超空泡運動體圓柱薄殼動力屈曲及可靠性分析

王杰方， 安偉光， 宋向華

(哈爾濱工程大學(xué) 航天工程系, 哈爾濱 150001)

超空泡運動體圓柱薄殼動力屈曲及可靠性分析

王杰方， 安偉光， 宋向華

(哈爾濱工程大學(xué) 航天工程系, 哈爾濱 150001)

首先將超空泡運動體模擬成受動態(tài)軸向載荷作用的圓柱薄殼，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性微分方程和動力不穩(wěn)定區(qū)域，然后考慮動態(tài)軸向載荷的隨機性，采用有限步長迭代法將給出的動力屈曲失穩(wěn)的多個安全余量方程線性化，并利用逐步搜索法找出有效的安全余量方程，最后結(jié)合逐步等效平面法計算了艙段動力屈曲的可靠性指標(biāo)。通過算例分別分析了載荷頻率、速度和載荷比例系數(shù)這三個隨機參數(shù)的變化對動力屈曲可靠性的影響。計算結(jié)果為如何選擇載荷頻率、速度和載荷比例系數(shù)的安全范圍提供了理論依據(jù)。

動力屈曲；可靠性；有限步長迭代法；逐步搜索法；逐步等效平面法

超空泡運動體是在低壓汽化或者人工通氣形成的超空泡中高速航行的運動體，其頭部空化器和水相互接觸所產(chǎn)生的阻力隨速度的二次方增長，結(jié)構(gòu)所承受的軸向載荷非常大，容易發(fā)生屈曲，另外，空泡形狀和尺寸的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致載荷隨時間變化，對于承受動態(tài)軸向載荷作用的圓柱薄殼結(jié)構(gòu)，一般來說，結(jié)構(gòu)只有軸向振動，但是，當(dāng)軸向載荷的擾動頻率與結(jié)構(gòu)橫向的固有頻率之間的比值存在某種關(guān)系時，圓柱薄殼結(jié)構(gòu)的橫向振動的振幅迅速增大，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)將喪失動力穩(wěn)定性。因此，研究超空泡運動體的動力屈曲問題是十分必要的。

目前，國內(nèi)外對超空泡運動體動力屈曲問題的研究主要有：Ruzzene[1]將超空泡運動體模擬成彈性的軸對稱殼體，采用Bolotin方法分析了各種軸向屈曲載荷和不同的殼體結(jié)構(gòu)形式下的動態(tài)屈曲穩(wěn)定性；Edward 等[2]用有限元法和多學(xué)科優(yōu)化方法改進了結(jié)構(gòu)的動態(tài)進了結(jié)構(gòu)的動態(tài)穩(wěn)定性；施連會等[3]用Bolotin方法對水下航行體的動力穩(wěn)定性問題進行了數(shù)值計算，并分析了載荷參數(shù)和航行體變化參數(shù)對主動力不穩(wěn)定區(qū)域的影響規(guī)律；宋向華等[4]對超空泡射彈的截錐形結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性進行了計算。運動體的靜力屈曲可靠性分析的文獻主要有：顧永維等[5]將超空泡運動體簡化為變截面梁，研究了其抗彎穩(wěn)定可靠性的問題；周凌等[6]將運動體的環(huán)向加肋艙段簡化為變厚度的圓柱薄殼，對其進行了屈曲可靠性分析，同時,周凌等[7]對超空泡運動體強度和穩(wěn)定性兩失效模式組成的串聯(lián)系統(tǒng)進行了非概率可靠性分析。

現(xiàn)有資料中，分析超空泡運動體的動力屈曲和靜力屈曲可靠性的文獻較多，但是分析動力屈曲可靠性的文獻極少，而實際情況下，與載荷相關(guān)的幾何參數(shù)、物理參數(shù)、流場參數(shù)等都存在隨機性，結(jié)構(gòu)的動力不穩(wěn)定區(qū)也存在隨機性，因此，在確定性動力屈曲分析的基礎(chǔ)上，研究超空泡運動體動力屈曲的可靠性是十分必要的。

