基于低偏差序列樣本的裝配公差分析方法

張 巖，莫 蓉

（西北工業(yè)大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072）

0 引言

對(duì)飛機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)等高精度復(fù)雜產(chǎn)品而言，在批產(chǎn)之前需要研制大量的研制批產(chǎn)品，研制過(guò)程中存在著高精度、裝配結(jié)構(gòu)復(fù)雜、周期短、多迭代修改等特點(diǎn)和要求。作為連接設(shè)計(jì)、制造、裝配的紐帶，高精度復(fù)雜產(chǎn)品尺寸及公差信息不僅是保證產(chǎn)品精度的關(guān)鍵，還會(huì)影響產(chǎn)品的制造成本和研發(fā)周期。對(duì)高精度復(fù)雜產(chǎn)品而言，其公差分析方法除了要滿(mǎn)足產(chǎn)品功能、性能、外觀和可裝配性等要求，能合理定義和分配各組成環(huán)的公差，確定裝配后須保證的封閉環(huán)公差外，還需要具備較高的計(jì)算精度和效率，以滿(mǎn)足不斷提升的產(chǎn)品研制需求。一般來(lái)說(shuō)，公差分析主要包括公差數(shù)值分析（及封閉環(huán)尺寸計(jì)算）和裝配成功率的估算等關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

公差數(shù)值分析法主要有極值法和統(tǒng)計(jì)公差法。極值法建立在零件100%互換的基礎(chǔ)上，是尺寸鏈計(jì)算的一種最簡(jiǎn)單的方法。但實(shí)際上尺寸鏈中各組成環(huán)和封閉環(huán)的尺寸公差是隨機(jī)變量，按極值法計(jì)算的公差必然過(guò)于保守，使組成環(huán)公差減小，零件加工精度要求提高，制造成本增加。而統(tǒng)計(jì)公差法包括方和根法、卷積法、田口實(shí)驗(yàn)法和Monte Carlo法等［1－5］。方和根法局限于假設(shè)各零件的公差服從正態(tài)分布、置信水平為99．73%，且裝配公差與零件公差之間呈線性關(guān)系的前提；卷積法在理論上對(duì)于組成環(huán)任何分布、各置信水平的隨機(jī)變量都可以求解，但計(jì)算比較復(fù)雜，需要借助于數(shù)值積分和編程技術(shù)進(jìn)行計(jì)算；田口實(shí)驗(yàn)法的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但因?yàn)樵O(shè)計(jì)變量的三水平組合數(shù)N＝3n，所以要求組成環(huán)數(shù)n不能太大，一般需滿(mǎn)足n＜10；Monte Carlo法是目前公差分析領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的方法，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算精度高，能夠處理非線性的公差設(shè)計(jì)函數(shù)和非正態(tài)的尺寸分布，適用性強(qiáng)，但其計(jì)算精度與樣本量的平方根成正比，要得到足夠精度的結(jié)果需要的樣本量太大，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，效率較低。

裝配成功率的估算方法主要有二階矩估算法、四階矩估算法和 Monte Carlo法等［1，6－7］。其中二階矩和四階矩估算法均建立在組成環(huán)分布函數(shù)服從正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，而Monte Carlo法則能夠處理組成環(huán)服從不同分布規(guī)律的裝配成功率估算問(wèn)題，但其估算效率卻明顯低于二階矩估算方法。

綜上所述，Monte Carlo法在公差數(shù)值分析和裝配成功率估算問(wèn)題方面的適用性廣泛，且可達(dá)精度高，但其共同的最大缺陷是計(jì)算效率低。傳統(tǒng)的Monte Carlo法的誤差估計(jì)。其中：λα是由顯著水平α確定的正態(tài)差，σ是隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差，N是抽樣點(diǎn)數(shù)目。顯然，其積分誤差階在基本隨機(jī)變量方差、顯著水平一定的情況下，平均數(shù)量級(jí)是O（N－1/2）。由此可知，若欲將相關(guān)精度提高10倍，則需將模擬次數(shù)增加100倍，為達(dá)到提高精度的目的，將損失大量計(jì)算時(shí)間。與此同時(shí)，Monte Carlo方法中的偽隨機(jī)數(shù)總是一個(gè)有限長(zhǎng)的循環(huán)集合，導(dǎo)致算法在實(shí)施過(guò)程中損失大量的時(shí)間。

