非凸混合向量均衡問題近似解的最優(yōu)性條件*

龍憲軍， 龔高華

(1.重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400067；2.重慶市綦江區(qū)東溪中學，重慶 401434)

近年來，向量均衡問題受到國內外許多學者的廣泛關注，作為一種廣泛的數(shù)學模型，向量均衡問題包括向量優(yōu)化、向量變分不等式、向量互補以及向量鞍點問題等特殊情形， 而向量均衡問題研究中的一個非常重要的課題是研究其各種解的最優(yōu)性條件. 在局部凸空間中，Gong[1]利用錐凸性獲得了帶函數(shù)約束的向量均衡問題解的最優(yōu)性條件. Long等[2]在近似錐次類凸性假設下獲得了帶函數(shù)約束的向量均衡問題Henig真有效解的最優(yōu)性條件，該結果改進了文獻[1]中對應的結果. Gong[3]在Banach空間中利用非線性標量化函數(shù)和Ioffe次可微概念獲得了非凸向量均衡問題弱有效解、Henig真有效解、超有效解以及全局真有效解的最優(yōu)性條件. 眾所周知，優(yōu)化問題在非緊的情況下，解集往往是非空的. 然而其近似解集在很弱的條件下都是非空的且利用數(shù)值算法求得的解大多是近似解. 因此，研究近似解不僅具有理論價值而且有實際意義. 最近，龍憲軍[4]獲得了非凸向量均衡問題各種近似真有效解的最優(yōu)性條件. 此處借助Mordukhovich次可微概念，在沒有任何凸性條件下獲得了混合向量均衡問題近似弱有效解的必要最優(yōu)性條件. 此處所得結果推廣了文獻[4]中對應的結果.

1 預備知識

假設X和Y是兩個Banach空間，X和Y的拓撲對偶分別為X*和Y*. 令C為Y中的閉凸點錐，記BX為X中的閉單位球，設K是X中的非空子集，記δK為集合K的指標函數(shù)，設K是X中的開凸子集，G為K的稠密子集，Banach空間X稱為Asplund空間，如果每一個定義在K上的連續(xù)凸泛函在G上每一點處都是Frechet可微的，X是Asplund空間當且僅當X的每個可分子空間的對偶空間是可分的.

令C*={f∈Y*：f(x)≥0，?y∈C} 為C的共軛錐. 設K為X的非空子集，用intK和clK分別表示集合K的拓撲內部和拓撲閉包.

設K為X的非空子集， 設x∈clK. 稱集合

為K在點x0處的Mordukhovich法向錐.

domf：={x∈X：f(x)<∞}

epif：={(x，t)∈X×R：f(x)≤t}

分別為f的有效域和上圖像，稱映射f為真的，如果domf≠?.

?Mf(x0)={x*∈X*：(x*，-1)∈NM(epif；(x0；f(x0)))}

稱集合?Mf(x0)為映射f在點x0處的Mordukhovich次微分，顯然，NM(K；x0)=?MδK(x0). 如果x0? domf，則?Mf(x0)=?. 如果f是凸函數(shù)，則f的Mordukhovich次微分與凸分析中的次微分是一致的.

?M(f1+f2)(x0)??Mf1(x0)+?Mf2(x0)

引理2[5]設X和Y是兩個Asplund空間，假設映射f：X→Y在x0是嚴格Lipschitz的，函數(shù)φ：Y→R在f(x0)附近是Lipschitz的，則

引理3[6]設C是Y中的閉凸點錐，e∈intC. 泛函φe：Y→R定義為

φe(y)=inf{t∈R：y∈te-C}

則φe是連續(xù)的次線性泛函，且對任意的t∈R，有

{y∈Y：φe(y)

{y∈Y：φe(y)≤t}=te-C

而且，φe是嚴格intC-單調的.

定義1[7]設f：X→R是實值函數(shù)，ε≥0，稱向量x∈K為標量優(yōu)化問題inf {f(x)：x∈K}的ε-擬最優(yōu)解，如果

f(x0)≤f(x)+ε‖x-x0‖，?x∈K

2 主要結果

設K是X中的非空子集，假設F：K×K→Y，f：K→Y是兩個向量值映射，考慮混合向量均衡問題(簡記為MVEP)：找x∈K，使得

F(x，y)+f(y)-f(x)?-A，?y∈K

其中A∪{0}為Y中的凸錐.

