修正的邊界強(qiáng)度過程模型及其應(yīng)用

任麗娜，芮執(zhí)元，李建華＋，李海燕

（1．蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；2．電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，四川 成都 611731）

0 引言

數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)估技術(shù)是機(jī)床可靠性工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。目前，數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)估方法主要有基于性能退化信息的可靠性評(píng)估法［1－2］和基于現(xiàn)場(chǎng)故障信息的可靠性評(píng)估法［3－6］兩類。前者由于采用仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，很難實(shí)際應(yīng)用；而后者由于采用現(xiàn)場(chǎng)故障信息驗(yàn)證模型，可以實(shí)時(shí)地對(duì)服役中的機(jī)床可靠性進(jìn)行評(píng)估，為工程實(shí)際中維修、保修策略的合理制定提供依據(jù)。但在最小維修假設(shè)下，現(xiàn)有的基于現(xiàn)場(chǎng)故障信息的可靠性評(píng)估模型在用于評(píng)估進(jìn)入耗損期的數(shù)控機(jī)床可靠性時(shí)，仍存在兩方面的問題：①模型在零時(shí)刻時(shí)的故障強(qiáng)度為零，這與工程實(shí)際不符，這是因?yàn)殚_始對(duì)現(xiàn)場(chǎng)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行采集時(shí)，機(jī)床已經(jīng)或即將進(jìn)入耗損期，由于磨損、疲勞及老化等因素，數(shù)據(jù)采集初始時(shí)刻故障強(qiáng)度一般不為零，即此時(shí)機(jī)床一般不是“完美無缺”的；②在機(jī)床服役時(shí)間無限增加的同時(shí)，故障強(qiáng)度也無限增大，實(shí)際上，由于頻繁地對(duì)系統(tǒng)故障零部件進(jìn)行維修，將導(dǎo)致各零部件的工作時(shí)間構(gòu)成隨機(jī)組合變量，致使系統(tǒng)故障強(qiáng)度隨著工作時(shí)間的增加趨向于某一穩(wěn)定值，而非無限增大［7］。因此，若采用上述方法對(duì)數(shù)控機(jī)床可靠性進(jìn)行評(píng)估，將導(dǎo)致準(zhǔn)確度低，易造成制定不合理的維修策略等問題，因此必須尋求一種更加符合工程實(shí)際的機(jī)床可靠性評(píng)估新方法。

邊界強(qiáng)度過程（Bounded Intensity Process，BIP）模型是Pulcini［8］提出的一種2參數(shù)非齊次泊松過程模型，適合描述處于可靠性惡化階段的數(shù)控機(jī)床故障過程［9］，該模型后期故障強(qiáng)度雖不是無限增大，但初始時(shí)刻故障強(qiáng)度為零。因此，根據(jù)進(jìn)入耗損期的數(shù)控機(jī)床故障機(jī)理，在BIP模型的基礎(chǔ)上引入位置參數(shù)，提出一種數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)估的新方法。

1 模型建立

BIP模型是數(shù)控機(jī)床可靠性分析的備選模型之一，它強(qiáng)調(diào)故障強(qiáng)度λ（t）在機(jī)床服役時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)為一有界增函數(shù)，而非無限增大，強(qiáng)度函數(shù)

式中λ（t）表示系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，顯然，當(dāng)t＝0時(shí)，λ（t）t＝0＝0，表示系統(tǒng)在該時(shí)刻是完美的；當(dāng)t→∞時(shí)，λ（t）t→∞＝α，α即系統(tǒng)的最大故障強(qiáng)度。則系統(tǒng)在［0，t］區(qū)間內(nèi)的期望故障數(shù)，即累積故障強(qiáng)度函數(shù)為

考慮到浴盆曲線的損耗階段之前是偶然故障階段，故障強(qiáng)度不為零，因此，為更好地解決工程實(shí)際問題，本文在BIP模型的基礎(chǔ)上引入位置參數(shù)，提出修正的BIP（Modified BIP，MBIP）模型，其強(qiáng)度函數(shù)

