行走激勵的傅里葉級數(shù)模型及其參數(shù)的實驗研究

陳 雋， 王浩祺， 彭怡欣,2

(1.同濟(jì)大學(xué)，上海 200092；2.香港理工大學(xué)，香港 紅磡)

行走激勵的傅里葉級數(shù)模型及其參數(shù)的實驗研究

陳 雋1， 王浩祺1， 彭怡欣1,2

(1.同濟(jì)大學(xué)，上海 200092；2.香港理工大學(xué)，香港 紅磡)

利用三維動作捕捉技術(shù)結(jié)合三向測力板，開展了7種不同步行頻率下行走激勵的動力特性實驗，得到73人次5 004條有效單足落步荷載曲線。利用實測的雙足重合的準(zhǔn)確時間點將單足落步荷載曲線拓展成連續(xù)時程曲線，進(jìn)而得到行走激勵豎向及橫向分量的傅里葉級數(shù)模型的前5階系數(shù)及相位角值。與其它國家現(xiàn)有模型的比較反映出了不同人群特性的差異，所建議模型可用于大跨工程結(jié)構(gòu)考慮行走作用的振動舒適度問題的設(shè)計與分析。

行走激勵；傅里葉級數(shù)模型；三維動作捕捉；動載因子

伴隨高強輕質(zhì)材料的廣泛應(yīng)用以及設(shè)計方法的進(jìn)步，大跨度樓蓋、大跨(人行)橋、長懸臂型結(jié)構(gòu)、空中連廊、超長樓梯等結(jié)構(gòu)型式在工程實踐中日趨流行。由于自振頻率降低及結(jié)構(gòu)阻尼減少，這些結(jié)構(gòu)在使用者的步行、跳躍、跑動或舞蹈等活動下會產(chǎn)生豎向或水平振動，嚴(yán)重時會引起結(jié)構(gòu)上其他使用者的不安甚至恐慌，形成人致結(jié)構(gòu)振動的舒適度問題[1-3]，也是大跨結(jié)構(gòu)設(shè)計中必須認(rèn)真考慮的控制性因素。

可靠的荷載模型是保障結(jié)構(gòu)分析準(zhǔn)確性的大前提。然而對于人致激勵如步行、跳躍等，國內(nèi)目前尚沒有相應(yīng)的荷載模型或取值標(biāo)準(zhǔn)。工程設(shè)計與計算分析中只能選用國外的激勵模型，如美國AISC[4]、英國CSTR43[5]、SCI-P354[6]、IABSE[7]等規(guī)范建議的模型，或者Blanchard等[8], Bachmann等[9], Kerr[10], Young[11], Petersen等[12]眾多學(xué)者在不同時期所提出的模型。不同模型間參數(shù)取值差別很大，除去早期實驗研究設(shè)備精度較差的原因外，不同國家成年人人體體征參數(shù)(身高、體重、體段質(zhì)心與慣性矩等)的顯著差異是另一個重要原因，并且已經(jīng)得到國內(nèi)外運動醫(yī)學(xué)等相關(guān)學(xué)科研究成果的證明[13-15]。因此，開展針對中國人行走特點的行走激勵動力特性的實驗與工程分析模型研究顯得十分迫切和必要。

為此，本文采用三維步態(tài)分析技術(shù)結(jié)合固定測力板，開展了73人次不同步頻下步行荷載特性的實驗測試工作，共得到5 004條有效單足落步荷載曲線，為目前文獻(xiàn)中最多的記錄。利用周期性對單足落步荷載曲線拓展后得到連續(xù)時程曲線，并進(jìn)而建議了行走激勵豎向與水平向分量的傅里葉級數(shù)模型中的參數(shù)與相位角取值。

1 實驗步驟與結(jié)果

1.1 實驗裝置

本研究實驗場所及裝置布置如圖1(a)所示，包括10個紅外攝像機(Vicon T40型)、兩塊高精度三維測力板(美國AMTI OR6-7型)和一塊2.1米長的足底壓力測試板(RSSCAN-Footscan型)。以上所有設(shè)備集成在Vicon步態(tài)分析測試系統(tǒng)，可實現(xiàn)同步測試與控制。

