卷積法和角譜法再現(xiàn)顯微全息圖時補零數(shù)的研究

李建素,王昭,高建民,劉蕓

(1.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院, 710049, 西安;2.西安交通大學(xué)機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室, 710049, 西安)

卷積法和角譜法再現(xiàn)顯微全息圖時補零數(shù)的研究

李建素1,王昭1,高建民2,劉蕓1

(1.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院, 710049, 西安;2.西安交通大學(xué)機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室, 710049, 西安)

針對全息圖補零法的補零數(shù)對再現(xiàn)像和系統(tǒng)效率的影響,結(jié)合數(shù)字全息顯微術(shù)中卷積法和角譜法數(shù)字再現(xiàn)的原理和再現(xiàn)面與物體放大像尺寸的關(guān)系,研究補零數(shù)對再現(xiàn)像和系統(tǒng)效率的影響,并采用梯度法來評價再現(xiàn)像的質(zhì)量。對全息圖采用頻率濾波提取實像或共軛像的頻譜,再采用卷積法或角譜法數(shù)字再現(xiàn),獲得物體的放大像。結(jié)合再現(xiàn)像的質(zhì)量和效率兩方面因素,提出了補零數(shù)的選取依據(jù)，即以再現(xiàn)面的物理尺寸不小于物體的放大像時的最小補零數(shù)作為最佳補零數(shù),此時能以最小的計算量獲得最高質(zhì)量的再現(xiàn)像。通過實驗驗證,結(jié)果與理論分析一致,證明了選取補零數(shù)的依據(jù)。

顯微全息圖;補零數(shù);卷積法;角譜法

數(shù)字全息顯微術(shù)因能夠同時記錄和再現(xiàn)物體的三維信息,并以無入侵性和非接觸的方式對樣本進(jìn)行測量,在微觀粒子成像和跟蹤[1-2]、聚合物生長檢測[3-4]、生物細(xì)胞觀察[5-8]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字全息中,最常用的數(shù)字再現(xiàn)方法有菲涅耳衍射法,卷積法和角譜法。其中菲涅耳衍射法是對基爾霍夫衍射理論的一種近似算法,此算法要求再現(xiàn)距離滿足菲涅耳近似條件;卷積法和角譜法分別以卷積和角譜的形式無近似地表示瑞利-索末菲衍射理論,實現(xiàn)數(shù)字再現(xiàn)。菲涅耳法適用于再現(xiàn)距離大于額定距離的數(shù)字再現(xiàn),卷積法和角譜法適用于再現(xiàn)距離小于額定距離的數(shù)字再現(xiàn)[9],且能夠無近似地再現(xiàn)物光波。因此,卷積法、角譜法比菲涅耳法能夠更準(zhǔn)確地再現(xiàn)全息圖。但是卷積法再現(xiàn)顯微全息圖時獲得的再現(xiàn)像常常折疊,如北京工業(yè)大學(xué)的趙潔等人采用卷積法再現(xiàn)時,當(dāng)再現(xiàn)距離大于最佳再現(xiàn)距離時,再現(xiàn)像被放大、發(fā)生折疊、視場不完整[10]。日本群馬大學(xué)的Zhang等人采用卷積法再現(xiàn)時,再現(xiàn)像出現(xiàn)折疊,未能獲得正確的再現(xiàn)像[11]。法國勒芒大學(xué)的Picart等人采用卷積法再現(xiàn)時,再現(xiàn)像出現(xiàn)折疊,零級像干擾再現(xiàn)實像[12]。上述折疊現(xiàn)象發(fā)生是由于卷積法再現(xiàn)時再現(xiàn)面的物理尺寸小于再現(xiàn)像的物理尺寸,從而導(dǎo)致了再現(xiàn)像面的折疊。角譜法和卷積法唯一區(qū)別是它們的傳遞函數(shù)在不同的域表示——卷積法的傳遞函數(shù)在空域表示,角譜法的傳遞函數(shù)在頻域表示。角譜法與卷積法的計算理論是一樣的,因此在角譜法再現(xiàn)顯微全息圖時也常常會出現(xiàn)再現(xiàn)像的折疊。

