一類具有S型功能性反應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性*

梁 娟， 尹禮壽， 劉巖巖

(1.太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，太原 030008；2.重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331)

Holling型功能反應(yīng)系統(tǒng)模型種類眾多，研究這類模型具有及其重要的生物意義.這幾年來，很多學(xué)者從不同側(cè)面研究了Holling功能性反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型[1-6].一般地，S型功能性反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)可以表述為微分方程組[6]：

(1)

其中，x，y分別表示食餌和捕食者的種群密度，K表示食餌的進位容量，η>0表示捕食者的死亡率，r表示食餌的內(nèi)在增長率，μ表示轉(zhuǎn)化率，xP/(β+xP)表示功能反應(yīng)函數(shù)，其中β表示半飽和常系數(shù).系統(tǒng)(1)已有很多研究成果,文獻[2]分析了一類具有HollingⅠ功能性反應(yīng)模型的捕食者種群與食餌種群相互作用的數(shù)學(xué)模型，分別得到了至少有一個或者兩個極限環(huán)的充分條件.當(dāng)P=2時，系統(tǒng)(1)為Holling-Ⅲ類功能性反應(yīng)模型，文獻[3]對該系統(tǒng)給出了完整的定性分析，證明了該系統(tǒng)至多有一個極限環(huán)，并給出了存在極限環(huán)的充要條件.此處接著前人的研究成果，考慮當(dāng)P=3時，系統(tǒng)(1)的動力性態(tài).研究的模型為[6]

(2)

1 平衡點的動力性態(tài)

該節(jié)將研究式(2)的動力性態(tài).在式(2)中，因為x，y分別表示食餌和捕食者的種群密度，因而只能在第一象限及其邊界上討論系統(tǒng)(2)的動力性態(tài).容易知道，x軸的正半軸是式(2)的不變流形，而y軸的正半軸不是式(2)的不變流形.但是，經(jīng)過y軸正半軸的軌線，都要進入到第一象限內(nèi).因而，第一象限及其邊界是式(2)的不變集.下面將在第一象限及其邊界上討論式(2)的動力性態(tài).

為了簡化計算，先引入適當(dāng)?shù)姆峭嘶儞Q，將式(2)進行量綱變換T=(β+x3)t，轉(zhuǎn)化為等價的系統(tǒng)

(3)

其中，m=μ-η，n=βη,若使得系統(tǒng)有正平衡點，需要保證m>0.

(4)

1) 當(dāng)y=0時，系統(tǒng)有非負平衡點E1=(0，0)，E2=(b/a，0)；

注意到x0>0，y0>0，因此E3在第一象限內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)b>ac-1/3.

現(xiàn)在討論式(3)在平衡點附近的動力性態(tài).

定理1 平衡點E1是鞍點.

證明式(4)在平衡點E1處的Jacobi矩陣為

所以，特征方程為T(λ)=[λ-b][λ-(-1)],容易知道特征值為λ1=b，λ2=-1.因為式(3)所有參數(shù)都是正的，可以得到λ1>0，λ2<0.由文獻[7]，可以得到E1為不穩(wěn)定鞍點.證畢.

下面研究系統(tǒng)平衡點E2的動力性態(tài).

定理2 關(guān)于平衡點E2，下列結(jié)論成立(其中c0=a3/b3)：

1) 當(dāng)c>c0時，E2為不穩(wěn)定鞍點；

2) 當(dāng)c

3) 當(dāng)c=c0時，E2是鞍結(jié)點.

證明式(3)在平衡點E2處的Jacobi矩陣為

所以，特征方程為T(λ)=[λ-(-b4/a3-b)][λ-(cb3/a3-1)].容易知道，特征值為λ1=-b4/a3-b，λ2=cb3/a3-1.因為式(3)所有參數(shù)都是正的，可以得到λ1<0.

由文獻[7]，可以得到以下結(jié)論：

1) c>c0時，有λ2>0，則E2為不穩(wěn)定鞍點；

2) c

3) c=c0時，有λ2=0，由E2的表達式知E2=(-b4/a3-b，0).

下面研究E2的動力性態(tài).將平衡點E2移到原點，令x1=x-b/a，y1=y，做變換x2=x1+[ab/(a3+b3)]y1，y2=y1，則方程變?yōu)?/p>

(5)

其中，g=(a3b2-3a3b-2b5)/(a3+b3)2.由文獻[7，8]知(b/a，0)為式(5)的鞍-結(jié)點，即當(dāng)c=c0時，平衡點E2為式(3)的鞍-結(jié)點.

1) 當(dāng)0b0時，E3為不穩(wěn)定的結(jié)點或焦點；

3) 當(dāng)0

證明容易知道，在定理3的條件下，E3是式(3)在第一象限內(nèi)的平衡點.式(4)在E3處的Jacobi矩陣為

用|A|和tr(A)分別表示矩陣A的行列式和跡.令λ1，λ2表示矩陣的特征值，則

因為E3是正平衡點，因而|A(b)|>0，由文獻[7，9]得到：

1) 當(dāng)b>b0時，顯然tr(A(b))>0，因為|A(b)|>0，所以Re(λ1)>0，Re(λ2)>0，則E2為不穩(wěn)定的結(jié)點或焦點；

2 Hopf分岔及其穩(wěn)定性

在定理3的3)中，當(dāng)0

定理4 當(dāng)m>1，b=b0時，式(4)在平衡點E3附近會發(fā)生Hopf分岔,并會在E3附近出現(xiàn)唯一的穩(wěn)定極限環(huán).

在式(3)中，將E3移到原點，引入變量變換x=x0+ζ1，y=y0+ζ2，并作Taylor多項式展開，得到式(6)

(6)

將式(6)寫成下面的形式(式(7))：

(7)

選取兩個復(fù)向量q=(1，-iwm)T，p=(1/2，-i/2wm)T，計算可以得到Aq=iwq和ATp=-iwp，并且〈p，q〉=1.由B和C的定義又得到

直接計算得到第一Lyapunov系數(shù)為

由文獻[8，10]知，當(dāng)l1(b0)≠0，式(3)會發(fā)生Hopf分岔.由結(jié)論知，l1(b0)<0時，式(3)會出現(xiàn)一個穩(wěn)定的極限環(huán).證畢.

參考文獻：

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