圖1 實驗室環(huán)境及測試者Fig.1 Experimental Setup and participant with markers

三維步態(tài)分析技術(shù)利用高速攝像機捕捉安裝在運動主體特征點處的若干反光標(biāo)記物(稱為Marker點，參見圖1(b))的三維運動軌跡。利用此技術(shù)，可在行走激勵測試中記錄實驗者的運動狀態(tài)，從而可準(zhǔn)確定義試驗者行走的速度、步距以及雙足重合時間等重要參數(shù)。此外，實驗室空間大小以及測力板前后放置的安排都充分考慮到了測試者能夠在實驗中采取舒適自然的步態(tài)，保證測得的步行力時程數(shù)據(jù)的可靠性。此前，國內(nèi)尚未有采用三維步態(tài)分析技術(shù)研究行走激勵的公開報道。

1.2 實驗步驟

已完成73名測試者的步行荷載實驗(59名男性及14名女性)，皆為健康成年人，基本信息如表1所示。按照醫(yī)學(xué)常用標(biāo)準(zhǔn)，測試者在實驗中共安裝有39個Marker點，如圖1(b)所示。

每位測試者共完成了7組步行工況的實驗，包括三組慢速、中速、快速的自選速度以及四組固定行走頻率為1.5、1.75、2.0和2.25 Hz的步行實驗。測試者行走方向如圖1(a)中箭頭所示，即圖中y方向為行走方向，x方向垂直于步行方向且平行于人體左右方向，z方向為垂直于測力板方向。每組工況重復(fù)6-7次，并確保每個工況能采集到有效數(shù)據(jù)(即兩足分別完整地踏在兩塊測力板上)。固定頻率步行以電子節(jié)拍器發(fā)出固定節(jié)拍的單音短響聲引導(dǎo)，測試者根據(jù)聲響踏節(jié)拍點步行。每完成一組測試工況，轉(zhuǎn)入下一組工況時，均給予測試者一定時間作預(yù)演適應(yīng)。詳細(xì)的實驗測點安裝、測試步驟與實驗過程的描述見文獻(xiàn)[16]。

表1 測試者統(tǒng)計數(shù)據(jù)

1.3 實驗結(jié)果

目前已完成73人次的行走激勵實驗，每組測試數(shù)據(jù)包括39個Marker點的軌跡，兩塊測力板上的單足落步荷載曲線，足底壓力板數(shù)據(jù)以及錄像資料。經(jīng)數(shù)據(jù)質(zhì)量檢驗，共得到5 004組有效單足落步荷載曲線時程記錄，各工況有效記錄情況見表2所示。

表2 各工況有效數(shù)據(jù)數(shù)量統(tǒng)計

Tab.2 Statistics of valid data for each condition

工況自由步行?固定頻率步行/HzSNF1．51．752．02．25N?725691683738736720711

*S，N和F分別表示慢速、中速、快速；N為各工況的有效數(shù)據(jù)數(shù)量

圖2(a)-(b)分別為某女性測試者(身高：1 670 mm，體重50 kg)在中速自由行走工況以及2.0 Hz固定頻率行走工況下，三維測力臺所記錄的行走激勵三個分量Fx,Fy和Fz的時程。各分量方向的定義見圖1(a)。圖中實線表示兩個三維測力臺的合力，虛線表示兩個測力臺分別錄得的單足落步荷載曲線。

圖2 典型實測結(jié)果Fig.2 Typical measurements of walking load

2 行走激勵的模型

2.1 傅里葉級數(shù)模型

行走激勵的豎向及水平側(cè)向分量的荷載模型，對于大跨樓蓋以及大跨度行人橋等振動舒適度分析具有重要的工程價值。假設(shè)步行過程是以單足落步荷載曲線為周期的重復(fù)過程，即忽略左右足的差別，將單足落步荷載曲線反復(fù)循環(huán)，則豎向Fz(t)及側(cè)向Fx(t)連續(xù)步行荷載在時域上可以表達(dá)為傅里葉級數(shù)的形式：

(1)

(2)