正是由于Monte Carlo方法在計(jì)算效率上的缺陷，以至于在解決高精度復(fù)雜產(chǎn)品的公差分析問(wèn)題時(shí)，很難滿(mǎn)足產(chǎn)品研制周期及計(jì)算工作量的需求，經(jīng)常發(fā)生由于模擬次數(shù)不夠而造成的計(jì)算精確度不高的問(wèn)題，從而導(dǎo)致公差分析結(jié)論的準(zhǔn)確度大打折扣。鑒于此，本文針對(duì)飛機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)等復(fù)雜產(chǎn)品裝配公差分析工作涉及多組成環(huán)、高置信度、高精度要求、計(jì)算量大等特點(diǎn)，提出了應(yīng)用低偏差序列（Low Discrepancy Sequences，LDS）［8－10］樣本代替?zhèn)鹘y(tǒng)的Monte Carlo分析方法中的偽隨機(jī)數(shù)樣本進(jìn)行裝配公差分析，通過(guò)選取最優(yōu)的隨機(jī)變量，使樣本方差減小，在減小Monte Carlo模擬方法所需樣本量的同時(shí)，提高裝配公差分析效率。最后以某飛機(jī)典型組件的公差數(shù)值分析及裝配成功率的估算求解為例，對(duì)基于低偏差序列樣本的裝配公差分析方法的適用性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于低偏差序列的裝配公差分析方法

基于LDS的裝配公差分析方法的構(gòu)建主要包括三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即低偏差序列的構(gòu)造方法、序列均勻性驗(yàn)證及誤差估計(jì)方法和裝配公差分析模型的構(gòu)建方法，本章將重點(diǎn)圍繞這三個(gè)方面內(nèi)容進(jìn)行論述。

1．1 低偏差序列構(gòu)造方法

偽隨機(jī)數(shù)序列側(cè)重于點(diǎn)集的隨機(jī)性，低偏差序列的生成則致力于點(diǎn)集的均勻性。低偏差序列中任意長(zhǎng)的子序列都能夠比偽隨機(jī)序列更加均勻地填充單位超立方體Cq。統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了許多這樣的低偏差序列，如Faure序列、Halton序列、Sobol序列和H－W點(diǎn)集等。其中，Halton序列是一種標(biāo)準(zhǔn)的低偏差序列，為了驗(yàn)證低偏差序列對(duì)裝配公差分析模擬問(wèn)題的適用性，本文采用基于Halton序列的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生算法。其構(gòu)造方法如下：

令b是一個(gè)素?cái)?shù)，則任意的非負(fù)整數(shù)k，可以寫(xiě)成如下以b為數(shù)基的形式：

定義數(shù)基b的根式逆函數(shù)φb（k）為

易知，對(duì)于任意的整數(shù)k≥0，有φb（k）∈［0，1］。

Halton序列的第k個(gè)元素可取為φb（k）。若要獲得長(zhǎng)度為l的q 維 Halton序列｛s1，s2，…，sl｝，則要取q個(gè)不同的素?cái)?shù)b1，b2，…，bq，并令sk＝［φb1（k－1）,

從二維單位正方形中分別抽取256個(gè)偽隨機(jī)序列樣點(diǎn)和Halton序列樣點(diǎn)，可直觀地看出序列點(diǎn)的均勻性對(duì)比結(jié)果，如圖1所示。

