一類非線性退化時滯微分系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性*

陳愛珍， 周宗福

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

0 引 言

微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是微分方程領(lǐng)域的一個重要研究課題.近年來，有關(guān)退化時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題已引起許多學者的興趣，取得了一定的成果.文獻[1]根據(jù)退化系統(tǒng)特點提出了退化時滯微分系統(tǒng)解的“q”穩(wěn)定概念，文獻[3]利用退化時滯系統(tǒng)的拉什密辛型定理討論了線性退化時滯微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性，給出了零解穩(wěn)定的一個判定定理.

在上述文獻基礎(chǔ)上，研究如下的一類非線性退化時滯微分系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性：

(1)

(2)

1 預(yù)備知識

其中I1，I2分別為n1階及n-n1階單位陣，A1(t)∈Rn1×n1，n1與t無關(guān).

(3)

其中

初始條件(2)變?yōu)?/p>

(4)

研究思路是先研究系統(tǒng)(3)(4)的一致穩(wěn)定性，然后得到系統(tǒng)(1)(2)的一致穩(wěn)定性.

下面引進退化時滯微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性的有關(guān)概念.考慮退化時滯微分方程

(5)

其中E為n×n奇異常數(shù)矩陣，t≥t0≥0，τ>0，x(t)∈Rn，xt(θ)=x(t+θ)(θ∈[-τ，0])，f(t，ψ)：[0，+∞)×H→Rn，H為C([-τ，0]，Rn)中一開集，f連續(xù)，f(t，0)=0，方程(5)的初始條件為

xt0=φ，φ∈C([-τ，0]，Rn)

(6)

定義1 (i) 若?t0∈Tk，?ε>0，總存在δ(t0，ε)>0，使得?φ∈B(0，δ)∩Sk(t0，tk)，方程(5)過初始條件(t0，φ)的解x(t)=x(t，t0，φ)滿足‖q(t，x(t))‖<ε，?t∈[t0，tk)，則稱方程(5)的零解關(guān)于{q(t，x)，Tk}為穩(wěn)定的.

(ii) 若在(i)中，δ僅與ε有關(guān)，與t0無關(guān)，則稱方程(5)的零解關(guān)于{q(t，x)，Tk}為一致穩(wěn)定的.

下面給出拉什密辛型定理(Razumikhintheorem).

引理1[2]若存在連續(xù)可微的V函數(shù)V(t，y)：[0，+∞)×D→R+(D為Rm中一個開集)，及函數(shù)φ1(s)，φ2(s)：R+→R+，φ1(0)=0，φ2(0)=0，φ1(s)，φ2(s)在R+上連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增，滿足

1) φ1(‖q(t，x)‖)≤V(t，q(t，x))≤φ2(‖x‖)；

2 主要結(jié)果

定理1 對于方程(3)，若以下條件滿足

1) ?M>0，‖B21(t)‖≤M，?t≥0；

2) ?q0：0

從而

(1-l2)‖x2(t)‖≤(‖B21(t)‖+l2)‖x1(t-τ)‖+(‖B22(t)‖+l2)‖x2(t-τ)‖+l2‖x1(t)‖

即有

一直遞推下去，必存在k使得t-kτ∈[t0-τ，t0]，從而可得

進一步地，有

從而引理1中的條件2)滿足.

定理2 在定理1的條件下，方程(3)的零解關(guān)于{x，[0，+∞)}為一致穩(wěn)定的.

從而

如此遞推下去，必存在k，使得t-kτ∈[t0-τ，t0]，從而可得

因此，方程(3)的零解關(guān)于{x，[0，+∞)}為一致穩(wěn)定的.證畢.

設(shè)Q∈Rn×n為對稱陣，用λmin(Q)表示Q的最小特征值.

又由于

從而方程(1)的零解關(guān)于{x，[0，+∞)}是一致穩(wěn)定的.證畢.

參考文獻：

[1] 李遠清，劉永清.廣義泛函微分方程解的穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學學報，1999，22(1)：130-138

[2] 李遠清，劉永清，陸以勤.一類滯后時變廣義微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的拉什密辛型定理[J].控制理論與應(yīng)用，1999，16(2)：235-237

[3] 韓仁基，蔣威.變系數(shù)退化時滯微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性[J].數(shù)學研究，2008，41(4)：401-406

[4] MARZ R. Some New Results Concerning Index-3 Differential-algebraic Equations[J]. J Math Anal Appl，1989，140(1)：177-179