為了避免卷積法和角譜法再現(xiàn)顯微全息圖時導(dǎo)致再現(xiàn)像的折疊,趙潔,Zhang和Picart等人提出了在全息圖周圍填充灰度值為零的像素,進(jìn)而增大再現(xiàn)面的物理尺寸的方法,即全息圖補零法,以獲得無折疊的再現(xiàn)像[10-12]。但是，他們并未就補零數(shù)對再現(xiàn)像和系統(tǒng)效率的影響進(jìn)行系統(tǒng)的分析,也未給出補零數(shù)的選取依據(jù)。本文在卷積法和角譜法基本原理的基礎(chǔ)上,結(jié)合放大像尺寸與再現(xiàn)面尺寸的關(guān)系,分析了補零數(shù)對再現(xiàn)像和系統(tǒng)效率的影響,給出了最佳補零數(shù)選取的理論和實驗依據(jù)。

1 數(shù)字再現(xiàn)原理

數(shù)字全息顯微術(shù)中的坐標(biāo)關(guān)系如圖1所示。

圖1 數(shù)字全息顯微術(shù)坐標(biāo)示意圖

根據(jù)瑞利-索末菲衍射理論和線性系統(tǒng)理論,數(shù)字再現(xiàn)的物光波為

O(xi,yi)=?C(x,y)I(x,y)h(xi-x,yi-y)dxdy

(1)

式中:I(x,y)和C(x,y)分別為全息圖和再現(xiàn)光的表達(dá)式;h(x,y)為光波衍射的脈沖響應(yīng),可表示為

(2)

其中d為記錄距離,λ為激光波長。

對式(2)做傅里葉變換,可得

(3)

式中:H(fx,fy)是光波衍射的傳遞函數(shù);FFT{A}為A的傅里葉變換。根據(jù)卷積定理,式(1)可以改寫為

FFT{O(xi,yi)}=

FFT{C(x,y)I(x,y)}H(fx,fy)

(4)

對式(4)兩邊同時做逆傅里葉變換,并結(jié)合式(1)可得再現(xiàn)物光波為

O(xi,yi)=IFFT{FFT{C(x,y)I(x,y)}·

FFT(h(x,y))}

(5)

或

O(xi,yi)=IFFT{FFT{C(x,y)I(x,y)}·

H(fx,fy)}

(6)

式中:IFFT{A}為A的逆傅里葉變換。式(5)為卷積法數(shù)字再現(xiàn)的表達(dá)式,式(6)為角譜法數(shù)字再現(xiàn)的表達(dá)式。式(5)和式(6)僅傳遞函數(shù)的表示形式不同,但都是首先對全息圖進(jìn)行一次傅里葉變換后與傳遞函數(shù)相乘,再做逆傅里葉變換獲得再現(xiàn)物光波。全息圖經(jīng)歷了2次傅里葉變換之后得到再現(xiàn)物光波,故再現(xiàn)面與全息圖同屬于空域,表明卷積法和角譜法再現(xiàn)的再現(xiàn)面的像素大小與全息圖的像素大小相等,因而它們的再現(xiàn)面尺寸為

Si=MΔxi×NΔyi

(7)

式中:M、N為全息圖的像素數(shù);Δxi、Δyi為再現(xiàn)面的像素大小。

本文首先對全息圖采用頻率濾波提取實像或共軛像的頻譜,再采用卷積法或角譜法數(shù)字再現(xiàn),獲得物體的放大像,流程如圖2所示。

圖2 數(shù)字全息再現(xiàn)流程圖

數(shù)字再現(xiàn)獲得的物體放大像的尺寸為

Sβo=βX×βY

(8)

式中:β為系統(tǒng)的放大倍數(shù);X、Y分別為物體的長和寬。數(shù)字全息顯微術(shù)再現(xiàn)獲得物體放大的像,再現(xiàn)面的尺寸可能小于放大像,即Sβo>Si。此時為避免采用快速傅里葉變換實現(xiàn)卷積法或角譜法而導(dǎo)致的再現(xiàn)像折疊,有學(xué)者提出對全息圖補零以增大再現(xiàn)面的尺寸,從而獲得無折疊的再現(xiàn)像。當(dāng)再現(xiàn)面的物理尺寸小于物體的放大像,即M<βX/Δxi,N<βY/Δyi時,需對全息圖補零至M′≥βX/Δxi,N′≥βY/Δyi,以獲得不折疊的再現(xiàn)像。本文的補零方式是在全息圖的x、y方向分別對稱地補相同數(shù)量的零,后續(xù)提到的補零數(shù)都是指在某一方向上某一邊的補零數(shù)。因此,對全息圖補零的最小補零數(shù)為

(9)