由對(duì)比圖可以看出，低偏差序列點(diǎn)集比偽隨機(jī)序列點(diǎn)集散布更均勻，明顯改善了抽樣點(diǎn)的質(zhì)量。對(duì)于同樣數(shù)量的抽樣點(diǎn)，偽隨機(jī)序列不能完全填充滿(mǎn)整個(gè)設(shè)計(jì)空間，需要更多的抽樣點(diǎn)數(shù)才能完整描述隨機(jī)變量的分布，從而導(dǎo)致其計(jì)算效率低于低偏差序列抽樣方法。

對(duì)于Monte Carlo公差分析方法，其計(jì)算效率及分析結(jié)果的準(zhǔn)確度主要由抽樣次數(shù)決定，分布更均勻的樣本集無(wú)疑會(huì)大大提高公差分析工作的效率及準(zhǔn)確度。因此，理論上完全可以將低偏差序列抽樣方法引入Monte Carlo公差分析方法中，從而在繼承Monte Carlo方法優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，有效改善該方法在計(jì)算效率方面的缺陷。

1．2 序列均勻性驗(yàn)證及誤差估計(jì)方法

低偏差序列是否能滿(mǎn)足要求的均勻度，需要對(duì)其進(jìn)行均勻性檢驗(yàn)，作為序列均勻性的度量，在此引入差異度的概念。差異度可以看作對(duì)均勻分布偏離的量化度量，點(diǎn)集的偏差越小，它在Cq上的分布越均勻。

假設(shè)f（x）是q維單位立方體Cq上的概率密度函數(shù)，在Cq上抽取服從均勻分布U［0，1］q的隨機(jī)樣本

由Koksma－Hlawka不等式可知：

式中：V（f）是函數(shù)f在Cq存在的 Hardy and Krause意義下的有界全變差，D（PN）被稱(chēng)為差異度，它反映了樣本PN分布的均勻程度，

式中：U（x）是Cq上的均勻分布，UN（x）是PN的經(jīng)驗(yàn)分布。

根據(jù)Koksma－Hlawka不等式可知，一旦函數(shù)f給定，V（f）就是一個(gè)常數(shù)，因此，估計(jì)誤差的大小取決于樣本的差異度D（PN），具有最小差異度的樣本點(diǎn)是最好的樣本點(diǎn)，而一般低偏差序列最小的差異度為O（（logN）q－1/N），對(duì)于許多實(shí)際中常用的特定類(lèi)型函數(shù)，其漸進(jìn)誤差階為O（1/N），顯然比傳統(tǒng)的偽隨機(jī)序列產(chǎn)生的誤差階為O（N－1/2）的收斂速度更快。

1．3 裝配公差計(jì)算分析及裝配成功率估算模型

1．3．1 裝配公差計(jì)算分析模型

對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行裝配公差分析，首先需要構(gòu)造裝配公差分析模型，即確定公差設(shè)計(jì)函數(shù)。公差設(shè)計(jì)函數(shù)是指尺寸鏈中各組成環(huán)和封閉環(huán)之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，是計(jì)算機(jī)進(jìn)行公差分析的依據(jù)。其數(shù)學(xué)模型可表述為：

式中：L0為封閉環(huán)尺寸；n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；L1，L2，…，Ln為相互獨(dú)立的尺寸設(shè)計(jì)變量，即組成環(huán)尺寸。公差設(shè)計(jì)函數(shù)是尺寸的函數(shù)，其響應(yīng)函數(shù)f不是統(tǒng)一的，需要根據(jù)尺寸鏈的幾何關(guān)系等因素確定。

稻瘟病又稱(chēng)稻熱病。是危害水稻最嚴(yán)重的病害之一，是一種真菌病害，屬世界性水稻病害，在70多個(gè)國(guó)家發(fā)生此病。我國(guó)凡有水稻栽培的地區(qū)均有不同程度的發(fā)生，減產(chǎn)幅度一般為10%-15%，發(fā)病嚴(yán)重地塊甚至顆粒不收。因此，稻瘟病已成為水稻高產(chǎn)、穩(wěn)產(chǎn)的一大障礙?，F(xiàn)將防治要點(diǎn)介紹如下。

