論

3.1 求解自由振動(dòng)

采用R-L分?jǐn)?shù)階微分算子的黏彈性振子的自由振動(dòng)，其微分方程及初始條件為[19]

(24)

式中，f(t)為位移函數(shù)；a，b為常數(shù)。當(dāng)α=1/2時(shí)，方程(24)的解析解為[17]

采用本文提出的分?jǐn)?shù)階微分?jǐn)?shù)值算法Matlab編程求解方程(24)，計(jì)算中選取a=0.2，b=1。并將計(jì)算結(jié)果與該方程的解析解進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖4 分?jǐn)?shù)階自由振動(dòng)的解析解與數(shù)值解對(duì)比Fig.4 The comparison between the analytical and numerical solution of fractional free vibration

從圖4可知,本文的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與精確解相當(dāng)吻合,從而驗(yàn)證了本文求解分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值方法的正確性。

3.2 求解沖擊動(dòng)載作用

放置在黏彈性地基上的四邊簡(jiǎn)支彈性矩形薄板，板中心處受到?jīng)_擊動(dòng)載作用，沖擊荷載采用半波余弦曲線表示，其荷載表達(dá)式為

p(x,y,t)=

式中,p0為加載峰值，T為荷載沖擊周期，x0，y0為板中心坐標(biāo)。

利用Matlab編程計(jì)算t=0～50 s的地基板中心的位移響應(yīng)及平行x軸的板中心軸線在t=25 s、t=50 s的位移響應(yīng)值。計(jì)算時(shí)選取p0=100 kN,T=0.1 s，板和地基相應(yīng)參數(shù)如表1。由于一階和高階Galerkin截?cái)嗟玫降膭?dòng)力學(xué)行為定性相同[20]，為簡(jiǎn)化計(jì)算，令m=1，n=1。計(jì)算結(jié)果如圖5、圖6所示。

表1 矩形板及地基參數(shù)

圖5 t=25s、t=50s時(shí)板中心軸線的位移響應(yīng)曲線Fig．5Thedisplacementcorrespondingcurvesofcentrallineoftheplateatt=25sandt=50s圖6 t=0-50s時(shí)板中心的位移響應(yīng)曲線Fig．6Thedisplacementcorrespondingcurvesoftheplatecenteratt=0-50s圖7 不同α取值時(shí)板中心位移響應(yīng)時(shí)間曲線Fig．7Thedisplacementcorrespondingcurvesattheplatecenterunderdifferentαvalue

由圖5可知，地基薄板在沖擊荷載作用下沿平行x軸的中心軸線的位移響應(yīng)以板中心位置兩端對(duì)稱分布，位移響應(yīng)值從端部向板中心區(qū)域發(fā)展，板中心位置達(dá)到最大值；隨著時(shí)間的發(fā)展，位移響應(yīng)值衰減明顯。由圖6可知，板中心的位移響應(yīng)值隨著沖擊荷載作用迅速增大，當(dāng)?shù)鼗宀辉谑軟_擊荷載作用即t>0.1 s后，位移值繼續(xù)增大，在t=7 s左右達(dá)到最大值，隨后位移振幅衰減明顯，但衰減周期保持不變。

3.3 參數(shù)分析

在沖擊荷載算例的基礎(chǔ)上，以下將逐一研究分?jǐn)?shù)階α、粘滯系數(shù)η、水平剪切系數(shù)μ和模量系數(shù)k對(duì)地基板動(dòng)力位移響應(yīng)的影響，在討論某一個(gè)參數(shù)時(shí)，其它參數(shù)值保持不變。

將分?jǐn)?shù)階α分別取為0.1、0.3、0.5、0.7，0.9，計(jì)算t=0～50 s時(shí)薄板中心處的位移響應(yīng)值及t=50 s時(shí)薄板平行x軸的板中心軸線的位移響應(yīng)值，計(jì)算結(jié)果如圖7、圖8所示。

由圖7可知，分?jǐn)?shù)階α值越大，板受到的阻尼越小，板中心位移響應(yīng)達(dá)到初始峰值的時(shí)間越長(zhǎng)，初始峰值也越大；隨著分?jǐn)?shù)階α值的不斷增大，由于板受到的阻尼不斷變小，位移振幅衰減周期越來(lái)越長(zhǎng)；當(dāng)α<0.5時(shí)位移響應(yīng)振幅的衰減明顯，當(dāng)0.5<α<1位移響應(yīng)振幅的衰減逐漸放緩。

圖8 t=50 s時(shí)板中心軸線的位移響應(yīng)曲線圖Fig.8 The displacement corresponding curves of central line of the plate of t=50 s under different α values

由圖8可知，分?jǐn)?shù)階α的取值對(duì)板的位移響應(yīng)發(fā)展形態(tài)有較大影響；分?jǐn)?shù)階α取值的不同，板中心軸線的位移響應(yīng)均以板中心位置兩端對(duì)稱分布，板中心為絕對(duì)值最大位置，但位移響應(yīng)的性質(zhì)卻發(fā)生了變化：當(dāng)α<0.5時(shí)位移響應(yīng)為正值，α值越大，同一位置處位移響應(yīng)越?。划?dāng)0.5<α<1時(shí)，位移響應(yīng)為負(fù)值，α值越小，同一位置處位移響應(yīng)越??；其中，當(dāng)分?jǐn)?shù)階α→1時(shí)逐漸退化為采用經(jīng)典Kelvin模型的薄板位移響應(yīng)情況。由以上分析可知，通過(guò)改變分?jǐn)?shù)階α值的大小可以反映不同黏彈性材料的力學(xué)行為，分?jǐn)?shù)階α值可以根據(jù)材料的流變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到，采用分?jǐn)?shù)階黏彈性模型比經(jīng)典黏彈性模型更能很好的反映黏彈性材料的力學(xué)性質(zhì)。