文中將有限步長迭代法和逐步等效平面法相結(jié)合，將功能函數(shù)線性化，并計算結(jié)構(gòu)動力屈曲的可靠度指標(biāo)。有限步長迭代法對于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程收斂速度快、迭代精度高，而等效平面法能得到體系對應(yīng)的線性功能函數(shù)，有利于進一步結(jié)合其他子系統(tǒng)計算總系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)。另外，由于圓柱薄殼的動力不穩(wěn)定區(qū)的數(shù)目眾多，即動力屈曲的安全余量方程眾多，而實際影響結(jié)構(gòu)安全的只是那些離載荷頻率較近的不穩(wěn)定區(qū)域，稱為有效不穩(wěn)定區(qū)，因此，文中還將給出搜索有效安全余量方程的逐步搜索法。

1 超空泡運動體受力分析及動力穩(wěn)定性分析

1.1 超空泡運動體圓柱薄殼艙段受力分析

對于超空泡運動體水平向前運動時的動力屈曲分析，其受力可以簡化為軸向的均布載荷，即頭部阻力和尾部推力，二者大小相等，作用在頭部空化器的阻力[8]為

(1)

其中，ρw為流體密度，Ac是空化器的橫截面積，Cx是空化器的阻力系數(shù)，V是航行體的運動速度。零攻角時，圓盤空化器的阻力系數(shù)為

Cx=Cx0(1+σ)

(2)

Cx0=0.5+1.81(φ/360-0.25)-2(φ/360-0.25)2

(3)

(4)

其中，φ為空化器錐角，圓盤空化器的錐角180°，σ為空化數(shù)，pc為空泡內(nèi)壓力，p∞為環(huán)境壓力，其表達(dá)式為

p∞=ρwgH+p

(5)

其中，H為航行深度，p為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。

運動體在高速航行過程中，空泡形狀和尺寸的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致軸壓幅值p0隨時間變化，本文將這一動態(tài)的軸向載荷簡化為[1]

p(t)=p0+pδ(t)=p0+(1+δcosθt)

(6)

(7)

其中，p0為不隨時間變化的部分，pδ(t)為隨時間變化的部分，δ為擾動載荷的比例系數(shù)，是擾動載荷的幅值與載荷p0的比值，θ為擾動載荷的角頻率,dn為圓盤空化器的直徑。

1.2 動力穩(wěn)定性微分方程

根據(jù)符拉索夫的彈性殼體理論，適用于細(xì)長圓柱薄殼的殼體穩(wěn)定平衡方程應(yīng)滿足：

(1) 平衡方程中，在圓周切線方向考慮橫向剪切力的影響；

(2) 幾何方程中，在彎曲變形的幾何關(guān)系中計入切向位移的影響；

(3) 物理方程中，中面力中計入了彎曲變形的影響，而中面外的力中則計入了中面應(yīng)變的影響。

聯(lián)立平衡方程、幾何方程和物理方程，并引入函數(shù)Φ=Φ(α,β,t)，得到用Φ表示的圓柱薄殼艙段的穩(wěn)定平衡方程為[9]

(2+1)222Φ-

(8)

令Φ(α,β,t)=f(t)sinnαcoskβ(n=iπR/L)(薄殼兩端沒有徑向位移)，i,k取整數(shù)值，分別為軸向和周向的半波數(shù)，代入式(8)得到圓柱薄殼動力穩(wěn)定性微分方程為

(9)

其中，

g(n,k)=

從式(9)的量剛分析得，無彎矩狀態(tài)下的軸向內(nèi)力N1的量綱應(yīng)為N/m，即p(t)的量綱為N，文獻[3]中p(t)的量綱是N/m2，是錯誤的。

整理上式得

(10)

1.3 動力不穩(wěn)定區(qū)

