三參數(shù)邊界強度過程模型及其在數(shù)控機床可靠性評估中的應用

任麗娜,芮執(zhí)元,李建華,李海燕

(1.蘭州理工大學機電工程學院, 730050, 蘭州; 2.電子科技大學機械電子工程學院, 611731, 成都)

三參數(shù)邊界強度過程模型及其在數(shù)控機床可靠性評估中的應用

任麗娜1,2,芮執(zhí)元1,李建華1,李海燕1

(1.蘭州理工大學機電工程學院, 730050, 蘭州; 2.電子科技大學機械電子工程學院, 611731, 成都)

為提高數(shù)控機床可靠性評估的準確性,基于邊界強度過程理論,提出一種初始時刻故障強度不為零的三參數(shù)邊界強度過程模型。通過對故障強度函數(shù)進行求導運算,證實了模型的特性,并推導了三參數(shù)邊界強度過程和齊次泊松過程之間的關系。利用極大似然估計法和優(yōu)化方法,給出了模型參數(shù)及可靠性指標的計算公式。分別以單臺數(shù)控機床故障截尾數(shù)據(jù)和多臺數(shù)控機床時間截尾數(shù)據(jù)為例對模型進行驗證,對數(shù)似然函數(shù)及擬合優(yōu)度計算結果均表明:三參數(shù)邊界強度過程模型優(yōu)于邊界強度過程模型,而且更符合工程實際,可為制定合理的維修策略提供一定的理論依據(jù)。

三參數(shù)邊界強度過程;極大似然估計;數(shù)控機床;可靠性評估

數(shù)控機床是由眾多零部件組成的復雜機電系統(tǒng),是典型的可修復系統(tǒng)。對于可修復系統(tǒng),維修行為貫穿于其使用的全過程,且不同的維修行為對系統(tǒng)的可靠性有不同程度的影響。通常情況下,系統(tǒng)維修活動僅涉及其中部分零部件,從而使系統(tǒng)修復后處在與故障前近似相同的狀態(tài)[1],在這種最小維修情況下,通常采用冪律過程[2-4]和對數(shù)線性過程[5]等非齊次泊松過程(non-homogenous Poisson process,NHPP)來描述可修系統(tǒng)的故障過程,但這兩種過程模型的共性問題是隨著工作時間的增加,故障強度均無限增大。實際上,當可修復系統(tǒng)進入耗損期后,隨著可靠性的下降,維修頻次也相應地增加,由于頻繁地對系統(tǒng)故障零部件進行最小維修,使得系統(tǒng)的故障強度有時為有界增函數(shù),而非無限增大[6]。針對這種維修頻繁的可靠性惡化系統(tǒng),Pulcini提出了一種邊界強度過程(BIP)模型[7],該模型是二參數(shù)非齊次泊松過程模型的一種,其故障強度隨系統(tǒng)運行時間的增加漸近于某一常數(shù),適用于評估處于耗損期可修復系統(tǒng)的可靠性。文獻[8]通過實例驗證了BIP模型適用于描述處于耗損期的數(shù)控機床故障過程。但是，該模型在零時刻時故障強度為零,這與工程實際不符,因為開始對現(xiàn)場故障數(shù)據(jù)進行采集時,機床已經(jīng)或即將進入耗損期,由于磨損、疲勞及老化等的存在,數(shù)據(jù)采集初始時刻故障強度一般不為零,即此時的機床一般不是“完美無缺”的。因此,若按該模型建模,可能會導致評估結果準確度低、易造成制定不合理的維修策略等問題。

為提高數(shù)控機床可靠性評估的準確性,本文根據(jù)數(shù)控機床故障機理,在邊界強度過程模型的基礎上,引入位置參數(shù),建立三參數(shù)邊界強度過程模型,實現(xiàn)了最小維修假設下數(shù)控機床可靠性的有效評估。

1 三參數(shù)邊界強度過程模型

1.1 模型建立

邊界強度過程模型是數(shù)控機床可靠性分析的備選模型之一,其強度函數(shù)λ(t)定義為

λ(t)=α(1-exp(-t/β)),α,β>0,t≥0

(1)

λ(t)為一有界增函數(shù),表示系統(tǒng)在單位時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)。當t=0時,λ0=0,表示系統(tǒng)在該時刻是“完美”的,當t→∞時,λ(t)|t→∞=α,α即為系統(tǒng)最大故障強度。

考慮到浴盆曲線的損耗階段之前是偶然故障階段,故障強度不為零,為更好地解決工程實際問題,本文在BIP模型的基礎上,通過引入位置參數(shù),提出三參數(shù)邊界強度過程模型,其故障強度函數(shù)λ(t)定義為

(2)

系統(tǒng)在[0,t]區(qū)間內(nèi)的期望故障數(shù),即累積故障強度函數(shù)為

α,β,γ>0,t≥0

(3)