一般來(lái)說(shuō)，公差設(shè)計(jì)函數(shù)又可表示為：

式中：Ai為帶正、負(fù)號(hào)的組成環(huán)傳遞比（Ai＞0時(shí)第i個(gè)組成環(huán)為增環(huán)；Ai＜0時(shí)，第i個(gè)組成環(huán)為減環(huán)），或稱(chēng)各組成環(huán)對(duì)封閉環(huán)的影響權(quán)因子。令ΔL0為封閉環(huán)的隨機(jī)變動(dòng)部分，又稱(chēng)尺寸偏差，ΔLi為第i個(gè)組成環(huán)的尺寸偏差，則由式（6）可知：

借鑒Monte Carlo分析方法的思想，基于LDS的公差分析方法模型可表示為：式中：為封閉環(huán)模擬公差值，ΔL0max和ΔL0min分別為公差模擬計(jì)算產(chǎn)生的封閉環(huán)最大和最小尺寸偏差。根據(jù)統(tǒng)計(jì)運(yùn)算，封閉環(huán)尺寸的均值及標(biāo)準(zhǔn)差σ可分別由式（9）和式（10）求得：

1．3．2 裝配成功率估算方法

裝配成功率是指尺寸變量落在封閉環(huán)公差允許范圍R0內(nèi)的概率。設(shè)封閉環(huán)的概率密度函數(shù)為Φ（T0），則裝配成功率可表示為：

采用基于LDS的裝配成功率估算方法，R0即為設(shè)計(jì)指定的封閉環(huán)公差值，P（R0）可由模擬計(jì)算產(chǎn)生的組成環(huán)樣本公差求得：

式中：N0為由組成環(huán)樣本（L1，L2，…，Ln）計(jì)算所得封閉環(huán)模擬值滿(mǎn)足≤R0的個(gè)數(shù)，Ntotal為總模擬次數(shù)。

2 基于LDS的裝配公差分析流程

基于LDS的裝配公差分析方法借鑒傳統(tǒng)Monte Carlo分析方法的思想，將偽隨機(jī)序列替換為低偏差序列點(diǎn)集，并借助裝配公差分析模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品裝配公差的高效分析。該方法把求解封閉環(huán)尺寸及其公差的問(wèn)題，當(dāng)作求一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行處理。從統(tǒng)計(jì)公差角度來(lái)看，批量生產(chǎn)的各組成環(huán)的尺寸及尺寸偏差均為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并近似符合一定的標(biāo)準(zhǔn)分布特征。對(duì)于任意尺寸鏈，當(dāng)已知公差設(shè)計(jì)函數(shù)、組成環(huán)的尺寸、公差及分布函數(shù)時(shí)，只要能夠得到分布函數(shù)的隨機(jī)樣本，就可以應(yīng)用基于LDS的模擬方法求解封閉環(huán)尺寸及公差的近似值，解的精確度可以用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)表示。同理，裝配成功率的估算方法同樣可以采用低偏差序列模擬隨機(jī)數(shù)的方法獲得近似估計(jì)值。示，其

步驟 確定組成環(huán)個(gè)數(shù)n及組成環(huán)傳遞比1 A， 。i構(gòu)造公差分析模型

步驟2 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及相關(guān)規(guī)則［11］確定組成環(huán)尺寸的分布規(guī)律。

步驟3 根據(jù)模擬精度要求確定抽樣次數(shù)。

步驟4 依據(jù)低偏差序列的構(gòu)造方法產(chǎn)生［0，1］區(qū)間上的n維低偏差點(diǎn)集φij，其中i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，N，N 為抽樣次數(shù)。

