感悟中點四邊形的研究方法與過程

劉德鑫+陳曉雯

在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發(fā)現(xiàn)圖中有很多的中點，聯(lián)想到剛學習的三角形中位線的知識，所以，第一反應(yīng)肯定是連接四邊形的對角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點所得的中點四邊形是不是也會變得特殊呢？于是，我們畫了一個矩形ABCD，順次連接各邊中點得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見四邊形EFGH為菱形. 根據(jù)上面的思路，還是連接對角線.若只連接一條明顯不能解決這個問題.試試連接兩條對角線，謎底解開了.

由矩形的對角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個問題的關(guān)鍵時，發(fā)現(xiàn)說明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對角線相等，再利用三角形中位線的性質(zhì)就可證明.

既然非特殊四邊形的中點四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過來說，比如，連接四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細研究圖2，就會發(fā)現(xiàn)是通過證明鄰邊相等來說明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對角線相等即可. 于是，我們畫了一個不規(guī)則的但對角線相等的四邊形并連接各邊中點，確實可得到菱形，也就是說中點四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯誤的. 同時，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點四邊形也是菱形.

在這個過程中，我們發(fā)現(xiàn)對角線是決定中點四邊形的形狀的關(guān)鍵，中位線是聯(lián)系中點四邊形的邊與原四邊形的對角線之間關(guān)系的重要橋梁.同時，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎(chǔ)，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質(zhì)得到四邊形EFGH是平行四邊形.進一步研究發(fā)現(xiàn)：當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說明凹四邊形的中點四邊形與它的面積關(guān)系呢？我們可以用類似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質(zhì)，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實，上述面積的計算方法還有很多，例如把一條對角線做底，再作高計算，也可得到同樣的關(guān)系.

在研究面積關(guān)系的過程中，三角形的中位線所構(gòu)成的如圖5這個基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關(guān)系，以及四個全等三角形，為我們整體轉(zhuǎn)化圖形的面積提供了基礎(chǔ). 所以說，在數(shù)學的學習中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數(shù)學活動經(jīng)驗.

在中點四邊形的研究過程中，不僅讓我們認識到了對角線是決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨特的思維方式，也感受到了數(shù)學真的很有趣.在解決數(shù)學問題時要敢想、敢做，你才會有新的發(fā)現(xiàn)，也讓我明白了基礎(chǔ)知識和經(jīng)驗是數(shù)學學習的基礎(chǔ)，要注重方法的類比和遷移，但方法要不斷創(chuàng)新. 總之，只要認真探索，就一定能勇攀數(shù)學高峰.

教師點評：兩名小作者確實對中點四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點四邊形與原四邊形的關(guān)系，而且學會了聯(lián)想、模仿、類比等基本的解決問題的方法.作為學生，學習的最高境界是什么？我想用日本著名的數(shù)學教育家米山國藏的經(jīng)典思想來回答：作為知識的數(shù)學，出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識的數(shù)學，更多的是學會了作為精神、方法和思想的數(shù)學.

（指導教師：胡華春）

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在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發(fā)現(xiàn)圖中有很多的中點，聯(lián)想到剛學習的三角形中位線的知識，所以，第一反應(yīng)肯定是連接四邊形的對角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點所得的中點四邊形是不是也會變得特殊呢？于是，我們畫了一個矩形ABCD，順次連接各邊中點得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見四邊形EFGH為菱形. 根據(jù)上面的思路，還是連接對角線.若只連接一條明顯不能解決這個問題.試試連接兩條對角線，謎底解開了.

由矩形的對角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個問題的關(guān)鍵時，發(fā)現(xiàn)說明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對角線相等，再利用三角形中位線的性質(zhì)就可證明.

既然非特殊四邊形的中點四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過來說，比如，連接四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細研究圖2，就會發(fā)現(xiàn)是通過證明鄰邊相等來說明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對角線相等即可. 于是，我們畫了一個不規(guī)則的但對角線相等的四邊形并連接各邊中點，確實可得到菱形，也就是說中點四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯誤的. 同時，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點四邊形也是菱形.

在這個過程中，我們發(fā)現(xiàn)對角線是決定中點四邊形的形狀的關(guān)鍵，中位線是聯(lián)系中點四邊形的邊與原四邊形的對角線之間關(guān)系的重要橋梁.同時，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎(chǔ)，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質(zhì)得到四邊形EFGH是平行四邊形.進一步研究發(fā)現(xiàn)：當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說明凹四邊形的中點四邊形與它的面積關(guān)系呢？我們可以用類似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質(zhì)，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實，上述面積的計算方法還有很多，例如把一條對角線做底，再作高計算，也可得到同樣的關(guān)系.