上述方程即mathieu方程，它有一個重要的性質(zhì)：當(dāng)它的系數(shù)(Ωn,k,γ,θ)存在某些關(guān)系時，方程式具有無限增長的解，這些無限增長的解在參數(shù)平面上布滿了許多區(qū)域，即動力不穩(wěn)定區(qū)，根據(jù)Bolotin方法，圓柱薄殼的前三階動力不穩(wěn)定區(qū)域邊界為[10]

(11)

(12)

(13)

其中，θ11和θ12，θ21和θ22，θ31和θ32分別為第一、第二和第三階動力不穩(wěn)定區(qū)域的上邊界和下邊界。

文獻[3]給出了以速度V為變量的動力不穩(wěn)定區(qū)域，是二維的動力不穩(wěn)定區(qū)域，由式(7)可知，其他參數(shù)取定值時，p0取決于運動體的航行速度V，而p0決定了mathieu方程中的參數(shù)Ωn,k,γ，載荷比例系數(shù)δ決定了mathieu方程中的參數(shù)γ，因此，下文中給出的以V和δ兩者同時作為變量的三維動力不穩(wěn)定區(qū)域能更全面的反映不穩(wěn)定區(qū)的信息。

2 圓柱薄殼動力屈曲可靠性分析

2.1 動力屈曲安全余量方程

當(dāng)超空泡體動態(tài)軸向載荷的頻率落入動力不穩(wěn)定區(qū)間時，運動體將發(fā)生參數(shù)共振。圓柱薄殼動力屈曲可靠性分析即計算動態(tài)軸向載荷的頻率不落入結(jié)構(gòu)動力不穩(wěn)定區(qū)域的概率。從式(9)和式(11)～(13)可知，每組(i,k)分別對應(yīng)著三個動力不穩(wěn)定區(qū)域，圓柱薄殼艙段存在多個動力不穩(wěn)定區(qū)域，因此，圓柱薄殼動力屈曲可靠性分析相當(dāng)于多個安全余量方程的可靠性分析。每組(i,k)對應(yīng)的第一、二、三階動力不穩(wěn)定區(qū)域的功能函數(shù)形式一致，即

(14)

(15)

(16)

上述三式中，gi(X)<0，則動態(tài)軸向載荷的角頻率落入了動力不穩(wěn)定區(qū)域；結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲失效；gi(X)>0，則結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；gi(X)=0，則結(jié)構(gòu)有周期解，處于失效和可靠的臨界狀態(tài)。

2.2 動力屈曲可靠性分析方法

無論載荷頻率落入哪一個動力不穩(wěn)定區(qū)域，結(jié)構(gòu)都會失去穩(wěn)定性，因此，動力屈曲的可靠性分析等同于多個失效函數(shù)串聯(lián)的可靠性分析。對于串聯(lián)系統(tǒng)而言，對各失效函數(shù)失效概率貢獻最大的驗算點，對結(jié)構(gòu)體系失效概率的貢獻也最大。因此，近似計算串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率時，可利用有限步長迭代法將各失效模式的功能函數(shù)在各自的驗算點處線性化，并采用等效平面法計算結(jié)構(gòu)的動力屈曲指標(biāo)。相比一般的迭代法，有限步長迭代法[11]對于非線性程度較高的極限狀態(tài)方程收斂速度快、迭代精度高，而等效平面法[11]是將那些經(jīng)過有限步長迭代法線性化后的功能函數(shù)逐步等效，最終得到一個線性功能函數(shù)，這個線性功能函數(shù)中的常數(shù)項即為結(jié)構(gòu)的動力屈曲可靠性指標(biāo)，且這個線性功能函數(shù)有利于計算系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)。

對于第i個失效函數(shù)，有限步長迭代法在相互獨立的正態(tài)隨機變量空間中的迭代公式為

(17)

(18)

(j=1,2,…,n)

(19)

那么，經(jīng)有限步長迭代法線性化的功能函數(shù)為

其中，

對于串聯(lián)系統(tǒng)，其失效概率采用逐步等效平面方法計算。逐步等效平面法是通過兩兩極限狀態(tài)面的依次等效，逐步減少極限狀態(tài)面的數(shù)目，最后剩下一個極限狀態(tài)面時，即為系統(tǒng)的功能函數(shù)。由式(20)中Ai恒大于0，那么，考慮兩個失效函數(shù)的情形，其線性化功能函數(shù)的等效函數(shù)為