步驟5 求解低偏差序列的差異度，進(jìn)行序列均勻性驗(yàn)證。

步驟6 由公式L＝FL－1（φ）及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變換規(guī)則［12］得到符合各組成環(huán)分布規(guī)律的隨機(jī)向量的樣本Lj＝［L1j，L2j，…，Lnj］T。

步驟7 將隨機(jī)向量的樣本Lj代入公差分析模型，求出封閉環(huán)尺寸樣本。

步驟8 對(duì)封閉環(huán)尺寸樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，確定封閉環(huán)的公差估計(jì)值、尺寸均值、標(biāo)準(zhǔn)差及裝配成功率等數(shù)據(jù)。

3 實(shí)例分析

為驗(yàn)證基于LDS的裝配公差分析法的可靠性與有效性，本文以某型飛機(jī)典型組件為例進(jìn)行公差數(shù)值分析與裝配成功率估算，組件結(jié)構(gòu)如圖3a所示。該組件的裝配過(guò)程采用定位兩插耳向蒙皮裝配的路線方法，固定插耳同軸度并作為裝配基準(zhǔn)，裝配準(zhǔn)確度要求保證蒙皮外形輪廓度小于0．15mm，即T0＝0．15mm。裝配誤差累積沿兩條路徑由插耳傳遞至蒙皮外形，裝配尺寸鏈如圖3b所示。公差設(shè)計(jì)函數(shù)可表示為：

已知該實(shí)例尺寸鏈中各組成環(huán)的公差類(lèi)型、傳遞比、分布規(guī)律、公稱(chēng)尺寸及初始公差值如表1所示。

3．1 裝配公差計(jì)算分析

將表1中各組成環(huán)的數(shù)據(jù)信息代入裝配公差分析模型，應(yīng)用基于LDS的裝配公差分析方法進(jìn)行封閉環(huán)尺寸及公差的模擬仿真，所得樣本值分別代入式（8）～式（10）求解出封閉環(huán)的公差估計(jì)值、尺寸均值及標(biāo)準(zhǔn)差。求得當(dāng)抽樣次數(shù)為1 000，2 000，4 000，7 000，10 000時(shí)基于LDS方法的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表2所示。

表1 尺寸鏈中組成環(huán)信息

表2 基于ＬＤＳ方法的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

為了通過(guò)對(duì)比檢驗(yàn)本文方法的有效性，應(yīng)用Monte Carlo公差分析方法在相同數(shù)據(jù)條件下，分別抽樣1 000，10 000，20 000，50 000，100 000次，得到Monte Carlo方法的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 Monte Carlo法統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

為表征本文方法的計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)，本實(shí)例中分別比較了基于LDS方法和基于Monte Carlo方法所得到的抽樣過(guò)程均值分布圖和樣本均值收斂速度曲線，模擬結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4為應(yīng)用LDS方法封閉環(huán)尺寸樣本分布與應(yīng)用Monte Carlo方法封閉環(huán)尺寸樣本分布對(duì)比圖，模擬統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表2和表3所示。根據(jù)Lindeberg－Levy定理可知，無(wú)論組成環(huán)隨機(jī)變量的分布如何，當(dāng)抽樣觀測(cè)次數(shù)足夠大時(shí)，它的若干個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量抽樣值之和總是近似服從正態(tài)分布。由圖5可以看出LDS方法模擬只需很少的抽樣次數(shù)，便能保證封閉環(huán)尺寸近似服從正態(tài)分布規(guī)律，而應(yīng)用Monte Carlo方法則需要更多的抽樣觀測(cè)值。此結(jié)論表明LDS方法的計(jì)算效率優(yōu)于Monte Carlo方法。

