Burr Type X分布參數(shù)的Bayes可靠性分析*

李 蘭 平

(湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 基礎(chǔ)課部，長沙 410205)

0 引 言

Burr Type X分布是Burr(1942)最早提出的12種壽命分布之一[1]，在可靠性壽命試驗和生存分析領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.關(guān)于該分布的統(tǒng)計推斷理論引起了很多學(xué)者的興趣.文獻[2]討論了Burr Type X分布次序統(tǒng)計量的單樣和雙樣預(yù)測問題；文獻[3]討論了含異常值的Burr Type X分布的Bayes預(yù)測問題；文獻[4]在平方誤差損失函數(shù)下討論了Burr Type X分布作為可靠性壽命模型其失效率函數(shù)和可靠性函數(shù)的Bayes和經(jīng)驗Bayes估計問題；文獻[5]研究了應(yīng)力和強度均服從Burr Type X分布的應(yīng)力強度干涉模型可靠度參數(shù)的估計；文獻[6]研究了刻度Burr Type X分布模型下，應(yīng)力、強度干涉模型可靠度參數(shù)的估計；文獻[7]在含有污染數(shù)據(jù)情形下研究了Burr Type X分布模型下P(Y

設(shè)隨機變量X為服從參數(shù)為θ的Burr Type X分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f(x；θ)=2θxe-x2(1-e-x2)θ-1，x>0，θ>0

(1)

F(x；θ)=(1-e-x2)θ，x>0，θ>0

(2)

其中，θ>0為未知形狀參數(shù).

Bayes統(tǒng)計作為一類重要統(tǒng)計方法，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到分布參數(shù)的統(tǒng)計推斷中[8-10].此處將在平方誤差和LINEX損失以及熵?fù)p失函數(shù)下討論Burr Type X分布的未知形狀參數(shù)θ的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計問題.

1 極大似然估計

設(shè)X=(X1，X2，…，Xn)為來自Burr Type X分布(1)的容量為n的簡單隨機樣本，x=(x1，x2，…，xn) 為相應(yīng)的樣本觀測值，則給定樣本觀察值x=(x1，x2，…，xn)后參數(shù)θ的似然函數(shù)為

(3)

相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)

(4)

2 Bayes估計

在這一部分，將考慮在平方誤差損失、LINEX損失和熵?fù)p失函數(shù)下討論Burr Type X分布的參數(shù)Bayes估計問題.

(i) LINEX損失函數(shù)最早由Varian(1975)[10]提出，后由Zellner (1986)[11]應(yīng)用到Bayes估計以及預(yù)測問題中，其函數(shù)表示形式為

L(Δ)=eaΔ-aΔ-1，a≠0

(5)

在LINEX損失式(5)下，參數(shù)θ的Bayes估計為

(6)

(ii) 熵?fù)p失函數(shù)為[12]

(7)

在熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)θ的Bayes估計為

(8)

定理1 設(shè)X=(X1，X2，…，Xn)為來自Burr Type X分布(1)的樣本容量為n的簡單隨機樣本，x=(x1，x2，…，xn) 為相應(yīng)的樣本觀測值，t為T的觀察值，并設(shè)參數(shù)θ的先驗分布為伽瑪分布Γ(α，β)，則

(i) 平方誤差損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計為

(ii) LINEX損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計為

(iii) 熵?fù)p失函數(shù)下參數(shù)θ的Bayes估計為

證明由于參數(shù)θ的先驗分布為共軛伽瑪分布Γ(α，β)，即相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

再由式(3)及Bayes定理，參數(shù)θ的后驗概率密度函數(shù)為

h(θ|x)∝l(θ)·π(θ；α，β)∝

θne-θtθα-1e-βθ∝θn+α-1e-(β+t)θ

(9)

從而θ的后驗分布為Γ(n+α，β+t)，則有

(i) 在平方誤差損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計為其后驗均值，于是參數(shù)θ的Bayes估計為

(ii) 由式(9)有

于是在LINEX損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計為

(iii) 在熵?fù)p失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計為

3 經(jīng)驗Bayes估計

在這一部分考慮參數(shù)θ的經(jīng)驗Bayes估計問題.以下設(shè)參數(shù)θ的先驗分布為π(θ)=βe-βθ，θ>0，β>0.通過ML-II法獲得超參數(shù)β的估計，進而可求得參數(shù)θ的經(jīng)驗Bayes估計.隨機變量X的邊緣概率密度函數(shù)為

基于m(x；β)，得到參數(shù)β的最大似然估計為

(10)

從而得到參數(shù)θ的經(jīng)驗Bayes估計分別為

(11)

4 數(shù)值模擬和結(jié)論

在這一部分，利用Monte Carlo數(shù)值模擬一組樣本容量為20的樣本觀測值.

表1 θ=4的容量為20的Burr Type X樣本觀測值

(2) 給定先驗參數(shù)值(α，β)=(3.0，1.0)，給定a=1和2，計算平方誤差損失、LINEX損失和熵?fù)p失函數(shù)下得到的參數(shù)θ的Bayes估計分別為

由表1數(shù)值模擬例子和多次數(shù)值模擬知，隨著樣本容量n的增大，最大似然估計、Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計值都越來越接近真值，在有合適的先驗分布選用時，建議采用Bayes估計或經(jīng)驗Bayes估計，否則建議采用最大似然估計.

參考文獻：

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