1.2 模型特性

首先,對模型故障強度函數(shù)λ(t)求一階導數(shù)得

模型中參數(shù)α、β的意義如下:α為系統(tǒng)故障強度函數(shù)λ(t)的最大值,β為故障強度從初始強度增加到漸近值α所經(jīng)歷的時間,且其大小決定故障強度的初始增加速率,β值越小,故障強度增加的越快,直至增加到接近α值。

設單一系統(tǒng)在故障觀察區(qū)間[0,T]的故障時間為t1,t2,…,tn,其中tn=T時為故障截尾試驗,tn≠T時為時間截尾試驗,則故障時間ti的條件概率密度函數(shù)為

f(ti|ti-1)=α[1-exp(-(ti+γ)/β)]·

exp{-α[(ti-ti-1)-β(exp(-(ti-1+γ)/β)-

exp(-(ti+γ)/β))]}

(4)

按照文獻[9]中的理論,用w(t)表示系統(tǒng)在任意時刻t至下一次故障發(fā)生所需的時間,即w(t)=TN(t)+1-t,式中TN(t)+1為第N(t)+1個故障發(fā)生的時間,則

當t=0時,E{w0}與平均首次故障時間E{t1}相等,即有

exp(-(t+γ)/β))]}dt

(5)

下面證明故障間隔時間所服從的分布情況。

對于任意t≥0,有[1-exp(-t/β)]<1,所以

β[exp(-γ/β)-exp(-(t+γ)/β)]=

βexp(-γ/β)[1-exp(-t/β)]<βexp(-γ/β)

即

t-β[exp(-γ/β)-exp(-(t+γ)/β)]>

t-βexp(-γ/β)

因此得

exp[αβexp(-γ/β)]/α

從而可以得出,對于任意α,β,γ>0,E(t1)存在極限。相應地,對于t≥0,E(wt)存在極限[10]。

2 模型參數(shù)及可靠性指標的極大似然估計

假定共有m臺工作環(huán)境相近的同型數(shù)控機床,第j臺機床在觀測時間[0,Tj]發(fā)生了nj個故障,且第i個故障發(fā)生時間是tji(i=1,2,…,nj;j=1,2,…,m),按照時序的故障時刻為0

exp(-(ti+γ)/β)]}exp{-α[T-β(exp(-γ/β)-

exp(-(T+γ)/β))]}

(6)

對于故障截尾試驗,只需令T=tn。

對于m臺同型數(shù)控機床,其似然函數(shù)及對數(shù)似然函數(shù)分別為

exp(-(tj,i+γ)/β)]}

(7)

exp(-(Tj+γ)/β)]}

(8)

對式(8)參數(shù)α求一階偏導數(shù),并令其為零,可得

(9)

將(9)式代入(8)式中可以得到一個含有兩個參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)

exp(-(tj,i+γ)/β)]}-N

(10)

累積故障強度M(t)、瞬時平均故障間隔時間tIMTBF、累積平均故障間隔時間tCMTBF及給定時刻的可靠度R(t)等可靠性指標的極大似然估計為

(11)

(12)

(13)

(14)

3 模型應用

實例1:對文獻[11]中某一機床故障數(shù)據(jù),通過求出早期故障期與偶然故障期轉折點并進行轉換,得到某機床廠一臺加工中心的故障時間數(shù)據(jù)(單位為h)依次為:836.5,1 291.24,1 401.96,1 497.44,2 595.37,2 683.46,2 840.26,3 039.91,3 332.24,3 429.15,3 592.53,3 809.97,3 960.94,4 012.37,4 313.44,4 546.03,4 947.2,5 726.61,6 231.34,6 628.99。最后一個數(shù)據(jù)為故障截尾時間。

首先,按照TTT(total time on test)圖檢驗方法[12],對上述加工中心故障數(shù)據(jù)進行趨勢檢驗,結果如圖1所示。圖中i/n為第i個故障數(shù)與總故障數(shù)的比值,縱坐標為TTT值,具體計算方法見文獻[12]。從圖中可以看出,所有散點均分布在單位正方形對角線的上方,表明數(shù)控機床故障強度增大,正處于“耗損期”的階段。

圖1 加工中心故障截尾TTT圖

另外,若采用威布爾過程模型建模,得模型參數(shù)b=1.329 2,也表明數(shù)控機床已進入損耗階段。因此,可以采用本文提出的3-BIP模型對其進行可靠性分析。不同模型的計算結果如表1所示,由表中l(wèi)nL值可以看出,3-BIP模型優(yōu)于BIP模型,說明機床在數(shù)據(jù)采集初始時刻至少運行了1 123.72 h,且相應的故障強度λ0=0.002 169,說明機床初始時刻發(fā)生一次故障所需時間約為461 h,而BIP模型假設初始時刻發(fā)生一次故障的時間為無窮大,顯然不合理,因此,3-BIP模型更符合工程實際。3-BIP模型的故障強度曲線如圖2所示。