其中Fz(t)和Fx(t)分別為豎向和側(cè)向行走激勵；G為人的靜止重力；αzi和αxi分別為豎向和側(cè)向第i階傅里葉系數(shù)，也常稱為動載因子(Dynamic Loading Factor/DLF);fp為人的步行頻率；φzi和φxi分別為豎向和側(cè)向第i階諧波相位角；n為模型中考慮的階數(shù)。

傅里葉級數(shù)模型是現(xiàn)有的行走激勵模型研究中最為常見的一種。以此模型為基礎(chǔ)，許多研究者對動載因子DLF的取值作了研究。這種模型引入單步周期性假設(shè)，通過對單足落步荷載曲線按一定規(guī)律進(jìn)行拓展疊加求得連續(xù)時程曲線。對此，文獻(xiàn)[17]研究了由實測荷載曲線拓展連續(xù)時程曲線的方法。由于本實驗的動作捕捉技術(shù)已經(jīng)記錄到了第二步落足的時間點，因此可以準(zhǔn)確地將單足落步曲線拓展為連續(xù)的時程曲線，從而獲得DLF值及其相位角。

2.2 動載因子取值

利用實驗所得單足落步荷載曲線以及下一步的落足時間，首先將單步落足曲線拓展為連續(xù)曲線(文中取30步長度)。進(jìn)行歸一化處理后(即除以人體體重)，再求曲線的傅里葉幅值譜，對應(yīng)步頻及其倍頻處的譜值即為動載因子。典型連續(xù)時程曲線及其傅里葉幅值譜見圖3。按照上述步驟計算出了所有5 004條有效記錄的前五階DLF值，圖4(a)-(e)給出了計算所得豎向前五階動載因子隨步頻的變化。

圖3 典型連續(xù)時程曲線及其傅里葉幅值譜Fig.3 Typical continuous time history and its Fourier spectrum

根據(jù)本文實驗計算得的各階動載因子的均值示于表3。圖4給出了實驗所得的豎向第一階動載因子的分布規(guī)律。由圖看出，z方向動載因子比較離散，且大致呈現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布，高階動載因子規(guī)律與此基本相同?？紤]使DLF取值具有一定的保證率，得到的各階動載因子設(shè)計值列于表4(75%保證率情況)，式中fp為行走頻率。

圖4 第一階動載因子概率密度圖Fig.4 Probability density of first DLF

階數(shù)z方向x方向10．2358fp-0．26110．041320．07570．019930．0409/40．0355/50．0261/

表4 各階動載因子設(shè)計值

2.3 相位角取值

數(shù)據(jù)顯示，無論豎向還是橫向分量其相位角的實驗結(jié)果非常離散，與國外已有研究的實驗現(xiàn)象相同。因此，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計給出豎向及側(cè)向各階相位角的建議取值如下：對z方向，第一、四、五階相位角值分別取-π/4、π/4、π/2；對x方向，第一階相位角取π/3，其余各階相位角均取0。

3 所建議模型與現(xiàn)有國外步行荷載模型的比較

選取五種國外研究者所提出的步行荷載模型與本文模型進(jìn)行比較，表5列出了不同模型所建議的豎向分量的動載因子。需要指出，由于上述模型的實驗方法(測力板、單足落步荷載曲線拓展方式等)以及其系數(shù)是均值還是一定保證率下的設(shè)計值都不是非常明確，因此以下比較并不十分嚴(yán)格。這也從一個側(cè)面說明了實驗方法及測試人群特性的差異以及對行走激勵模型的影響。

五種模型中以Kerr[10]的博士論文的實驗研究最具有代表性，是英國規(guī)范以及Young[11]和 Zivanovic等[18]后續(xù)研究的基礎(chǔ)。Kerr共測試了882條單足落步荷載曲線，本研究的樣本數(shù)量遠(yuǎn)高于此。