圖5為應(yīng)用不同方法、取步長(zhǎng)500，抽樣500～20 000次模擬得到的封閉環(huán)尺寸估計(jì)值收斂曲線?？梢钥闯觯谀M次數(shù)較少時(shí)，兩種方法的表現(xiàn)都不穩(wěn)定，但隨著模擬次數(shù)的增加，特別是當(dāng)模擬次數(shù)大于6 000時(shí)，LDS方法很快向封閉環(huán)理想尺寸收斂（本實(shí)例中外形輪廓度誤差理想尺寸為0），而Monte Carlo方法在模擬次數(shù)達(dá)到20 000時(shí)，仍然不斷地在理想尺寸附近擺動(dòng)。以上結(jié)論說(shuō)明LDS方法的收斂速度明顯大于Monte Carlo方法。

由于通過(guò)極值法求得封閉環(huán)公差值為0．33 mm，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，應(yīng)用LDS方法模擬1萬(wàn)次與Monte Carlo方法模擬10萬(wàn)次所得的公差估計(jì)值相近，而比較極值法公差值更小。因此得出結(jié)論：基于LDS的裝配公差分析方法繼承了Monte Carlo公差分析方法的優(yōu)勢(shì)，降低了對(duì)組成環(huán)零件的加工精度要求，從而降低了產(chǎn)品制造成本，且該方法的計(jì)算效率比Monte Carlo方法更具優(yōu)勢(shì)。

3．2 裝配成功率估算

依據(jù)表1給出的組成環(huán)數(shù)據(jù)信息，分別應(yīng)用基于LDS的裝配成功率估算方法和Monte Carlo裝配成功率估算方法對(duì)本文實(shí)例進(jìn)行求解運(yùn)算，取步長(zhǎng)5 000次，抽樣5 000～200 000次，模擬獲得的裝配成功率與抽樣次數(shù)關(guān)系對(duì)比圖如圖6所示。

圖6走勢(shì)表明，基于LDS的方法收斂速度明顯優(yōu)于Monte Carlo方法。通過(guò)模擬數(shù)據(jù)分析可知，LDS方法在抽樣6萬(wàn)次時(shí)，裝配成功率模擬數(shù)值已達(dá)99．42%，后期模擬數(shù)值波動(dòng)趨于平緩。而Monte Carlo方法在抽樣18萬(wàn)次～20萬(wàn)次階段，裝配成功率模擬數(shù)值仍有0．03%左右的誤差變動(dòng)。此外，隨著模擬次數(shù)的增大，兩種方法的模擬曲線趨近重合，這也證明了基于LDS的方法繼承了Monte Carlo方法高精度估算的特點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說(shuō)明，基于LDS的裝配成功率估算方法比Monte Carlo估算方法具有更高的穩(wěn)定性和計(jì)算效率，且具有相當(dāng)高的計(jì)算準(zhǔn)確度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng)的基于Monte Carlo仿真公差分析方法在高精度復(fù)雜產(chǎn)品公差分析中計(jì)算效率低、需要樣本空間大等缺點(diǎn)，提出將低偏差序列樣本引入公差分析領(lǐng)域，給出了低偏差序列的生成方法，定義了序列的差異度及誤差估計(jì)方法，建立了基于LDS的裝配公差分析模型，最終形成了基于LDS的裝配公差分析方法。在理論分析的基礎(chǔ)上，以某型飛機(jī)典型組件裝配公差分析為例，驗(yàn)證了本方法的有效性與實(shí)用性。結(jié)果表明，本文所提出的裝配公差分析方法在保證計(jì)算精度的前提下，計(jì)算效率明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的Monte Carlo分析方法，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的Monte Carlo方法在計(jì)算效率方面的缺陷。基于LDS的裝配公差分析方法能有效降低數(shù)值模擬次數(shù)，減少計(jì)算量，適用于飛機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)等高精度復(fù)雜產(chǎn)品裝配公差分析領(lǐng)域，為解決此類(lèi)問(wèn)題提供了一條新的思路，下一步的工作重點(diǎn)將致力于實(shí)現(xiàn)該方法的軟件功能模塊應(yīng)用。

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