式中λ0為系統(tǒng)初始時(shí)刻的故障強(qiáng)度，其倒數(shù)即為系統(tǒng)初始時(shí)刻的瞬時(shí)平均故障間隔時(shí)間，反映了初始時(shí)刻瞬間的可靠性水平。當(dāng)t＝0時(shí)，λ（t）t＝0＝λ0，當(dāng)t→∞時(shí)，λ（t）t→∞＝λ0＋α，顯然，當(dāng)λ0＝0時(shí)，模型退化為BIP模型。相應(yīng)的MBIP模型累積故障強(qiáng)度函數(shù)為

模型中參數(shù)λ0，α和β的意義如下：λ0＋α為系統(tǒng)故障強(qiáng)度λ（t）的最大值；參數(shù)β為故障強(qiáng)度以初始速率從初始強(qiáng)度λ0增加到漸近值λ0＋α所經(jīng)歷的時(shí)間，且其大小決定著故障強(qiáng)度的初始增加速率，β值越小，故障強(qiáng)度增加得越快，直到接近λ0＋α值為止。

按文獻(xiàn)［6］中的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)，MBIP模型強(qiáng)度函數(shù)λ（t）也呈“上凸”形狀，這與處于耗損期的數(shù)控機(jī)床故障特性相符，且按文獻(xiàn)［10］中的理論，可以證明該模型也是非齊次泊松過程模型的一種，可以作為數(shù)控機(jī)床可靠性分析的備選模型之一。

2 免疫克隆極大似然估計(jì)

2．1 模型參數(shù)的極大似然估計(jì)

設(shè)單一系統(tǒng)在故障觀察區(qū)間［0，T］的故障時(shí)間為t0，t1，t2，…，tn，其中，tn＝T 時(shí)為故障截尾試驗(yàn)，tn≠T時(shí)為時(shí)間截尾試驗(yàn)，則故障時(shí)間ti的條件概率密度函數(shù)

則系統(tǒng)故障時(shí)間（時(shí)間截尾）的似然函數(shù)為：

式中：R（·）為系統(tǒng)條件可靠度函數(shù)，F(xiàn)為故障截尾數(shù)據(jù)集，C為時(shí)間截尾數(shù)據(jù)集，當(dāng)tn＝T 時(shí)，R（T丨tn）＝1。

那么，若有m臺(tái)工作環(huán)境相近的同型數(shù)控機(jī)床，其中，第j臺(tái)機(jī)床在觀測(cè)時(shí)間［0，Tj］發(fā)生了nj個(gè)故障且第i個(gè)故障發(fā)生時(shí)間為tj，i（i＝1，2，…，nj；j＝1，2，…m），它按照時(shí)序的故障時(shí)刻為0＜tj，1＜tj，2＜…＜tj，nj≤Tj。則對(duì)于m 臺(tái)同型數(shù)控機(jī)床，其似然函數(shù)及對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別為：

m

分別對(duì)上式參數(shù)λ0和α求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得

比較式（4）與式（10）可以看出，直到觀察結(jié)束時(shí)間Tj，系統(tǒng)的期望故障數(shù)似然估計(jì)之和等于在觀察區(qū)間所統(tǒng)計(jì)的所有故障數(shù)，即。由式（10）可得

因此，將式（11）代入式（8），可以得到一個(gè)含有兩個(gè)參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

2．2 基于免疫克隆選擇算法的參數(shù)極大似然估計(jì)

通常情況下，參數(shù)的極大似然估計(jì)可采用迭代的方法獲取，但該方法需設(shè)定初值并反復(fù)迭代，若初值選擇不合理，則可能陷入局部極值。另外，在求解多參數(shù)模型時(shí)，該方法計(jì)算復(fù)雜、準(zhǔn)確度低。因此，將式（12）取負(fù)數(shù)并最小化作為目標(biāo)函數(shù)，將參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，不失為一個(gè)好的方法，則該問題的數(shù)學(xué)模型（優(yōu)化模型）為：

