舉例辨析 提高認(rèn)識(shí)

韓介鋒

本章以中心對(duì)稱為主線，探索圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)；研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)與判定；研究了三角形中位線的性質(zhì).

一、 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形

例1 如圖1，EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形面積的（）.

A. B. C. D.

【點(diǎn)撥】此題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念性質(zhì)，因?yàn)榫匦问侵行膶?duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn). 由題可知△DOF≌△BOE，求陰影部分的面積就是求△AOB的面積，本題選B.

二、 平行四邊形的性質(zhì)

例2 如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF， 則∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【點(diǎn)撥】此題考查的是菱形的性質(zhì)：菱形的每條邊相等，對(duì)角線互相垂直且互相平分；菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸. 所以連接BF，則BF=DF， 本題選D.

三、 平行四邊形判定與三角形中位線的性質(zhì)

例3 院子的四棵小樹(shù)E、F、G、H剛好在梯形院子ABCD各邊的中點(diǎn)上，若在四邊形EFGH上種上小草，則這塊草地的形狀是（）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【點(diǎn)撥】這道題給了許多中點(diǎn)，所以想到中位線定理. 連接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四邊形的判定可知EFGH為平行四邊形. 本題選A.

此題主要考查的是中點(diǎn)四邊形：一個(gè)任意四邊形的四邊中點(diǎn)順次連接起來(lái)，都可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形. 至于一些特殊的四邊形的四邊中點(diǎn)順次連接起來(lái)，可以構(gòu)成特殊的四邊形. 大家可以自己總結(jié)歸納一下.

四、 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

例4 如圖，ABCD是正方形，P是對(duì)角線上的一點(diǎn)，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求證：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出PECF為矩形是解題關(guān)鍵. 延長(zhǎng)AP與EF相交于點(diǎn)H，連接PC，因?yàn)锽D是對(duì)角線，易證PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根據(jù)PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF.

五、 平行四邊形與特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定、三角形中位線的性質(zhì)

例5在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)，連接BE、EF.

（1） 求證：EF=BF；

（2） 在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點(diǎn)，且BG∶GD=3∶1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、三角形的中位線、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查同學(xué)們綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，特別要注意“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的運(yùn)用.

（1） 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出BD=2BO，則AB=BO. 根據(jù)三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，求出EF=BF=CF即可.

（2） 連接CG，根據(jù)矩形性質(zhì)和已知求出G為OD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由點(diǎn)F為BC中點(diǎn)可求出BF=EG. 仿照上小題可同理推出EG=GF. 故四邊形EBFG為菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學(xué)）

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本章以中心對(duì)稱為主線，探索圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)；研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)與判定；研究了三角形中位線的性質(zhì).

一、 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形

例1 如圖1，EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形面積的（）.

A. B. C. D.

【點(diǎn)撥】此題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念性質(zhì)，因?yàn)榫匦问侵行膶?duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn). 由題可知△DOF≌△BOE，求陰影部分的面積就是求△AOB的面積，本題選B.

二、 平行四邊形的性質(zhì)

例2 如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF， 則∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【點(diǎn)撥】此題考查的是菱形的性質(zhì)：菱形的每條邊相等，對(duì)角線互相垂直且互相平分；菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸. 所以連接BF，則BF=DF， 本題選D.

三、 平行四邊形判定與三角形中位線的性質(zhì)

例3 院子的四棵小樹(shù)E、F、G、H剛好在梯形院子ABCD各邊的中點(diǎn)上，若在四邊形EFGH上種上小草，則這塊草地的形狀是（）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【點(diǎn)撥】這道題給了許多中點(diǎn)，所以想到中位線定理. 連接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四邊形的判定可知EFGH為平行四邊形. 本題選A.

此題主要考查的是中點(diǎn)四邊形：一個(gè)任意四邊形的四邊中點(diǎn)順次連接起來(lái)，都可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形. 至于一些特殊的四邊形的四邊中點(diǎn)順次連接起來(lái)，可以構(gòu)成特殊的四邊形. 大家可以自己總結(jié)歸納一下.

四、 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

例4 如圖，ABCD是正方形，P是對(duì)角線上的一點(diǎn)，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求證：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出PECF為矩形是解題關(guān)鍵. 延長(zhǎng)AP與EF相交于點(diǎn)H，連接PC，因?yàn)锽D是對(duì)角線，易證PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根據(jù)PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF.

