一類推廣的迭代泛函微分方程的光滑解

劉 佳

(山東城市建設(shè)職業(yè)學(xué)院 建筑經(jīng)濟(jì)管理系，濟(jì)南 250103)

0 引 言

自Jack Hale的工作[1]發(fā)表后，關(guān)于泛函微分方程解的研究已有許多工作.形如

x′(t)=H(x(0)(t)，x(1)(t)，…，x(m)(t))

的迭代泛函微分方程，被許多人討論過，這里x(0)(t)=t，x(1)(t)=x(t)，…，x(k)(t)=x(x(k-1)(t))， k=2，…，m.確切地說，Eder[2]考慮了泛函微分方程x′(t)=x(2)(t)，證明了該方程的每一個(gè)解或者恒為零或者嚴(yán)格單調(diào).在文獻(xiàn)[3， 4]中，F(xiàn)eckan與王克在不同條件下研究了方程

x′(t)=f(x(2)(t))

(1)

(2)

此處利用不動(dòng)點(diǎn)定理考慮一類更為廣泛的迭代泛函微分方程

(3)

光滑解的存在性.顯然，當(dāng)f(t)=1時(shí)，式(2)是式(3)的特殊形式.那么，對(duì)于式(2)的光滑解的研究便可以看成是此處結(jié)論的特殊形式.

Ω(M1，…，Mn+1；I)={x∈Cn(I，I)：|x(i)(t)|≤Mi，i=1，2，…，n

|x(n)(t1)-x(n)(t2)|≤Mn+1|t1-t2|，t，t1，t2∈I}

為了便于書寫，記

xij(t)=x(i)(x(j)(t))，x*jk(t)=(x(j)(t))(k)

其中i，j，k是非負(fù)整數(shù).為了尋找式(2)在Cn(I，I)中的解x(t)，使得x(ξ)=ξ，自然會(huì)想到在區(qū)間[ξ-δ，ξ+δ]中考慮，其中δ>0.定義

Ψ(ξ；η0，…，ηn-1；N1，…，Nn；I)={f∈Ω(N1，…，Nn；I)：f(i)(ξ)=ηi，i=0，1，…，n-1}

X(ξ；ξ0，…，ξn；1，M2，…，Mn+1；I)={x∈Ω(1，M2，…，Mn+1；I)：x(ξ)=ξ0，x(i)(ξ)=ξi，i=1，2，…，n}

其中 ξ0=ξ.

由數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)k=0，1，…，n，可以證明

x*jk(t)=Pjk(x10(t)，…，x1，j-1(t)；…；xk0(t)，…，xk，j-1(t))

(4)

(5)

(6)

其中Pjk是系數(shù)為非負(fù)數(shù)的唯一多項(xiàng)式，式(4)-(6)的證明可在文獻(xiàn)[8]中找到，I是R上的閉區(qū)間.

1 主要定理

這一部分，證明方程(3)光滑解的存在性定理，需要用到下面的事實(shí)：對(duì)x(t)，y(t)∈X，有

|x(j)(t1)-x(j)(t2)|≤|t1-t2|，t1，t2∈I，j=0，1，…，m

(7)

‖x(j)-y(j)‖≤j‖x-y‖，j=1，2，…，m

(8)

‖x-y‖≤δn‖x(n)-y(n)‖

(9)

不等式(7)-(9)的證明可在文獻(xiàn)[9]中找到.

定理1 設(shè)I=[ξ-δ，ξ+δ]， 這里ξ，δ滿足

(10)

且f∈Ψ(ξ；η0，…，ηn-1；N1，…，Nn；I)，則式(3)在

X(ξ；ξ0，…，ξn；1，M2，…，Mn+1；I)

中有解，其中

(i)

(11)

(12)

其中，k=2，3，…，n；s1+2s2+…+(k-j-1)sk-j-1=k-j-1；s=s1+s2+…+sk-j-1.

(ii)

(13)

其中，k=2，3，…，n；s1+2s2+…+(k-j-1)sk-j-1=k-j-1；s=s1+s2+…+sk-j-1.

(iii)

(14)

其中，s1+2s2+…+(n-j-1)sn-j-1=n-j-1，s=s1+s2+…+sn-j-1.

證明利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理來完成證明，定義算子

(15)

先證對(duì)?x∈X，有Tx∈X.由式(10)知

(16)

因此，(Tx)(I)?I.由FaàdiBruno公式易知

(17)

(18)

其中，k=2，3，…，n；s1+2s2+…+(k-j-1)sk-j-1=k-j-1；s=s1+s2+…+sk-j-1.再注意到(Tx)(ξ)=ξ，及式(11)(12)，有

(19)

(20)

其中，k=2，3，…，n；s1+2s2+…+(k-j-1)sk-j-1=k-j-1；s=s1+s2+…+sk-j-1.

因此，(Tx)(k)(ξ)=ξk，k=0，1，…，n.又因?yàn)?/p>

(21)

由式(13)(14)有

(22)

其中，k=2，3，…，n；s1+2s2+…+(k-j-1)sk-j-1=k-j-1；s=s1+s2+…+sk-j-1.

(23)

到此，證明了T是一個(gè)將X映到自身的算子.

現(xiàn)在證明T的連續(xù)性.設(shè)x，y∈X，則

‖Tx-Ty‖n=

(24)

經(jīng)過計(jì)算，可以找到一列正數(shù)Pk使得

(25)

因此

‖Tx-Ty‖n≤

?！瑇-y‖n

(26)

(27)

對(duì)式(27)兩端求導(dǎo)即可看出x是式(3) 的解.定理證畢.

注意到，如果上面定理中有Γ<1，則表明 T是一個(gè)壓縮算子.因此，上面證明中的不動(dòng)點(diǎn)x必是唯一的.進(jìn)一步可證這個(gè)唯一解關(guān)于給定的函數(shù)f是連續(xù)依賴的，即有定理2.

定理2 在定理1的條件下，且Γ<1，則方程(3)在

X(ξ；ξ0，…，ξn；1，M2，…，Mn+1；I)

中的唯一解連續(xù)依賴于給定的f.

參考文獻(xiàn)：

[1] EDER E. The Functional Differential Equations[J]. J.Differential Equations， 1984(54)390-400

[2] FECKAN E. On Certain Type of Functional Differential Equations[J]. Math Slovaca， 1993(43)：39-43

[3] HALE J. Theory of Functional Differential Equations[M]. New York：Springer Verlag， 1977

[4] STANEK S. On Global Properties of Solutions of Functional Differential Equation[J]. Dynam Systems Appl， 1995(4)：263-278

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[11] ZHAO H Y.一類迭代泛函微分方程的光滑解[J]. 理論數(shù)學(xué)， 2012(2)：138-143