問題：對(duì)數(shù)似然函數(shù)最大，即min（－lnL）。

常見的求解約束優(yōu)化問題的算法為懲罰函數(shù)法，該算法雖然簡(jiǎn)單，但罰因子選取困難，過大或過小都不能得到最優(yōu)解。而人工免疫克隆選擇算法作為一種新型的智能優(yōu)化算法［11］，通過模擬生物免疫系統(tǒng)的克隆選擇過程對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，且優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)無需連續(xù)、可微等苛刻的條件，具有較強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)性，比較適合于處理約束優(yōu)化問題；另一方面，從算法的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜性來看，克隆選擇算子涉及到基因位的操作算子只有克隆變異算子，因此實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單易行，適用于解決帶有約束條件的非線性數(shù)值優(yōu)化問題。因此，本文采用免疫克隆選擇算法求解模型參數(shù)的極大似然估計(jì)，其基本流程［12］如圖1所示。在隨機(jī)產(chǎn)生初始抗體群后，首先將計(jì)算抗體和抗原的親和度定義為計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)值，其次選擇和抗原親和度最高的n個(gè)抗體，并對(duì)所選抗體進(jìn)行克隆擴(kuò)增、變異及選擇操作，將變異后的抗體群中親和度最低的m個(gè)抗體用該群中隨機(jī)產(chǎn)生的m個(gè)抗體替換，則形成新一代的抗體群，克隆算子操作流程如圖2所示。當(dāng)收斂條件滿足時(shí)，退出并輸出結(jié)果，否則繼續(xù)計(jì)算。

2．3 修正的邊界強(qiáng)度過程下的可靠性指標(biāo)

常用的可靠性指標(biāo)有4個(gè)，分別為累積故障強(qiáng)度函數(shù)M（t）、瞬時(shí)平均故障間隔時(shí)間tIMTBF、累積平均故障間隔時(shí)間tCMTBF和給定時(shí)刻的可靠度R（t）。

（1）累積故障強(qiáng)度函數(shù)M（t）

由式（4）可知成立，

表示系統(tǒng)在［0，t］區(qū)間的期望故障數(shù)。

（2）瞬時(shí)平均故障間隔時(shí)間tIMTBF

定義瞬時(shí)平均故障間隔時(shí)間tIMTBF為故障強(qiáng)度的倒數(shù)，即

式中λ（t）表示系統(tǒng)單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，其倒數(shù)則為系統(tǒng)發(fā)生一次故障所經(jīng)過的時(shí)間間隔。因此，tIMTBF表示可修系統(tǒng)在時(shí)刻t瞬間的可靠性水平。

（3）累積平均故障間隔時(shí)間tCMTBF

為了描述系統(tǒng)在區(qū)間［0，t］中的狀況，定義累積平均故障間隔時(shí)間

（4）給定時(shí)刻的可靠度R（t）

由（4）式得可靠度函數(shù)

因此，得到模型參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)后代入式（13）～式（16），即可得到相應(yīng)的4個(gè)可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)。

3 模型應(yīng)用

實(shí)例1 文獻(xiàn)［9］分別采用BIP模型及PLP模型分析了8臺(tái)同型號(hào)數(shù)控機(jī)床的33個(gè)故障數(shù)據(jù)（累積故障時(shí)間），其中包括8個(gè)時(shí)間截尾數(shù)據(jù)，其后標(biāo)有“＋”符號(hào)，如表1所示。

表1 8臺(tái)同型號(hào)數(shù)控機(jī)床的故障數(shù)據(jù)