圖2 3-BIP模型的故障強度曲線

為進一步驗證3-BIP模型即為最佳模型,還需進行擬合優(yōu)度檢驗。定義擬合優(yōu)度評價指標[13]為

經(jīng)計算,不同模型的擬合優(yōu)度檢驗結果如表1所示,累積故障數(shù)擬合曲線如圖3所示。顯然,3-BIP模型的擬合效果優(yōu)于BIP模型,說明在評估處于耗損期的數(shù)控機床可靠性時,考慮磨損、疲勞及老化等因素對信息采集初始時刻機床可靠性的影響是必要的。

圖3 累積故障數(shù)擬合曲線

3-BIP模型和BIP模型可靠性指標的點估計結果如表2所示。從表中可以看出,機床運行至6 628.99 h時,3-BIP模型和BIP模型的累積平均故障間隔時間雖近似相等,但前者的平均可靠度低于后者,因此,若按BIP模型描述該數(shù)控機床的故障過程,可能會造成制定不合理的維修策略,從而影響企業(yè)生產(chǎn)效率。

實例2:文獻[8]分別采用BIP模型及PLP模型分析了8臺同型號數(shù)控機床(編號為1～8)一年的33個時間截尾故障數(shù)據(jù),如表3所示。

表1 不同模型的計算結果

表2 3-BIP模型和BIP模型可靠性指標的點估計結果

表3 8臺同型號數(shù)控機床的故障數(shù)據(jù)

文獻[8]經(jīng)計算證明,該8臺同型數(shù)控機床已進入耗損階段,因此,可以采用本文提出的3-BIP模型對上述數(shù)控機床故障過程進行分析。不同模型的計算結果如表4所示,累積故障數(shù)擬合曲線如圖4所示,不難看出,3-BIP模型優(yōu)于BIP模型。由表4說明機床在數(shù)據(jù)采集初始時刻已至少運行了193.49 h,且相應的故障強度λ0=3.42×10-4,表明故障信息采集初始時刻機床有突發(fā)故障的風險,但該值相對系統(tǒng)最大故障強度α=4.58×10-3稍小,這可能是因為機床剛剛進入耗損期,系統(tǒng)各零部件損傷的程度相對較小或機床剛剛經(jīng)歷過維修,及時更換了部分損傷零部件的緣故。

圖4 累積故障數(shù)擬合曲線

表5給出了3-BIP模型和BIP模型可靠性指標的點估計結果,可以看出,在機床運行至2 500 h時,3-BIP模型的平均可靠性水平低于BIP模型的水平,因此,為優(yōu)化使用機床,應以3-BIP模型給出的結果作為參考來制定維修策略。

表4 不同模型的計算結果

表5 3-BIP模型和BIP模型可靠性指標的點估計結果

4 結 論

對于處于耗損期的可修復系統(tǒng),為更準確地描述其故障過程,本文在建模時考慮系統(tǒng)故障機理及維修等因素的影響,提出一種新的三參數(shù)邊界強度過程模型。該模型是非齊次泊松過程模型的一種,其故障強度在零時刻為一常數(shù),在系統(tǒng)工作時間較長時,有一漸近邊界,更適合描述處于耗損期的可修系統(tǒng)故障過程。但是,由于位置參數(shù)的引入,增加了模型參數(shù)估計的難度,為此本文將參數(shù)估計問題轉化為優(yōu)化問題,給出了模型參數(shù)及重要可靠性指標的極大似然估計,并以2組數(shù)控機床現(xiàn)場故障數(shù)據(jù)為例,對模型進行了驗證,結果均表明本文模型能夠更加準確地評估數(shù)控機床的可靠性,從而可為合理地制定機床維修策略提供一定的理論參考。

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(編輯 趙煒)

Three-ParameterBoundedIntensityProcessModelandItsApplicationinReliabilityAssessmentofNCMachineTools

REN Lina1,2,RUI zhiyuan1,LI Jianhua1,LI Haiyan1

(1. School of Mechanical and Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

To improve the reliability assessment accuracy of NC machine tools, a three-parameter bounded intensity process (3-BIP) model by intensity function with non-zero initial condition is proposed. The characteristic of the model is confirmed by differentiating with respect to the failure intensity function, and the relationship between the three-parameter bounded intensity process and the homogenous Poisson process is derived. The calculating formula for model parameters and reliability indexes are deduced by the maximum likelihood estimation and optimization. Two examples of the failure truncated data from single NC machine tool and the time truncated data from multiple NC machine tools are taken respectively to verify the proposed method. The results of log-likelihood function and goodness-of-fit show that the 3-BIP model is better than the BIP model, so the 3-BIP model accords with practical engineering well and provides a theoretical basis for making a reasonable maintenance strategy.

three-parameter bounded intensity process; maximum likelihood estimation; NC machine tool; reliability assessment

10.7652/xjtuxb201405019

2013-09-13。 作者簡介: 任麗娜(1981—),女,講師,電子科技大學博士生;李建華(通信作者),男,副教授,博士?；痦椖? 國家重大數(shù)控專項資助項目(2010ZX04001-032);國家自然科學基金資助項目(51165018)。

TG659;TB114

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:0253-987X(2014)05-0107-06