在研究面積關(guān)系的過程中，三角形的中位線所構(gòu)成的如圖5這個基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關(guān)系，以及四個全等三角形，為我們整體轉(zhuǎn)化圖形的面積提供了基礎(chǔ). 所以說，在數(shù)學的學習中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數(shù)學活動經(jīng)驗.

在中點四邊形的研究過程中，不僅讓我們認識到了對角線是決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨特的思維方式，也感受到了數(shù)學真的很有趣.在解決數(shù)學問題時要敢想、敢做，你才會有新的發(fā)現(xiàn)，也讓我明白了基礎(chǔ)知識和經(jīng)驗是數(shù)學學習的基礎(chǔ)，要注重方法的類比和遷移，但方法要不斷創(chuàng)新. 總之，只要認真探索，就一定能勇攀數(shù)學高峰.

教師點評：兩名小作者確實對中點四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點四邊形與原四邊形的關(guān)系，而且學會了聯(lián)想、模仿、類比等基本的解決問題的方法.作為學生，學習的最高境界是什么？我想用日本著名的數(shù)學教育家米山國藏的經(jīng)典思想來回答：作為知識的數(shù)學，出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識的數(shù)學，更多的是學會了作為精神、方法和思想的數(shù)學.

（指導教師：胡華春）

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在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發(fā)現(xiàn)圖中有很多的中點，聯(lián)想到剛學習的三角形中位線的知識，所以，第一反應(yīng)肯定是連接四邊形的對角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點所得的中點四邊形是不是也會變得特殊呢？于是，我們畫了一個矩形ABCD，順次連接各邊中點得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見四邊形EFGH為菱形. 根據(jù)上面的思路，還是連接對角線.若只連接一條明顯不能解決這個問題.試試連接兩條對角線，謎底解開了.

由矩形的對角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個問題的關(guān)鍵時，發(fā)現(xiàn)說明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對角線相等，再利用三角形中位線的性質(zhì)就可證明.

既然非特殊四邊形的中點四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過來說，比如，連接四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細研究圖2，就會發(fā)現(xiàn)是通過證明鄰邊相等來說明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對角線相等即可. 于是，我們畫了一個不規(guī)則的但對角線相等的四邊形并連接各邊中點，確實可得到菱形，也就是說中點四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯誤的. 同時，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點四邊形也是菱形.

在這個過程中，我們發(fā)現(xiàn)對角線是決定中點四邊形的形狀的關(guān)鍵，中位線是聯(lián)系中點四邊形的邊與原四邊形的對角線之間關(guān)系的重要橋梁.同時，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎(chǔ)，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質(zhì)得到四邊形EFGH是平行四邊形.進一步研究發(fā)現(xiàn)：當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說明凹四邊形的中點四邊形與它的面積關(guān)系呢？我們可以用類似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質(zhì)，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實，上述面積的計算方法還有很多，例如把一條對角線做底，再作高計算，也可得到同樣的關(guān)系.

在研究面積關(guān)系的過程中，三角形的中位線所構(gòu)成的如圖5這個基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關(guān)系，以及四個全等三角形，為我們整體轉(zhuǎn)化圖形的面積提供了基礎(chǔ). 所以說，在數(shù)學的學習中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數(shù)學活動經(jīng)驗.

在中點四邊形的研究過程中，不僅讓我們認識到了對角線是決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨特的思維方式，也感受到了數(shù)學真的很有趣.在解決數(shù)學問題時要敢想、敢做，你才會有新的發(fā)現(xiàn)，也讓我明白了基礎(chǔ)知識和經(jīng)驗是數(shù)學學習的基礎(chǔ)，要注重方法的類比和遷移，但方法要不斷創(chuàng)新. 總之，只要認真探索，就一定能勇攀數(shù)學高峰.

教師點評：兩名小作者確實對中點四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點四邊形與原四邊形的關(guān)系，而且學會了聯(lián)想、模仿、類比等基本的解決問題的方法.作為學生，學習的最高境界是什么？我想用日本著名的數(shù)學教育家米山國藏的經(jīng)典思想來回答：作為知識的數(shù)學，出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識的數(shù)學，更多的是學會了作為精神、方法和思想的數(shù)學.

（指導教師：胡華春）

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