文獻(xiàn)［9］經(jīng)計(jì)算，已證明8臺(tái)同型數(shù)控機(jī)床進(jìn)入耗損階段，因此，可以采用本文提出的MBIP模型對(duì)上述數(shù)控機(jī)床故障過程進(jìn)行分析。不同模型的計(jì)算結(jié)果如表2所示，不難看出，MBIP模型優(yōu)于BIP模型，且采用免疫克隆選擇算法計(jì)算MBIP模型的結(jié)果最優(yōu)，模型初始時(shí)刻故障強(qiáng)度λ0＝3．169×10－4，即故障信息采集初始時(shí)刻機(jī)床有突發(fā)故障的風(fēng)險(xiǎn)，但該值相對(duì)系統(tǒng)最大故障強(qiáng)度λ0＋α＝4．46×10－3稍小，這可能是因?yàn)闄C(jī)床剛剛進(jìn)入耗損期，系統(tǒng)各零部件損傷的程度相對(duì)較小或機(jī)床剛剛經(jīng)歷過維修，及時(shí)更換了部分損傷零部件的緣故。

表2 不同模型計(jì)算結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證MBIP模型即為最佳模型，還需對(duì)模型擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，定義擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)指標(biāo)［13］

式中：Ni為i時(shí)刻的實(shí)際累積故障數(shù)為期望故障數(shù)的估計(jì)值，R值越大，則模型擬合程度越好。對(duì)于多臺(tái)數(shù)控機(jī)床，Ni可由理論平均累積故障數(shù)代替，按 Kvaloy［14－15］提出的方法，理論平均累積故障數(shù)計(jì)算表達(dá)式為：

式中ri，j為時(shí)刻ti，j尚在工作的系統(tǒng)數(shù)，i＝1，2，…，nj，j＝1，2，…，m。

對(duì)于多臺(tái)機(jī)床，如果包含截尾數(shù)據(jù)，且截尾數(shù)據(jù)和非截尾數(shù)據(jù)大小相同，則在故障時(shí)間順序統(tǒng)計(jì)量的排列中，非截尾數(shù)據(jù)排在前，截尾數(shù)據(jù)排在后；若具有多個(gè)相同的截尾數(shù)據(jù)（或非截尾數(shù)據(jù)），則這些相同數(shù)據(jù)可任意排列。利用該方法對(duì)本文故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其平均累積故障函數(shù)的估計(jì)值如圖3所示。

經(jīng)計(jì)算，不同模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示，顯然，采用免疫克隆選擇算法計(jì)算的MBIP模型擬合結(jié)果最優(yōu)，說明在對(duì)處于耗損期的數(shù)控機(jī)床可靠性進(jìn)行分析時(shí)，在故障信息采集初始時(shí)刻，有必要考慮磨損、疲勞及老化等因素對(duì)機(jī)床可靠性的影響。累積故障數(shù)擬合曲線如圖3所示，從圖中可以看出，MBIP模型對(duì)機(jī)床的首次故障擬合較好，大約在首次故障后和1 150h之間，可能由于該階段機(jī)床維護(hù)好，可靠性相對(duì)較高，MBIP模型的擬合效果略次于BIP模型，而后隨著運(yùn)行時(shí)間的增加，系統(tǒng)逐漸惡化，MBIP模型的擬合效果更優(yōu)，整體上來說，MBIP模型更符合工程實(shí)際。另外，在采用免疫克隆算法和迭代算法對(duì)模型參數(shù)的極大似然函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)時(shí)，隨著模型參數(shù)的增加，免疫克隆算法比迭代算法計(jì)算效率高、準(zhǔn)確度高且容易實(shí)現(xiàn)。

圖4所示為MBIP模型故障強(qiáng)度函數(shù)圖，可見，其故障強(qiáng)度在t＝0時(shí)不為零，在t→∞時(shí)有一漸近邊界。

MBIP模型和BIP模型可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)如表3所示。從表中可以看出，機(jī)床運(yùn)行至2 500h時(shí)，MBIP模型的累積平均故障間隔時(shí)間雖高于BIP模型，但由于初始時(shí)刻故障強(qiáng)度不為零，與其相對(duì)應(yīng)的平均可靠度低于BIP模型，因此，若按BIP模型描述該組數(shù)控機(jī)床的故障過程，則可能會(huì)造成制定不合理的維修策略，從而影響企業(yè)生產(chǎn)效率。不同模型的可靠性指標(biāo)曲線如圖5所示。