(21)

其中，(B11,B12,…,B1n)和(B21,B22,…,B2n)均為單位向量。

兩兩等效平面對應(yīng)的可靠指標(biāo)公式為

βe=βp=-Φ-1[Φ(-β1)+

Φ(-β2)-Φ2(-β1,-β2;ρ12)]

(22)

其中，Φ2(-β1,-β2;ρ12)計算方法[9]如下:

(23)

(24)

B1=-A1(-β1+A1)

(25)

(26)

等效后各隨機變量對可靠度指標(biāo)的敏感系數(shù)為

(27)

將敏感系數(shù)歸一化

(28)

兩個失效模式的等效線性功能函數(shù)為

(29)

2.3 逐步搜索法

有效不穩(wěn)定區(qū)域是指對動力屈曲可靠性指標(biāo)有主要影響的那些不穩(wěn)定區(qū)域，從2.1節(jié)可知，圓柱薄殼艙段存在多個動力不穩(wěn)定區(qū)域，精確計算超空泡運動體圓柱薄殼艙段的動力屈曲可靠度的過程應(yīng)為：對每組(i,k)取值所對應(yīng)的前三階動力不穩(wěn)定區(qū)域都給出其安全余量方程，再線性化這些安全余量方程，最后利用逐步等效平面法來計算動力屈曲可靠度。顯然，對于那些遠(yuǎn)離載荷頻率θ的動力不穩(wěn)定區(qū)域，其可靠性指標(biāo)很大，當(dāng)某一不穩(wěn)定區(qū)的可靠性指標(biāo)β≥βc(βc為有效可靠性指標(biāo))時，可以認(rèn)為這一不穩(wěn)定區(qū)對系統(tǒng)的動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響極小，分析它對系統(tǒng)可靠度的影響是完全不必要的。

本文給出如圖1所示的逐步搜索法的計算框圖，來篩選有效不穩(wěn)定區(qū)域。圖1中，取軸向最大半波數(shù)為a，周向最大半波數(shù)為b，搜索出a×b組振型對應(yīng)的3×a×b個不穩(wěn)定區(qū)中，影響動力屈曲可靠性指標(biāo)的有效不穩(wěn)定區(qū)域。圖1中，計算B1j,β1,B2j,β2,B3j,β3，采用式(17)～(20)的有效步長迭代法。搜索出有效的不穩(wěn)定區(qū)域后，采用式(21)～(29)計算圓柱薄殼的動力屈曲可靠性指標(biāo)即可。

圖1 逐步搜索法Fig.1 Step by step searching method

3 超空泡運動體圓柱薄殼艙段數(shù)值算例

超空泡運動體航行深度H=10 m，流場密度ρw=1 000 kg/m3，對于自然超空泡，空泡內(nèi)的飽和蒸汽壓pc=2 350 Pa(20℃)，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓p=101 325 Pa。圓柱薄殼艙段的幾何參數(shù)：R=0.2 m，L=4 m，h=3 mm，dn=0.2 m。材料物理參數(shù)：E=209 GPa，ρ=7 850 kg/m3，μ=0.3。

3.1 動力屈曲計算結(jié)果及分析

由1.2節(jié)可知，i=0時，p*→∞，γ→0，即載荷比例系數(shù)δ→0，相當(dāng)于受靜力載荷作用，不必進行動力屈曲及可靠性分析；計算表明，k=0時，f=θ/2π的最低值都在以上2 500 Hz，因此也不必進行動力屈曲及可靠性分析。

圖2(a)給出了i=1,k=1時，依賴于V、δ和f=θ/2π這三個參數(shù)的前三階動力不穩(wěn)定區(qū)域；圖2(b)給出了i=1,k=1時，前三階不穩(wěn)定區(qū)域?qū)挾茸兓瘓D。

