基于參考依賴理論的瓶頸道路收費模型

王 偉,孫會君

(北京交通大學 城市交通復雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點實驗室, 北京 100044)

通勤者在瓶頸處的排隊等待時間為

基于參考依賴理論的瓶頸道路收費模型

王 偉,孫會君*

(北京交通大學 城市交通復雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點實驗室, 北京 100044)

通勤者每天早晨駕車行駛于一條有瓶頸的道路上,瓶頸處的通行能力是固定的,當通勤者的出發(fā)率超過通行能力時,交通擁擠就會發(fā)生.本文研究了瓶頸道路上的收費策略以緩解交通擁擠.以最早可接受的到達時間、最理想的到達時間和工作開始時間為參考點,建立了基于參考依賴理論的瓶頸道路模型,分析了用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu),得到了最優(yōu)的動態(tài)收費策略,進一步提出了兩種單階段收費策略,得出了它們各自的收費水平、收費時間和收費效果.結(jié)果表明,單階段收費策略的效果不但與收費水平和收費時間有關(guān),還與通勤者的參考依賴偏好和損失規(guī)避特性有關(guān).

城市交通;單階段收費;參考依賴;瓶頸模型;出發(fā)時刻

1 引 言

經(jīng)典瓶頸模型假定,通勤者每天早晨駕車行駛于連接生活地與工作地的一條道路上,道路上有一個通行能力有限的瓶頸.所有通勤者都希望在上班時刻到達工作地,但受瓶頸能力約束,總會有一部分人早到,一部分人遲到.早到和遲到的費用稱為懲罰費用.出行費用由行駛時間費用和懲罰費用兩部分構(gòu)成.通勤者總是選擇令自己的出行費用最小的出發(fā)時刻.達到平衡時,所有人的出行費用相等[1,2].

瓶頸模型是動態(tài)模型,Vickrey[1]在此基礎上提出了最優(yōu)動態(tài)收費策略,即在早高峰期間對通勤者進行收費,某個時刻的收費水平等于不收費平衡時該時刻通勤者的行駛時間費用.這樣就能以收費取代行駛時間費用使平衡條件滿足,瓶頸滿負荷運行且無排隊現(xiàn)象.收費并未改變高峰區(qū)間,總懲罰費用不變,但總行駛時間費用為最小而達到社會最優(yōu).

但由于動態(tài)收費策略是時間連續(xù)的,實施起來不可行,有些學者用階段收費策略來逼近最優(yōu)動態(tài)收費策略.在早高峰的某個或多個時間段內(nèi)實施收費,每個時間段內(nèi)的收費水平不變.階段收費雖然不能完全消除排隊,但比不收費平衡要好,且易于實施.Arnott等[3,4]最先提出了瓶頸道路單階段收費策略;Laih[5,6]和 Lindsey 等[7]分別研究了單階段和多階段收費策略.Rouwendal等[8]提出一種在瓶頸處既收費又補貼的策略來降低系統(tǒng)的總排隊時間.

上述瓶頸模型和收費策略均以“工作開始時間”作為判斷通勤者早到或遲到的依據(jù).雖然在“工作開始時間”之后到達工作地會被人們認為是遲到,但在“工作開始時間”之前到達工作地并不一定就被認為是早到.而且“工作開始時間”在人們心目中不一定就是最理想的到達工作地的時間,“最理想的到達時間”一般都會早于“工作開始時間”,在“最理想的到達時間”之前通常又有一個“最早可接受的到達時間”,在這個時間之前到達工作地才會被人們認為是早到.在“最早可接受的到達時間”與“工作開始時間”這個時間段內(nèi)到達工作地,既不算早到,也不算遲到,都會被人們所接受,因為這個時間段給人們留下了一個工作準備或生活緩沖時間.而在這個時間段內(nèi)必定有某個時間點是人們心目中的“最理想的到達時間”.

正是基于通勤者的這種心理特性,Senbil 和Kitamura[9,10]和 Jou 等[11]都將“ 最早可接受的到達時間”、“最理想的到達時間”和“工作開始時間”這三個時間點作為參考點,運用累積前景理論研究了通勤者的出發(fā)時間選擇行為.他們認為通勤者在“最早可接受的到達時間”和“工作開始時間”這兩個時間點之間到達工作地會獲得收益;在“最理想的到達時間”到達工作地,通勤者獲得的收益最大;在“最早可接受的到達時間”之前或在“工作開始時間”之后到達工作地,通勤者都將獲得損失.

經(jīng)典的瓶頸模型和瓶頸道路收費策略均忽略了通勤者對待到達工作地時間的真實心理特性,從而忽視了這種心理特性對出發(fā)時間選擇和瓶頸道路擁擠的影響.為了彌補以往研究的不足,本文將“最早可接受的到達時間”、“最理想的到達時間”和“工作開始時間”作為參考點,應用參考依賴理論建立新的瓶頸模型,提出基于參考依賴偏好的最優(yōu)動態(tài)收費和單階段收費策略,為緩解瓶頸處的交通擁擠,提高交通需求管理能力提供參考.

