基于機器符號的行星齒輪耦合驅(qū)動系統(tǒng)仿真

王少娜+孫濤

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作者簡介： 王少娜（1988—），女，河南鞏義人，碩士研究生，研究方向為機械振動分析，(Email)lacrosswsn@163.com;

孫濤（1972—），男，上海人，副教授，博士，研究方向為機械振動分析，(Email)suntao@shu.edu.cn0引言

眾所周知，行星齒輪系統(tǒng)是機械傳動裝置的重要組成部分，其工作性能對整個機械系統(tǒng)都有重要影響.國內(nèi)外許多學(xué)者［13］都致力于行星齒輪系統(tǒng)的研究，并且已經(jīng)取得一系列可觀的成果.早期的行星齒輪研究［45］都局限于系統(tǒng)的靜態(tài)性能，而且主要研究載荷在各行星輪上的分配特性.在實際應(yīng)用中，研究行星齒輪的動力學(xué)特性有十分重要的意義，而傳統(tǒng)方法多是通過人工推導(dǎo)運動方程進行研究.本文引入一種新方法對行星齒輪耦合驅(qū)動系統(tǒng)進行研究，即基于機器符號推導(dǎo)的行星齒輪系統(tǒng)仿真研究.使用該方法可以建立直觀的系統(tǒng)模型，機器自動推導(dǎo)系統(tǒng)方程并選擇合理的算法進行計算得到系統(tǒng)的動態(tài)特性，進而對行星齒輪耦合傳動系統(tǒng)進行動力學(xué)分析.

1基于MapleSim的行星齒輪耦合驅(qū)動系統(tǒng)模型1.1MapleSim 簡介

使用MapleSim搭建系統(tǒng)模型.MapleSim是適用于復(fù)雜多領(lǐng)域物理系統(tǒng)建模和仿真的軟件，其最大的特點是使用獨特的符號和數(shù)值計算方法，能夠自動生成模型方程并有效地管理數(shù)學(xué)模型，還可以對復(fù)雜系統(tǒng)的模型進行簡化，以保證系統(tǒng)較高的保真度和較快的運行速度.MapleSim中預(yù)置多個工程領(lǐng)域模塊，包括電子、機械、熱、信號、液壓和磁等.［6］本文對行星齒輪系統(tǒng)的建模用到機械和電子模塊.

1.2模型描述

行星齒輪系統(tǒng)由內(nèi)齒圈（ring）、行星輪（planet）、太陽輪（sun）和行星架（carrier）等4部分組成，輸入和輸出有多種組合方式.在一般情況下，將太陽輪和內(nèi)齒圈作為輸入構(gòu)件，將行星架作為輸出構(gòu)件.本文研究的行星齒輪耦合驅(qū)動系統(tǒng)示意見圖1.該系統(tǒng)作為傳動系統(tǒng)的一部分應(yīng)用于電動汽車中，一個主電機和一個輔助電機共同驅(qū)動行星齒輪系統(tǒng)，用于滿足車輛低速大扭矩和高速恒功率的需求.［7］此方案結(jié)構(gòu)簡單，易于控制并且可靠性較高.

圖 1行星齒輪耦合驅(qū)動系統(tǒng)示意

Fig.1Schematic of planetary gear coupling driving system

對行星齒輪的動力學(xué)研究需要在MapleSim中建立一個適用的物理模型，然后進行進一步的分析.研究表明，在圓柱齒輪傳動中，齒輪的徑向和軸向振動均由周向振動的激振引起，因此要考慮齒輪的扭轉(zhuǎn)振動以研究其動態(tài)特性，可認為系統(tǒng)［89］由只有彈性而無慣性的彈簧和只有慣性而無彈性的質(zhì)量塊組成，在齒輪嚙合和與輸入輸出構(gòu)件的連接中添加彈簧阻尼元件.

行星齒輪系統(tǒng)平移扭轉(zhuǎn)模型見圖2.考慮系統(tǒng)中4個構(gòu)件的周向扭轉(zhuǎn)振動以及太陽輪在水平和垂直方向上的平移振動，行星輪個數(shù)為3；還要考慮內(nèi)齒圈與輸入軸連接的一個扭轉(zhuǎn)自由度，太陽輪與輸入軸連接的一個扭轉(zhuǎn)自由度，以及行星架與輸出軸連接的一個扭轉(zhuǎn)自由度.基于以上分析，該齒輪傳動系統(tǒng)共有11個自由度.

圖 2行星齒輪系統(tǒng)平移扭轉(zhuǎn)模型

Fig.2Transversetorsional model of planetary gear system

2系統(tǒng)方程

2.1參數(shù)設(shè)置

當模型搭建完成后，在MapleSim界面中進行系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置.本文研究的行星齒輪系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，其他必要參數(shù)參照材料力學(xué)、理論力學(xué)和機械原理等知識可計算得到.

