相似于Jordan塊的矩陣A的所有變換矩陣

蔡 吟， 王麗慶

(溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035)

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系所著的“高等代數(shù)”[1]和李炯生的“線性代數(shù)”[2]都已經(jīng)證明：對(duì)任意非零矩陣A，存在可逆矩陣Q，使得Q-1AQ=J，其中J是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，并且這樣的Q不唯一.而在張賢科的“高等代數(shù)學(xué)”中給出了如何求出一個(gè)非零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)化的變換矩陣的方法，但是沒(méi)有說(shuō)明如何求解所有的變換矩陣.事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)一般的非零矩陣來(lái)說(shuō)，要找到它Jordan標(biāo)準(zhǔn)化所對(duì)應(yīng)的所有變換矩陣是復(fù)雜而困難的.此處主要探究與n階Jordan塊相似的矩陣，其Jordan標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)所對(duì)應(yīng)的變換矩陣的全體.

1 所有變換矩陣的探究和證明

首先“Q是矩陣A的Jordan化的變換矩陣”的一個(gè)必要條件[3]：

設(shè)Q=(α1，α2，…，αn)，且λ為A的特征值.由Q-1AQ=J可知， AQ=QJ，即(A-λE)Q=Q(J-λE)，化簡(jiǎn)即有AQ=QJ的一個(gè)等價(jià)條件：

(A-λE)j-1α1=αj(j=2，3，…，n)，(A-λE)nα1=0

定義1 分別設(shè)

通過(guò)公式αij=(A-λE)j-1αi1即可得到n組不同的αi2，αi3，…，αin，從而得到n 個(gè)不同的Pi=(αi1，αi2，…，αin)(i=1，2，…，n).定義這n個(gè)不同的Pi為A的基礎(chǔ)矩陣(顯然Pi滿足APi=PiJ的等價(jià)條件，即滿足APi=PiJ).

定理1 Pi的第j列(即αij)和(A-λE)j-1的第i列相等(j=2，3，…，n).

證明

(1)

比較左右兩個(gè)矩陣的每一列，即可得原命題得證.

另外不難發(fā)現(xiàn)

αin=(A-λE)n-1αi1=Q(J-λE)n-1Q-1αi1

令

當(dāng)αin=(≠)0時(shí)，

也就是說(shuō)b1i=0當(dāng)且僅當(dāng)αin為零向量.

定理2 基礎(chǔ)矩陣Pi可逆當(dāng)且僅當(dāng)Pi的最后一列不為零向量(αin≠0).

證明當(dāng)αin=0時(shí)，Pi顯然不可逆；當(dāng)αin≠0時(shí)，如果能證明k1αi1+…+knαin=0成立，當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=…=kn=0時(shí)成立，那么Pi為可逆矩陣即可得證.

″?″：顯然成立.

″?″：0=Q-10=Q-1(k1αi1+k2αi2+…+knαin)=

Q-1(k1QQ-1αi1+k2Q(J-λE)Q-1αi1+…+knQ(J-λE)n-1Q-1αi1)=

于是得到方程組

0=k1b1i

(2)

0=k2b1i+k1b2i

(3)

0=knb1i+kn-1b2i+…+k1bni

(4)

結(jié)合式(2)與b1i≠0，可得k1=0，再結(jié)合式(3)又可得k2=0，綜上，即可得k1=k2=…=kn=0，從而原命題得證.

推論1 W為A的基礎(chǔ)矩陣的線性組合時(shí)，W可逆當(dāng)且僅當(dāng)W的最后一列不為零向量.此命題的證明可以直接從定理4的證明過(guò)程中得出.

定理3 任給一個(gè)n階非零矩陣W，都存在且唯一存在n個(gè)常數(shù)t1，t2，…，tn和非零n階矩陣H(其中H的第一列為零向量)，使得W=t1P1+t2P2+…+tnPn+H成立.

證明設(shè)W的第一列為(c1，c2，…，cn)T，顯然W=t1P1+t2P2+…+tnPn+H當(dāng)且僅當(dāng)ti=ci(i=1，2，…，n)，H=W-(t1P1+t2P2+…+tnPn).

證明當(dāng)W不為A的基礎(chǔ)矩陣的線性組合時(shí)，存在n個(gè)常數(shù)t1，t2，…，tn和非零n階矩陣H(其中H的第一列為零向量)，使得W=t1P1+t2P2+…+tnPn+H成立.

由于H的第一列為零向量，且H為非零矩陣，因此AH-HJ≠0，即W必然不是A的Jordan化的變換矩陣.

當(dāng)W為A的基礎(chǔ)矩陣的線性組合，即W=t1P1+t2P2+…+tnPn時(shí)，

因此，W為A的Jordan化的變換矩陣當(dāng)且僅當(dāng)W可逆.下面討論W的可逆性.

綜上所述，原命題得證.

結(jié)合推論1和定理4，又可得出定理4的另一個(gè)等價(jià)命題(定理5).

定理5 W為A(其中A相似于Jordan塊矩陣)的Jordan化的變換矩陣當(dāng)且僅當(dāng)W為A的基礎(chǔ)矩陣的線性組合，且W的最后一列不為零向量.

2 例 題

例題1 求A的Jordan化的所有變換矩陣，其中

解A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型

而

于是

另外任取一個(gè)變換矩陣的逆

于是得所有變換矩陣

其中，t1，t2，t3，t4滿足2t1+t2≠0.

例題2 求A的Jordan化的所有變換矩陣，其中

解A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型

而

于是

另外任取一個(gè)變換矩陣的逆

于是得所有的變換矩陣

W=t1P1+t2P2+t3P3+t4P4+t5P5=

其中，t1，t2，t3，t4，t5滿足t1-t2≠0.

參考文獻(xiàn)：

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003

[2] 李炯生，查建國(guó).線性代數(shù)[M]. 2版.安徽：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2003

[3] 張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué)[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2008