將粘滯系數(shù)η分別取為1 MN/m3、10 MN/m3、45 MN/m3、100 MN/m3，計(jì)算t=0～50 s時(shí)薄板中心處的位移響應(yīng)值，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，粘滯系數(shù)η值越大，板受到的阻尼越大，板中心位移響應(yīng)達(dá)到初始峰值的時(shí)間越短，初始峰值也越??；隨著粘滯系數(shù)η值的不斷增大，位移響應(yīng)振幅的衰減越來(lái)越劇烈，振幅衰減速度也越快，衰減周期越來(lái)越小。

將水平剪切系數(shù)μ分別取為0、100 MN/m3、250 MN/m3、500 MN/m3，計(jì)算t=0～50 s時(shí)薄板中心處的位移響應(yīng)值，計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

由圖10可知，當(dāng)μ=0即為Winkler模型的位移響應(yīng)值；水平剪切系數(shù)μ值越大，板受到的阻尼越大，板中心位移響應(yīng)達(dá)到初始峰值的時(shí)間越短，初始峰值也越??；隨著水平剪切系數(shù)μ的不斷增大，位移響應(yīng)振幅的衰減越來(lái)越劇烈，振幅衰減速度也越快，衰減周期越來(lái)越小。

將模量系數(shù)k分別取為5 MN/m3、20 MN/m3、50 MN/m3、100 MN/m3，計(jì)算t=0～50 s時(shí)薄板中心處的位移響應(yīng)值，計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

圖9 不同η取值時(shí)板中心位移響應(yīng)時(shí)間曲線Fig．9Thedisplacementcorrespondingcurvesattheplatecenterunderdifferentηvalue圖10 不同μ取值時(shí)板中心位移響應(yīng)時(shí)間曲線Fig．10Thedisplacementcorrespondingcurvesattheplatecenterunderdifferentμvalue圖11 不同k取值時(shí)板中心位移響應(yīng)時(shí)間曲線Fig．11Thedisplacementcorrespondingcurvesattheplatecenterunderdifferentkvalue

由圖11可知，模量系數(shù)k值越大，板中心位移響應(yīng)達(dá)到初始峰值的時(shí)間越短，初始峰值也越小；隨著模量系數(shù)k的不斷增大，位移響應(yīng)振幅的衰減越來(lái)越明顯，振幅衰減速度也變快，衰減周期越小。

4 結(jié) 論

基于分?jǐn)?shù)階微分理論、黏彈性理論和上部結(jié)構(gòu)與地基相互作用理論，研究了分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基矩形板的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題， 并討論了分?jǐn)?shù)階、粘滯系數(shù)、水平剪切系數(shù)和模量參數(shù)對(duì)位移響應(yīng)的影響，得到的主要結(jié)論有：

(1) 提出的求解分?jǐn)?shù)階微分雙參數(shù)黏彈性地基上薄板動(dòng)力方程的數(shù)值方法，可以推廣到求解黏彈性地基上其它結(jié)構(gòu)形式的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題；

(2) 分?jǐn)?shù)階微分黏彈性模型可以較大范圍描述不同黏彈性材料的力學(xué)行為；

(3) 薄板動(dòng)荷載作用下位移響應(yīng)值隨著時(shí)間的發(fā)展出現(xiàn)衰減現(xiàn)象；分?jǐn)?shù)階α取值在α=0.5前后，薄板位移響應(yīng)值出現(xiàn)了不同的衰減發(fā)展形態(tài)；粘滯系數(shù)η、水平剪切系數(shù)μ和模量系數(shù)k取值越大，薄板位移響應(yīng)衰減速度越快，衰減周期越小，其中，粘滯系數(shù)η、水平剪切系數(shù)μ起主導(dǎo)作用；

(4) 在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)不同地基土類型的力學(xué)特性，選取合理的分?jǐn)?shù)階微分黏彈性模型機(jī)確定其相應(yīng)參數(shù)的取值范圍。

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Dynamic response of rectangular plates on two-parameter viscoelastic foundation with fractional derivatives

KOU Lei, BAI Yun

(Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Based on a two-parameter Pasternak model of elastic foundation, a two-parameter model of viscoelastic foundation was derived by using fractional derivatives. The dynamic equations of elastic and viscoelastic rectangular plates on a two-parameter viscoelastic foundation with the fractional Kelvin model under dynamic loads were established. The dynamic equations of elastic and viscoelastic rectangular plates with four-edge simply supported were solved with Galerkin method and the segmented numerical method, the correctness of the solutions was verified with examples of free vibration. The influences of fractional order, viscosity parameter, horizontal shear coefficient and modulus of the fractional Kelvin model under an impact load on the displacement responses of the plates were analyzed. The results showed that the fractional derivative viscoelastic model can describe the mechanical behavior of different viscoelastic materials; the displacement responses of the rectangular plates have different attenuation forms before and after the fractional order value of 0.5; the attenuation speed of the displacement response increases with increase in viscosity coefficient, horizontal shear coefficient and modulus.

fractional derivative; viscoelastic foundation；two-parameter model; dynamic response；

教育部長(zhǎng)江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃 (IRT1029)

2013-03-25 修改稿收到日期：2013-05-30

寇磊 男，博士生，1983年5月生

TU44

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.025