圖2(a) i=1,k=1時動力不穩(wěn)定區(qū)域Fig.2(a) Dynamic unstable regions(i=1,k=1)

圖2(b) i=1,k=1時動力不穩(wěn)定區(qū)域?qū)挾菷ig.2(b) The width of dynamic unstable regions(i=1,k=1)

結(jié)論1(由圖2得到)：

速度和載荷比例系數(shù)增大，不穩(wěn)定的載荷頻率值減小，且第一階不穩(wěn)定載荷頻率減小的速度明顯大于后兩階；第一階動力不穩(wěn)定區(qū)域?qū)挾让黠@大于后兩階的寬度。因此，對于承受動態(tài)軸向載荷且高速運動的超空泡運動體而言，必須充分考慮第一階不穩(wěn)定區(qū)域?qū)τ诮Y(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性的影響，避免發(fā)生參數(shù)共振。

圖3給出i=2,k=1時，依賴V、δ和f=θ/2π這三個參數(shù)的前三階動力不穩(wěn)定區(qū)域；圖4給出i=3,k=1時的前三階動力不穩(wěn)定區(qū)域。

圖3 i=2,k=1時動力不穩(wěn)定區(qū)域Fig.3 Dynamic unstable regions(i=2,k=1)

圖4 i=3,k=1時動力不穩(wěn)定區(qū)域Fig.4 Dynamic unstable regions(i=3,k=1)

結(jié)論2(由圖2(a)、圖3、圖4得到)：

若周向半波數(shù)k不變，軸向半波數(shù)i增大時，圓柱薄殼艙段的前三階不穩(wěn)定區(qū)整體上移，且不穩(wěn)定區(qū)域的寬度逐漸減小，進一步計算k取2或3或更大的數(shù)值，且i增大時也能得到相同的結(jié)論，只是前三節(jié)動力不穩(wěn)定區(qū)整體上移的幅度比k=1時要小；但是，若取軸向半波數(shù)i不變，周向半波數(shù)k增大時，并不能得到以上結(jié)論。因此，在圖1的逐步搜索法中，以周向半波數(shù)k作為外循環(huán)，軸向半波數(shù)i作為內(nèi)循環(huán)是合理的。

3.2 動力屈曲可靠性計算結(jié)果及分析

經(jīng)過試算，高階振型對應(yīng)的動力不穩(wěn)定區(qū)域不僅頻率值較高而且寬度較小，實際結(jié)構(gòu)在運動過程中，其載荷的頻率值達(dá)不到那么高，這些不穩(wěn)定區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性影響很小，可以忽略。計算表明，圖1的逐步搜索法中，取a=5，b=5，βc=5.0是合理的。以f、V和δ作為基本隨機變量進行動力屈曲可靠性分析，考慮這三個隨機變量相互獨立且服從正態(tài)分布，它們的隨機參數(shù)見表1。

表1 隨機變量取值

輸入表1中的數(shù)據(jù)，采用圖1所示的逐步搜索法，搜索得到的有效的不穩(wěn)定區(qū)域數(shù)目為1，圓柱薄艙段的動力屈曲可靠度指標(biāo)β=3.266 1。

為了研究三個隨機變量的變異程度對動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響，現(xiàn)以表1中隨機參數(shù)為基準(zhǔn)，設(shè)為X0，各隨機參數(shù)的均值不變，將要研究的隨機變量的變異系數(shù)取0.75X0-2.0X0，其余隨機變量的變異系數(shù)仍為X0，得到如表2所示的動力屈曲可靠性指標(biāo)隨各隨機參數(shù)變異系數(shù)的變化值，“( )”中的數(shù)字為采用逐步搜索法得到的有效不穩(wěn)定區(qū)域的個數(shù)。

表2 動力屈曲可靠性指標(biāo)隨變異系數(shù)的變化值

結(jié)論3(由表2得到)：

① 載荷比例系數(shù)的變異系數(shù)對動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響極小，可以忽略；