定義2 設ε≥0， 設intC≠? 以及e∈intC，稱x∈K為 問題(MVEP)的εe-擬弱有效解，若

F(x，y)+f(y)-f(x)+ε‖y-x‖e?-intC，?y∈K

記問題(MVEP)的εe-擬弱有效解為WE(F，f，K，εe). 當x0∈K取定時，用Fx0(x)表示一元向量值映射，F(xiàn)x0(x)：X→Y定義為

Fx0(x)：=F(x0，y)，?y∈K

定理1 設X和Y是兩個Asplund空間，K是X中的非空閉集，intC≠? 以及e∈intC. 假設x0∈WE(F，f，K，εe)且滿足F(x0，x0)=0，映射Fx0和f是嚴格Lipschitz的，則存在y*∈C*{0}和z*∈C*{0}，使得

0∈?M(y*°Fx0)(x0)+?M(y*°f)(x0)+NM(K；x0)+εBX*

證明設x0∈WE(F，f，K，εe)，則

F(x0，y)+f(y)-f(x0)+ε‖y-x0‖e?-intC，?y∈K

由引理3可得

φe(F(x0，y)+f(y)-f(x0)+ε‖y-x0‖e)≥0，?y∈K

由于φe是次線性泛函，故

φe(F(x0，y))+φe(f(y)-f(x0))+ε‖y-x0‖≥0，?y∈K

注意到φe(F(x0，x0))=0，從而x0是如下標量優(yōu)化問題式(1)的ε-擬最優(yōu)解

Minh(x)+φe(g(x))，s.t.x∈K

(1)

特別地，x0是如下標量優(yōu)化問題式(2)的最優(yōu)解

Minh(x)+φe(g(x))+ε‖x-x0‖，s.t.x∈K

(2)

其中h(x)=φe(Fx0(x))，g(x)=f(x)-f(x0)，x∈X. 因此，x0是如下無約束優(yōu)化問題式(3)的最優(yōu)解

Minh(x)+φe(g(x))+ε‖x-x0‖+δK(x)

(3)

由于φe是連續(xù)的凸函數(shù)，故其為局部Lipschitz的. 又因Fx0和f是嚴格Lipschitz的，故h和φe°g也是局部Lipschitz的. 另一方面，由于集合K是閉的，則δK是真下半連續(xù)的. 由引理1，2以及文獻[5]中的命題可得

0∈?M(h(·)+(φe°g)(·)+ε‖·-x0‖+δK(·))(x0)?

?M(φe°Fx0)(x0)+?M(φe°g)(x0)+?MδK(x0)+εBX*?

∪y*∈?Mφe(Fx0(x0))?M(y*°Fx0)(x0)+∪z*∈?Mφe(0)?M(z*°f)(x0)+NM(K；x0)+εBX*

因此，存在y*∈?Mφe(Fx0(x0))和z*∈?Mφe(0)，使得

0∈?M(y*°Fx0)(x0)+?M(z*°f)(x0)+NM(K；x0)+εBX*

由于φe是嚴格intC-單調的和凸的，因此很容易證明y*∈C*{0}以及z*∈C*{0}.

注1 如果f=0，則定理1退化為文獻[4]中的定理1. 因此，定理2推廣了文獻[4]中的定理4.1.

參考文獻：

[1] GONG X H. Optimality Conditions for Vector Equilibrium Problems[J]. J Math Anal Appl，2008(342)：1455-1466

[2] LONG X J，HUANG Y Q，PENG Z Y. Optimality Conditions for the Henig Efficient Solution of Vector Equilibrium Problems with Constraints[J]. Optim Lett，2011(5)：717-728

[3] GONG X H. Scalarization and Optimality Conditions for Vector Equilibrium Problems[J]. Nonlinear Anal，2010(73)：3598-3612

[4] 龍憲軍.Asplund空間中非凸向量均衡問題近似解的最優(yōu)性條件[J].數(shù)學物理學報，2014，34(A)：2-4

[5] MORDUKHOVICH B S. Variational Analysis and Generalizd Differentiation[M]. Berlin：Springer，2006

[6] GERTH(TAMMER) C，WEIDNER P. Nonconvex Separation Theorems and Some Applications in Vector Optimization[J]. J Optim Theory Appl，1990(67)：297-320

[7] LORIDAN P. Necessary Conditions for ε-optimality[J]. Math Program Study，1982(19)：140-152