表3 MBIP模型和BIP模型可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)

實(shí)例2 某機(jī)床廠單臺(tái)數(shù)控機(jī)床的故障時(shí)間數(shù)據(jù)如表4所示，表中最后一個(gè)數(shù)據(jù)為故障截尾時(shí)間。

表4 單臺(tái)數(shù)控機(jī)床的故障截尾數(shù)據(jù)

首先，按照總時(shí)間檢驗(yàn)（Total Time on Test，TTT）法［16］，對(duì)上述數(shù)控機(jī)床的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)檢驗(yàn)，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，所有散點(diǎn)均分布在單位正方形對(duì)角線的上方，表明數(shù)控機(jī)床故障強(qiáng)度增大，正處于“耗損期”的階段。

另外，采用威布爾過程模型建模，得模型形狀參數(shù)b＝1．590 2，也表明數(shù)控機(jī)床已進(jìn)入損耗階段。因此，可以采用本文提出的修正的邊界強(qiáng)度過程模型對(duì)其可靠性進(jìn)行分析。不同模型的計(jì)算結(jié)果如表5所示，累積故障數(shù)擬合曲線如圖7所示，從表5和圖7可見，MBIP模型的擬合效果優(yōu)于BIP模型，且采用免疫克隆算法計(jì)算的MBIP模型最優(yōu)，模型初始時(shí)刻故障強(qiáng)度λ0＝0．001，說明機(jī)床初始時(shí)刻瞬時(shí)發(fā)生一次故障所需的時(shí)間為1 000h，而BIP模型假設(shè)初始時(shí)刻瞬時(shí)發(fā)生一次故障的時(shí)間為無窮大，顯然不合理，因此，MBIP模型更符合工程實(shí)際。MBIP模型的故障強(qiáng)度曲線如圖8所示。

表5 不同模型計(jì)算結(jié)果

表6所示為MBIP模型和BIP模型可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)，圖9所示為不同模型的可靠性指標(biāo)曲線，顯然，在機(jī)床運(yùn)行至7 511．75h時(shí)，MBIP模型得出的機(jī)床平均可靠性水平低于BIP模型，因此，為優(yōu)化使用機(jī)床，應(yīng)以MBIP模型給出的結(jié)果作為參考，制定維修、保修方案。

表6 MBIP模型和BIP模型可靠性指標(biāo)的點(diǎn)估計(jì)

4 結(jié)束語

為提高最小維修假設(shè)下數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)估的準(zhǔn)確性，本文根據(jù)數(shù)控機(jī)床的故障特性，對(duì)邊界強(qiáng)度過程模型進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的非齊次泊松過程模型，該模型不但考慮了頻繁的維修對(duì)機(jī)床可靠性的影響，而且考慮了進(jìn)入耗損期后機(jī)床的故障機(jī)理，更適合用于解決工程實(shí)際問題。但由于位置參數(shù)的引入，增加了模型參數(shù)估計(jì)的難度，本文將參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，利用免疫克隆選擇算法給出了模型參數(shù)的極大似然估計(jì)，取得了較準(zhǔn)確的結(jié)果。為驗(yàn)證本文所提方法的有效性，分別對(duì)多臺(tái)同型數(shù)控機(jī)床的時(shí)間截尾數(shù)據(jù)和單臺(tái)數(shù)控機(jī)床的故障截尾數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果表明，MBIP模型擬合結(jié)果更優(yōu)，為合理地制定維修、保修計(jì)劃提供了一定的理論依據(jù)。

MBIP模型屬于數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型范疇，相對(duì)于故障物理模型，其技術(shù)實(shí)現(xiàn)相對(duì)容易，但評(píng)估結(jié)果相對(duì)宏觀。因此，發(fā)展基于故障物理的可靠性評(píng)估方法，可作為下一步的工作重點(diǎn)進(jìn)行深入研究。

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