五、 平行四邊形與特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定、三角形中位線的性質(zhì)

例5在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)，連接BE、EF.

（1） 求證：EF=BF；

（2） 在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點(diǎn)，且BG∶GD=3∶1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、三角形的中位線、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查同學(xué)們綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，特別要注意“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的運(yùn)用.

（1） 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出BD=2BO，則AB=BO. 根據(jù)三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，求出EF=BF=CF即可.

（2） 連接CG，根據(jù)矩形性質(zhì)和已知求出G為OD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由點(diǎn)F為BC中點(diǎn)可求出BF=EG. 仿照上小題可同理推出EG=GF. 故四邊形EBFG為菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學(xué)）

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本章以中心對(duì)稱為主線，探索圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)；研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)與判定；研究了三角形中位線的性質(zhì).

一、 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形

例1 如圖1，EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形面積的（）.

A. B. C. D.

【點(diǎn)撥】此題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念性質(zhì)，因?yàn)榫匦问侵行膶?duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn). 由題可知△DOF≌△BOE，求陰影部分的面積就是求△AOB的面積，本題選B.

二、 平行四邊形的性質(zhì)

例2 如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD

=80°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF， 則∠CDF等于（）.

A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°

【點(diǎn)撥】此題考查的是菱形的性質(zhì)：菱形的每條邊相等，對(duì)角線互相垂直且互相平分；菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸. 所以連接BF，則BF=DF， 本題選D.

三、 平行四邊形判定與三角形中位線的性質(zhì)

例3 院子的四棵小樹(shù)E、F、G、H剛好在梯形院子ABCD各邊的中點(diǎn)上，若在四邊形EFGH上種上小草，則這塊草地的形狀是（）.

A. 平行四邊形 B. 矩形

C. 正方形 D. 菱形

【點(diǎn)撥】這道題給了許多中點(diǎn)，所以想到中位線定理. 連接AC，可得EF=AC，EF∥AC，同理HG=AC，HG∥AC. 所以EF=HG，EF∥HG，由平行四邊形的判定可知EFGH為平行四邊形. 本題選A.

此題主要考查的是中點(diǎn)四邊形：一個(gè)任意四邊形的四邊中點(diǎn)順次連接起來(lái)，都可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形. 至于一些特殊的四邊形的四邊中點(diǎn)順次連接起來(lái)，可以構(gòu)成特殊的四邊形. 大家可以自己總結(jié)歸納一下.

四、 特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

例4 如圖，ABCD是正方形，P是對(duì)角線上的一點(diǎn)，引PE⊥BC于E，PF

⊥DC于F.

求證：（1） AP=EF；

（2） AP⊥EF.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出PECF為矩形是解題關(guān)鍵. 延長(zhǎng)AP與EF相交于點(diǎn)H，連接PC，因?yàn)锽D是對(duì)角線，易證PA=PC，∠BAP=∠BCP. 根據(jù)PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，知PECF為矩形，PC=EF，故AP=EF；又∠DAH=∠FPH，∠BAP=∠BCP=∠PFE，所以在△PHF中，∠FPH+∠PFE=∠DAH+∠BAP=90°，所以△PHF為直角三角形，故AP⊥EF.

五、 平行四邊形與特殊平行四邊形的性質(zhì)和判定、三角形中位線的性質(zhì)

例5在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AB，點(diǎn)E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)，連接BE、EF.

（1） 求證：EF=BF；

（2） 在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點(diǎn)，且BG∶GD=3∶1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形性質(zhì)、菱形性質(zhì)、三角形的中位線、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查同學(xué)們綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，特別要注意“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”的運(yùn)用.

（1） 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出BD=2BO，則AB=BO. 根據(jù)三線合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，求出EF=BF=CF即可.

（2） 連接CG，根據(jù)矩形性質(zhì)和已知求出G為OD中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出EG∥AD，EG=AD，求出EG=BC，EG∥BC. 又由點(diǎn)F為BC中點(diǎn)可求出BF=EG. 仿照上小題可同理推出EG=GF. 故四邊形EBFG為菱形.

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學(xué)）

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