因卷積法和角譜法再現(xiàn)時,再現(xiàn)面的像素大小與CCD(Charged-Coupled Device)面的像素大小相等,即Δxi=Δx,Δyi=Δy,則式(9)可改寫為

(10)

式(10)決定的補零數(shù)即為最佳補零數(shù),此時能夠以最高的效率獲得高質(zhì)量的再現(xiàn)像。當(dāng)補零數(shù)大于式(10)的補零數(shù)時,再現(xiàn)像質(zhì)量保持恒定,但計算量隨著補零數(shù)的增加而增大,導(dǎo)致效率降低。

2 實驗結(jié)果和分析

為了驗證理論分析,進(jìn)行了相應(yīng)的實驗。實驗光路如圖3所示,圖中He-Ne激光器發(fā)出的光經(jīng)過W1(1/2波片)和偏振分光棱鏡(PBS)分為兩束,一束經(jīng)空間濾波器(BE1)擴束和透鏡L1準(zhǔn)直后作為參考光(R);另一束經(jīng)W2(1/2波片)后直接照射物體并被顯微物鏡(MO)放大后作為物光(O),物光與參考光波經(jīng)分光棱鏡合束后干涉形成全息圖。圖中M1、M2均為反射鏡。顯微物鏡的放大倍數(shù)為10,數(shù)值孔徑為0.25。物體為USAF1951分辨率板的6組和7組黑白條紋,其尺寸X×Y為0.2 mm×0.2 mm。分辨率板的最小線寬為2.19 μm。

實驗獲得了多組數(shù)據(jù),且數(shù)據(jù)具有較好的一致性。本文列舉了一組實驗數(shù)據(jù),采集的全息圖如圖4a所示,其像素數(shù)為842×842,像素大小為9 μm×9 μm,記錄距離d為214.02 mm。系統(tǒng)放大倍數(shù)β經(jīng)分辨率板標(biāo)定為51.4。因為卷積法和角譜法對全息圖的處理相同,僅是計算時的傳遞函數(shù)表達(dá)形式不同,故這兩種方法的數(shù)字再現(xiàn)結(jié)果近似，所以本文僅討論卷積法數(shù)字再現(xiàn)的情況。按照圖2所示的流程對全息圖進(jìn)行處理,采用卷積法數(shù)字再現(xiàn)全息圖得到再現(xiàn)像,如圖4b所示。

W1:1/2波片;W2:1/2波片;MO:顯微物鏡;BE1:空間濾波器;L1:透鏡;M1,M2:反射鏡;PBS:偏振分光棱鏡;BS:分光棱鏡

(a)全息圖

(b)卷積法再現(xiàn)的再現(xiàn)像

因βX=51.4×0.2 mm=10.28 mm,MΔx=7.578 mm,10.28>7.578,導(dǎo)致了再現(xiàn)像折疊,因此需對全息圖補零后再進(jìn)行數(shù)字再現(xiàn)。由于待測物體的長寬相等,為簡化計算,僅分析x方向再現(xiàn)像。據(jù)式(9),全息圖補零后最小像素數(shù)M′=βX/Δx=1 142。全息圖最小補零數(shù)為

Mpaddingmin=(βX/Δx-M)/2=150

(11)

(a)Mpadding=100,Npadding=100

(b)Mpadding=150,Npadding=150

(c)Mpadding=450,Npadding=450

設(shè)全息圖的縱向補零數(shù)Mpadding的范圍為50～450,橫向補零數(shù)Npadding的范圍為50～450,補零數(shù)每增加50像素數(shù),再現(xiàn)一次再現(xiàn)像。為了簡潔,本文不列出每個補零數(shù)對應(yīng)獲取的再現(xiàn)像,僅列出具有代表性的3幅再現(xiàn)像(見圖5)。由圖5可知:當(dāng)補零數(shù)小于150時,再現(xiàn)像折疊,且再現(xiàn)像的對比度很低;當(dāng)補零數(shù)等于150時,再現(xiàn)像清晰,再現(xiàn)像對比度很高,且能分辨分辨率板的7.6組條紋,分辨率大于2.19 μm;當(dāng)補零數(shù)大于150時,再現(xiàn)像仍能分辨分辨率板的最高級條紋,分辨率大于2.19 μm。從理論上分析,隨著補零數(shù)的增加,僅是增加了再現(xiàn)面的尺寸,當(dāng)保證再現(xiàn)面能夠容納放大像之后,再現(xiàn)像都能夠清晰再現(xiàn)。實驗結(jié)果與理論分析一致,當(dāng)補零數(shù)等于150時,再現(xiàn)像不折疊,與第2節(jié)給出的最小補零數(shù)吻合。將再現(xiàn)像折疊時的再現(xiàn)像質(zhì)統(tǒng)一視為0,采用圖像的梯度法評價不重疊的再現(xiàn)像。設(shè)再現(xiàn)像的灰度為f(x,y),則再現(xiàn)像的梯度表示為

