一類推廣的CH方程適定性問題的研究*

龍 瓊

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

1993年，美國阿爾莫斯國家實(shí)驗(yàn)室的Camassa和Holm[1]從物理角度推導(dǎo)出了一類新的淺水波方程，即Camassa-Holm方程，簡(jiǎn)稱CH方程：

ut-utxx+2bux+3uux=2uxuxx+uuxxx

(1)

在1995年，F(xiàn)okas[6]通過雙Hamilton結(jié)構(gòu)從經(jīng)典的可積淺水波系統(tǒng)中推導(dǎo)出了新的更為一般的可積系統(tǒng)，即帶有立方非線性項(xiàng)的Camassa-Holm方程

(2)

在2012年，Gui[7]指出該方程解的奇異性僅以波裂的形式發(fā)生，并在給定初始輪廓值的情形下，描述出它的一個(gè)新的波裂運(yùn)動(dòng).

通過對(duì)現(xiàn)有經(jīng)典方程進(jìn)一步深入的研究，數(shù)學(xué)家們?cè)诓粩嗫紤]新的更一般的方程. 最近，Qiao，Xia和Li[8]推導(dǎo)出一類新的帶有二次項(xiàng)和立方項(xiàng)的Camassa-Holm方程

(3)

其中b，k1和k2為任意常數(shù). Qiao的研究表明該系統(tǒng)完全可積，具有Lax對(duì)、雙Hamilton結(jié)構(gòu)，滿足無限多的守恒律，更重要的是存在弱紐結(jié)解和kink-peakon交叉解，這與經(jīng)典的CH方程有著本質(zhì)的不同.可見這類新系統(tǒng)是值得研究的.受文獻(xiàn)[4]及上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，此處將利用經(jīng)典的Friedrichs正則化方法和transport方程理論來討論該方程解在Besov空間中的局部適定性問題.為了方便，下面將問題(3)寫成transport方程的形式：

(4)

1 預(yù)備知識(shí)介紹

(5)

則存在與s，p，d無關(guān)的常數(shù)C，滿足

或者

引理3[9](一維Moser型估計(jì))設(shè)1≤p，r≤+∞，下列估計(jì)成立.

其中C是不依賴f，g的常數(shù).

2 定理及證明

(6)

其中常數(shù)C>0僅依賴于p,r,s.

(7)

其中

由引理1可得

(8)

利用Besov空間中的乘積法則可得

類似地，如下估計(jì)式(9)-(12)成立

綜上可得

(13)

將式(13)代入式(8)可得

(14)

再結(jié)合Gronwall’s不等式可得式(6).證畢.

(15)

并且存在一個(gè)時(shí)刻T>0，使得(u(n))n∈N滿足

(16)

再利用乘積法則對(duì)方程(15)中?xm(n+1)的系數(shù)以及等式右邊的項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)并結(jié)合式(16)可得

(17)

(18)

則對(duì)任意0≤τ≤t，有

將式(19)及(18)代入式(17)并化簡(jiǎn)可得

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得

另一方面，利用Moser估計(jì)(見引理3的2))，可得

同理可得

g(u(n+k)，u(n)，m(n+k)，m(n)，m(n+1))

(20)

其中

g(u(n+k)，u(n)，m(n+1)，m(n)，m(n+k))=

注意到方程(20)等價(jià)于方程(21)

(21)

其中

(22)

利用引理2可得，對(duì)任意t∈[0，T]，有

同理可得

從而

同理有

因此可得

所以

利用歸納法可得

參考文獻(xiàn)：

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