表 1行星齒輪系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1Basic structure parameters of planetary gear system參數(shù)太陽輪行星輪內(nèi)齒圈行星架齒數(shù)/個152463模數(shù)/mm2.52.52.52.5壓力角/(°)202020分度圓半徑/m0.187 50.300 00.787 50.487 5基圓半徑/m0.176 20.281 90.740 00.458 1嚙合剛度/

(N/m)2.47×1083.42×1083.42×108支撐剛度/

(N/m)1.0×108扭轉(zhuǎn)剛度/

(N/m)2.63×1083.31×108

2.2系統(tǒng)動力學(xué)方程

在MapleSim中搭建的模型，其系統(tǒng)方程可在Maple中顯示為Mh1x¨h1+Ch1sx?h1s+Kh1sxh1s=Ph1

Msx¨s－Ch1sx?h1s+3i=1Dspi－Kh1sxh1s+3i=1Wspi=0

Msx¨ξ+Cξx?ξ－3i=1Dspisin(φpi－α)+Kξxξ－3i=1Wspisin(φpi－α)=0

Msx¨η+Cηx?η+3i=1Dspicos(φpi－α)+Kηxη+3i=1Wspicos(φpi－α)=0

Mpix¨pi－Dspi+Drpi－Wspi+Wrpi=0

Mrx¨r－Ch2rx?h2r－3i=1Drpi－Kh2rxh2r－3i=1Wrpi=0

Mh2x¨h1+Ch2rx?h2r+Kh2rxh2r=Ph2

Mcx¨c－3i=1Dspi－3i=1Drpi+Cclx?cl－3i=1Wspi－3i=1Wrpi+Kclxcl=0

Mlx¨l－Cclx?cl－Kclxcl=－Pl（1）齒圈與行星輪之間的嚙合力和阻尼力可表示為Wspi=Kspi(xs－xpi－xc－xξsin(φpi－α)+xηcos(φpi－α))

Dspi=Cspi(x?s－x?pi－x?c－x?ξsin(φpi－α)+x?ηcos(φpi－α))（2）太陽輪與行星輪之間的嚙合力和阻尼力表示為Wrpi=Krpi(xpi－xr－xc)

Drpi=Crpi(x?pi－x?r－x?c)（3）式(1)～(3)中：M為當量質(zhì)量，kg；h1,h2,s,p,r,c和l分別表示輸入端1和2、太陽輪、行星輪、齒圈、行星架和輸出端l；ms為太陽輪的實際質(zhì)量，kg；Ph1,Ph2和Pl分別為輸入端1和2、輸出端的法向驅(qū)動力，N；Kh1s,Kh2r,Kcl和Ch1s,Ch2r,Ccl分別為輸入端與太陽輪間、輸入端與齒圈間以及輸出端與行星架之間的當量剛度和當量阻尼系數(shù)；Kξ,Kη和Cξ,Cη分別為太陽輪軸與太陽輪安裝處水平方向、豎直方向的剛度和阻尼系數(shù)；x為位移，且滿足以下關(guān)系：xh1s=xh1－xs

xh2r=xh2－xr

xcl=xc－xl(4)方程(1)經(jīng)簡化整理后可得mx¨+cx?+kx=p(5)式中：x為位移向量，

x=［xh1,xs,xξ,xη,xp1,xp2,xp3,xr,xh2,xc,xl］T

x?和x¨分別為速度和加速度向量；m為質(zhì)量矩陣；c為阻尼矩陣；k為剛度矩陣；p為載荷向量.

3動態(tài)特性仿真分析

3.1時變嚙合剛度

周期性變化的嚙合剛度是齒輪振動的主要激振源.［10］計算得到太陽輪與行星輪（外嚙合）、太陽輪與內(nèi)齒圈（內(nèi)嚙合）在一個嚙合周期內(nèi)隨嚙合位置變化的剛度，進行曲線擬合可得到剛度波動曲線，見圖3.

圖 3齒輪嚙合剛度曲線

Fig.3Gear engagement stiffness curves

3.2動載荷因數(shù)定義

定義動載荷因數(shù)Gspi=3(Pspi)max/Ph1

Grpi=3(Prpi)max/Ph2(6)式中：(Pspi)max和(Prpi)max分別為Pspi和Prpi在一個周期內(nèi)的最大值；Ph1和Ph2可通過輪齒的受力分析計算得到.

3.3系統(tǒng)動載荷歷程

系統(tǒng)的動載荷歷程即動載荷因數(shù)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系.本文計算系統(tǒng)在0~7 000 r/min范圍內(nèi)的動載荷因數(shù)，可獲得系統(tǒng)全面的動態(tài)特性.系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的外嚙合動載荷因數(shù)和內(nèi)嚙合動載荷因數(shù)分別見圖4和5，可對單輸入和雙輸入兩種情況下的動載歷程進行分析比較.

圖 4外嚙合動載荷系數(shù)曲線

Fig.4Dynamic load factor curves of external engagement

圖 5內(nèi)嚙合動載荷系數(shù)曲線

Fig.5Dynamic load factor curves of internal engagement

由圖4和5可知，單輸入和雙輸入在0~7 000 r/min范圍內(nèi)都出現(xiàn)較為明顯的共振點，其中有一個相同的共振點出現(xiàn)在6 700 r/min附近.在單輸入時還有一個共振點出現(xiàn)在4 000 r/min附近，此時，電機工作在中低轉(zhuǎn)速區(qū)；在雙輸入時該點卻沒有出現(xiàn)明顯共振.由此可見，雙輸入在電機的高轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)動態(tài)性能較好，能有效避開單輸入時出現(xiàn)在電機中低轉(zhuǎn)速度區(qū)域內(nèi)的共振.

4結(jié)論

運用MapleSim 搭建系統(tǒng)模型，對行星齒輪耦合驅(qū)動系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，可得到以下結(jié)論：

（1）通過搭建正確的物理模型，機器可以直接得到系統(tǒng)方程，無須進行繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算.

（2）通過對單輸入和雙輸入時動載荷因數(shù)的分析可知，雙輸入時外嚙合的動態(tài)特性比單輸入好，而單輸入時外嚙合的動態(tài)特性比雙輸入好.雙輸入在電機的高轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)動態(tài)性能較好，能有效避開單輸入時出現(xiàn)在電機中低轉(zhuǎn)速度區(qū)域內(nèi)的共振.參考文獻：

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