(12)

式中:Gx、Gy分別為再現(xiàn)像的橫向梯度和縱向梯度。本文采用Sobel梯度算子理論。由式(12)獲得的圖像梯度值越大，說明圖像的邊緣越陡峭,圖像的對比度越大,圖像的質(zhì)量越好。評價結(jié)果如圖6所示。

圖6 再現(xiàn)像質(zhì)量圖

由圖6得,當(dāng)補零數(shù)為150時,再現(xiàn)像的質(zhì)量最好。補零數(shù)為150正是計算得到的最小補零數(shù),表明當(dāng)補零數(shù)為最小補零數(shù)時,再現(xiàn)像質(zhì)量最好。當(dāng)補零數(shù)大于150時,隨著補零數(shù)的增加,再現(xiàn)像的質(zhì)量略有降低,并最后保持恒定。這是因為補零數(shù)大于最小補零數(shù)后,繼續(xù)增加補零數(shù)時,再現(xiàn)實像周圍的噪聲進(jìn)入再現(xiàn)面,導(dǎo)致再現(xiàn)像的質(zhì)量稍有降低,但頻率濾波獲取的頻譜里含有的噪聲是固定的,噪聲不會隨著補零數(shù)的增加繼續(xù)增大。

圖7 補零數(shù)與計算耗時的關(guān)系

為了評估不同補零數(shù)的計算耗時,給出了補零數(shù)與耗時的關(guān)系,如圖7所示。由圖7可得,隨著補零數(shù)的增大,計算時間增加,整個系統(tǒng)的效率越來越低?？紤]再現(xiàn)像的質(zhì)量和效率兩方面,應(yīng)選擇補零數(shù)為150,此時既能獲得高質(zhì)量的再現(xiàn)像,又能以最短的時間完成計算。

實驗表明,應(yīng)選擇恰好能使再現(xiàn)面尺寸等于放大像尺寸時的補零數(shù)作為最佳補零數(shù),此時能以最高的效率獲得最高質(zhì)量的再現(xiàn)像。實驗結(jié)果與理論分析一致。

3 結(jié) 論

本文結(jié)合數(shù)字全息顯微術(shù)中卷積法和角譜法數(shù)字再現(xiàn)的原理和再現(xiàn)面與物體放大像尺寸的關(guān)系,系統(tǒng)地就補零數(shù)對再現(xiàn)像和系統(tǒng)效率的影響進(jìn)行了分析研究,并提出了補零數(shù)的選取依據(jù)。通過理論分析和實驗,論證了選擇使再現(xiàn)面尺寸等于物體放大像尺寸時的最小補零數(shù)作為最佳的全息圖補零數(shù),能以最高效率獲得最高質(zhì)量的再現(xiàn)像。

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(編輯 趙煒)

Zero-PaddingNumberofConvolutionApproachandAngularSpectrumforReconstructingMicroscopicHologram

LI Jiansu1,WANG Zhao1,GAO Jianmin2,LIU Yun1

(1. School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The influence of zero-padding number in zero-padding hologram on reconstructed image and system efficiency is analyzed by combining angular spectrum in digital holographic microscopy with the size relation between magnified image and reconstructed plane. The gradient method is used to evaluate the quality of reconstructed image. The frequency of real image or virtual image is obtained by frequency filter. The object magnified image is obtained by convolution approach or angular spectrum. The evidence of choosing zero padding number is proposed according to the quality of reconstructed image and system efficiency. The experimental results are consistent with theoretical analysis. It demonstrates that the smallest zero-padding number ensuring the size of reconstructed image larger than the magnified image is the best one, at that time the highest quality of reconstructed image is achieved with smallest calculating task.

microscopic hologram; zero-padding number; convolution approach; angular spectrum

10.7652/xjtuxb201405020

2013-09-20。 作者簡介: 李建素(1986—),女,博士生;高建民(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

O438.1

:A

:0253-987X(2014)05-0113-05