關(guān)于不定方程 x3±64=67y2

董 小 倩

(西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715)

不定方程

x3±64=Dy2，x，y∈Z

(1)

(其中D為大于零的正整數(shù))是一類基本而重要的不定方程，對它已有不少的研究工作.當(dāng)D>2，D無平方因子且不能被3或6k+1的素數(shù)整除時，方程的解已經(jīng)由文獻[1]給出.但是當(dāng)D為不含平方因子，并且能被3或6k+1的素數(shù)整除時，張攀[2]證明了當(dāng)D=7，13，19，37，43時方程(1)的所有整數(shù)解.趙天[3]證明了不定方程x3+64=Dy2，當(dāng)D=21時，則僅有整數(shù)解(x，y)=(-4，0)，(5，±3).牛芳芳[4]證明了不定方程x3-64=31y2僅有整數(shù)解(x，y)=(-4，0)，(20，±16)，(7，±3).而對于D=67時不定方程的解還未解決.此處在此基礎(chǔ)上，利用同余式的性質(zhì)和遞歸數(shù)列的方法，證明了該方程只有平凡解(x，y)=(?4，0).

引理1[5]不定方程

x3+1=67y2，x，y∈Z

(2)

僅有整數(shù)解(x，y)=(-1，0).

定理1 不定方程

x3+64=67y2，x，y∈Z

(3)

僅有整數(shù)解(x，y)=(-4，0).

證明若x≡0(mod2)，則由式(3)有y≡0(mod4)，又由式(3)可知x≡0(mod4)，從而y≡0(mod8).設(shè)x=4x1，y=8y1，則式(3)化為x13+1=67y12，由引理1可知(x1，y1)=(-1，0)，故此時式(3)有解(x，y)=(-4，0).

當(dāng)x≡1(mod2)時，式(3)化為(x+4)(x2-4x+16)=67y2，易知(x+4，x2-4x+16)=1或3，故式(3)有4種可能的分解：

情形1 x+4=67a2，x2-4x+16=b2，y=ab.

情形2 x+4=a2，x2-4x+16=67b2，y=ab.

情形3 x+4=3a2，x2-4x+16=201b2，y=3ab.

情形4 x+4=201a2，x2-4x+16=3b2，y=3ab.

以下分別討論這4種情形所給式(3)的整數(shù)解.

情形1 由第二式得x=0，4，代入第一式都不成立，故該情形沒有式(3)的整數(shù)解.

(4)

(5)

(6)

(7)

由式(6)得遞推關(guān)系式xn+2=97 684xn+1-xn，x0=16，x1=1 581 050，故xn≡-1(mod17)，所以有xn+6≡5(mod17)，從而a2≡5(mod17)，而這不可能.

情形3和情形4 由于x≡1(mod2)，所以x2≡1(mod4)，代入第二式都有3b2≡1(mod4)，這不可能.故情形3和情形4都無解.

綜合上述情形的討論可得，不定方程x3+64=67y2，x，y∈Z，僅有整數(shù)解(x，y)=(-4，0).

引理2 不定方程

x3-1=67y2，x，y∈Z

(8)

僅有整數(shù)解(x，y)=(1，0).

定理2 不定方程

x3-64=67y2，x，y∈Z

(9)

僅有整數(shù)解(x，y)=(4，0).

證明若x≡0(mod2)，則由式(9)有y≡0(mod4)，又由式(9)可知x≡0(mod4)，從而y≡0(mod8).設(shè)x=4x1，y=8y1，則式(9)化為x13-1=67y12，由引理2可知(x1，y1)=(1，0)，故此時式(9)有解(x，y)=(4，0).

當(dāng)x≡1(mod2)時，式(9)化為 (x-4)(x2+4x+16)=67y2，易知(x-4，x2+4x+16)=1或3，故式(9)有4種可能的分解：

情形1 x-4=67a2，x2+4x+16=b2，y=ab.

情形2 x-4=a2，x2+4x+16=67b2，y=ab.

情形3 x-4=3a2，x2+4x+16=201b2，y=3ab.

情形4 x-4=201a2，x2+4x+16=3b2，y=3ab.

以下分別討論這4種情形所給式(9)的整數(shù)解.

情形1 由第二式得x=0，-4，都不滿足x≡1(mod2)，故該情形沒有式(9)的整數(shù)解.

(10)

(11)

(12)

(13)

由式(12)得遞推關(guān)系式xn+2=97 684xn+1-xn，x0=16，x1=1 581 050，故xn≡-1(mod17)，所以有xn-6≡10(mod17)，從而a2≡10(mod17)，而這不可能.

情形3和情形4 由于x≡1(mod2)，所以x2≡1(mod4)，代入第二式都有3b2≡1(mod4)，這不可能. 故情形3和情形4都無解.

綜合上述情形的討論可得，不定方程x3-64=67y2，x，y∈Z，僅有整數(shù)解(x，y)=(4，0).

參考文獻：

[1] 張海燕，李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=Dy2[J].哈爾濱科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1994，18(2)：107-109

[2] 張攀.關(guān)于不定方程x3±64=py2的研究[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1992，19(2)：1-2

[3] 趙天.關(guān)于不定方程x3+64=21y2[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，25(1)：09-10

[4] 牛芳芳.關(guān)于不定方程x3-64=31y2[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，31(2)：32-33

[5] 王明軍.關(guān)于丟番圖方程x3+1=67y2[J].北華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，14(2)：150-151

[6] 杜先存，萬飛，趙金娥.Pell方程ax2-by2=1的最小解[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，30(1)：35-38