圖5(a)-(e)給出了本文實驗的豎向DLF結(jié)果與其他模型對比。從圖5(a)可以看出，其他模型第一階動載因子大多略高于本文提出的均值。Kerr模型[10]的第一階動載在高步頻段有一個明顯的下降段，此后Young[11]將此段修正為平臺段。本文實驗中大部分測試者表示步頻高于2.25 Hz后較難保持自然的行走步態(tài)(表現(xiàn)為大于2.25 Hz的DLF值非常離散)。同時，自由步行工況中，步頻高于2.25 Hz的數(shù)據(jù)量甚少，也說明高步頻步行運動在自然步行狀態(tài)下出現(xiàn)頻率較低。

圖5 不同模型各階動載因子比較Fig.5 Comparison of DLFs from different models for each order

年份研究者動載因子步頻/Hz1977Blanchard等[8]αz1=0．257/1987Bachmann與Ammann[9]αz1=0．37，αz2=0．10，αz3=0．12，αz4=0．04，αz5=0．0821997AISC模型[4]αz1=0．5，αz2=0．2，αz3=0．1，αz4=0．051．6-8．81999Kerr等[10]αz1為步頻的三次函數(shù)，αv2=0．07/2000Young[11]αz1=0．41(fp-0．95)≤0．56αz2=0．069+0．0056fαz3=0．033+0．0064fαz4=0．013+0．0065f1-2．82005Petersen[12]αz1=0．073，αz2=0．138，αz3=0．018αz1=0．408，αz2=0．079，αz3=0．018αz1=0．518，αz2=0．058，αz3=0．0411．52．02．52007Zivanovic[18]αz1與αz2同Kerr[16]αz3=αz4=0．05αz5=0．03/2013本文αz1=0．2358f-0．2010αz2=0．0949αz3=0．0523αz4=0．0461αz5=0．03391．2-3

圖6 不同模型連續(xù)時程曲線比較Fig.6 Comparison of DLFs from different models for each order

圖5(b)-(e)表示不同模型高階動載因子的比較。第二階及第三階動載因子除Pertersen模型[12]及Young模型[11]外，其他模型均取常數(shù)。Young 模型[11]共取4階諧波，第二階至第四階動載因子都是關(guān)于步頻斜率接近0的直線。Kerr模型[10]取前4階諧波，Zivanovic等[18]將其發(fā)展至前5階。除AISC模型[4]外，其他模型的高階動載因子均與本文均值吻合較好，并低于本文設(shè)計值。

由不同研究者提出的步行荷載傅里葉級數(shù)模型確定的連續(xù)時程曲線對比示于圖6。計算時取步頻為2 Hz，假定行走者體重為700 N，可見曲線的峰值大小有一定的差異。

4 結(jié) 論

利用新穎的三維動作捕捉技術(shù)結(jié)合測力板開展了針對中國人行走特點的行走激勵動力特性系列實驗。利用實驗獲得的5 004條單足落步曲線并基于傅里葉技術(shù)模型，提出了連續(xù)行走激勵的豎向與水平向分量的動載因子和相位角取值建議，可供工程設(shè)計與分析參考使用。

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Experimental investigation on Fourier-series model of walking load and its coefficients

CHEN Jun1，WANG Hao-qi1，PENG Yi-xin1,2

(1.Tongji University, Shanghai 200092，China；2. The Hong Kong Polytechnic University, Hung Hom, Hong Kong, China)

Using a three-dimensional human motion capture system and three-dimensional force plates, a series of experiments on dynamic properties of human-induced walking load with seven different walking frequencies were conducted. 73 persons participated in the experiments to acquire 5 004 record curves of single-footfall trace. The continuous time history of walking load was synthesized with single-step force curves by using the measured correct time points for two-fool-reclosing. Based on experimental measurements, the coefficients and phase angles of the first five orders of Fourier-series models for both vertical and lateral walking load components were achieved. Comparing this model with existing models of other countries, the difference among different nations’ characteristics were reflected. The proposed model could be used for structural design and analysis of long-span structures considering the problems of serviceability caused by human walking.

human walking load; Fourier series model; 3D motion capture; dynamic load factor

國家自然科學(xué)基金(51178338);上海市自然科學(xué)基金(11ZR1439800)

2013-05-03 修改稿收到日期：2013-06-21

陳雋 男，博士，教授，博導(dǎo)，1972年4月生

TU312+.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.003