② 軸向載荷圓頻率的變異系數(shù)越大，動力屈曲可靠性指標(biāo)越??；

③ 速度的變異系數(shù)越大，動力屈曲可靠性指標(biāo)越小。

為了研究三個隨機變量的均值對動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響，現(xiàn)以表1中隨機參數(shù)為基準(zhǔn)，設(shè)為Y0，各隨機參數(shù)的變異系數(shù)不變，將要研究的隨機變量的均值取表3中所示的值，其余隨機變量的均值仍為Y0，得到如表3所示的動力屈曲可靠性指標(biāo)隨各隨機參數(shù)均值的變化值，“()”中的數(shù)字為采用逐步搜索法得到的有效不穩(wěn)定區(qū)域的個數(shù)。

表3 動力屈曲可靠性指標(biāo)隨均值的變化值

結(jié)論4(由表3得到)：

① 載荷比例系數(shù)的均值對動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響極小，可以忽略；

② 軸向載荷圓頻率的均值位于110 Hz,150 Hz附近時，動力屈曲可靠性指標(biāo)相對較大，而位于100 Hz,130 Hz附近時，動力屈曲可靠性指標(biāo)相對較小，這說明軸向載荷圓頻率取某些范圍內(nèi)的值時，結(jié)構(gòu)動力屈曲可靠性指標(biāo)相對較大，結(jié)構(gòu)較安全，且這些范圍并不連續(xù)。

③ 速度的均值小于400 m/s時，動力屈曲可靠性指標(biāo)較大，結(jié)構(gòu)相對較為安全，而速度的均值大于450 m/s時，結(jié)構(gòu)會失效，因此，速度取某些范圍內(nèi)的值時，結(jié)構(gòu)較為安全。

4 結(jié) 論

從超空泡運動體的動力屈曲分析及可靠性分析的算例得出如下結(jié)論：

(1) 速度和載荷比例系數(shù)增大，不穩(wěn)定的載荷頻率值減小，且第一階不穩(wěn)定載荷頻率減小的速度明顯大于后兩階；

(2) 周向半波數(shù)不變，軸向半波數(shù)增大，圓柱薄殼艙段的前三階不穩(wěn)定區(qū)整體上移，且不穩(wěn)定區(qū)域的寬度逐漸減??；

(3) 速度和軸向載荷圓頻率的變異系數(shù)越大，動力屈曲可靠性指標(biāo)越小，載荷比例系數(shù)的變異系數(shù)對動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響極小，可以忽略；

(4) 載荷比例系數(shù)的均值對動力屈曲可靠性指標(biāo)的影響很小，可以忽略，軸向載荷圓頻率和速度的均值取某些范圍內(nèi)的值時，結(jié)構(gòu)動力屈曲可靠性指標(biāo)相對較大，結(jié)構(gòu)較安全。

綜上所述，本文的研究為如何選擇載荷頻率、速度和載荷比例系數(shù)的安全范圍提供了理論依據(jù)。還有利于計算總系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)。

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Dynamic buckling and reliability analysis of a cylindrical thin shell for supercavitating vehicles

WANG Jie-fang, AN Wei-guang, SONG Xiang-hua

(Department of Aerospace Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Firstly, a supercavitating vehicle was modeled as a cylindrical thin shell loaded with a axial dynamic load. The dynamic stability differential equations and the unstable regions of the shell were deduced. Secondly, the safety margin equations for its dynamic buckling were given and linearized with the limited step length iteration method considering the randomness of axial load. Then, the step-by-step searching method was proposed to search those effective safety margin equations. Finally, the reliability index of the dynamic buckling was calculated with the step-by-step equivalent plane method. Through numerical examples, the influences of change of load frequency, velocity and proportional coefficient of load on the dynamic buckling reliability were analyzed, respectively. The calculation results provided a theoretical basis for choosing the safety range of load frequency, velocity and proportional coefficient of load.

dynamic buckling; reliability; limited step length iteration method; step-by-step searching method; step-by-step equivalent plane method

國家科技部國際合作專項(2012DFR00070)

2013-01-28 修改稿收到日期：2013-05-22

王杰方 女，博士，1987年生

O342

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.005