2 基于參考依賴理論的瓶頸模型

下面為本文中使用到的參數(shù)和變量:

θ1, θ2——絕對效用函數(shù)參數(shù);

φ1,φ2,φ3,φ4——相對效用函數(shù)參數(shù);

U(t) —— t時刻出發(fā)者的出行效用;

U ——平衡態(tài)下的個人出行效用;

D(t) —— t時刻的排隊長度;

N ——總出行人數(shù);

s——瓶頸通行能力;

r(t) —— t時刻的出發(fā)率;

t——出發(fā)時間;

to——最早出發(fā)時間;

te——最晚出發(fā)時間;

tE——最早可接受的到達時間;

tP——最理想的到達時間;

tW——工作開始時間;

T(t) —— t時刻通勤者的行駛時間;

TTC ——系統(tǒng)的總行駛時間;

τ(t) —— t時刻的收費水平;

TTR ——收費總額.

2.1 參考依賴理論

參考依賴理論認為人們的決策行為依賴于參考點,某個決策方案既會對人們產(chǎn)生一個絕對效用,又會對人們產(chǎn)生一個相對效用(與參考點有關(guān)),決策方案的效用由絕對效用和相對效用兩部分構(gòu)成,人們總是選擇能產(chǎn)生最高效用值的方案[12,13].Lindsey[14]最先將參考依賴理論應用到道路擁擠收費的研究中,認為通勤者的出行效用由固有效用(絕對效用)和收益-損失效用(相對效用)兩部分組成.

本文將參考依賴理論應用到瓶頸模型的研究中,既考慮通勤者的絕對出行效用,又考慮通勤者的相對出行效用.絕對效用與通勤者的行駛時間、排隊等待時間和所收取的費用有關(guān),相對效用與到達時間和參考點有關(guān),出行效用由絕對效用和相對效用兩部分構(gòu)成.由于行駛時間、排隊等待時間、到達時間和收費水平都由出發(fā)時刻決定,所以通勤者的出行效用取決于出發(fā)時刻和參考點的選擇.每個通勤者對從生活地到工作地的出發(fā)時刻進行決策以最大化其出行效用.達到平衡時,所有人的出行效用相同.為了方便起見,本文假設絕對效用和相對效用函數(shù)都為線性的,具體的函數(shù)表達式見 2.2節(jié).圖1和圖2分別為絕對效用和相對效用函數(shù).

圖1 絕對效用函數(shù)Fig.1 The absolute utility function

在圖1 中,絕對出行效用始終為負,所以 θ1＜0, θ2＜ 0.在圖2 中,tE和 tW之間為收益區(qū),通勤者在此期間到達會獲得收益,出行的相對效用為正;通勤者在 tE之前到達或在 tW之后到達都將面臨損失,出行的相對效用為負.tE和 tW均是通勤者區(qū)分收益與損失的參考點,而 tP是一個“偽”參考點,因為它不是判斷收益和損失的標準.但 tP仍然是一個重要的時間點,當?shù)竭_時間為 tP時,通勤者的收益最大,即出行的相對效用最大.在 tP之前,相對效用函數(shù)為到達時間的單調(diào)遞增函數(shù);在 tP之后,相對效用函數(shù)為到達時間的單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)實際情況,一般假設 tP更接近于 tW.由通勤者的損失規(guī)避特性可知,直線Ⅰ比直線Ⅱ陡,直線Ⅳ比直線Ⅲ陡;比較早到損失和遲到損失可知,直線Ⅳ比直線Ⅰ要陡.因此,可以得到相對效用函數(shù)參數(shù)之間的大小關(guān)系:φ3＞φ2＞0＞φ1＞φ4,|φ1|＞ |φ2|, |φ4|＞|φ3|.

圖2 相對效用函數(shù)Fig.2 The relative utility function

2.2 瓶頸模型

N個相同的通勤者每天早晨駕車行駛于連接生活地O與工作地 D 的一條道路上.擁擠發(fā)生在一個通行能力有限的瓶頸處(如橋梁、隧道、收費站等),瓶頸通行能力為 s輛/單位時間.當瓶頸處的到達率超過 s時,就會發(fā)生排隊現(xiàn)象.為了方便分析,假設通勤者從生活地出發(fā)即刻達到瓶頸,離開瓶頸即刻到達工作地,通勤者的行駛時間等于在瓶頸處的排隊等待時間.排隊長度 D(t) 為隊中等待通過瓶頸的車輛數(shù):

通勤者在瓶頸處的排隊等待時間為

不收費時,通勤者的絕對出行效用由其行駛時間決定,相對出行效用由其到達時間和參考點決定.對 于早到 ( 損失) 的 通 勤者時 間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

式中 等式右邊第一部分為絕對效用,第二部分為相對效用,下同.

對于早到(收益)的通勤者([tEn,tPn] 時間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

對于遲到(收益)的通勤者([tPn,tWn]時間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

對于遲到( 損失)的通勤者([tWn,te] 時間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

通勤者總是選擇使其出行效用最大的出發(fā)時刻,當沒有一個通勤者能通過單方面改變其出發(fā)時刻來增大其出行效用時,系統(tǒng)就達到一種平衡態(tài).如果把 to與 te間的時間區(qū)段定義為早高峰期間,那么平衡意味著在早高峰期間內(nèi),所有通勤者的出行效用相同.早高峰期間的長度為

to時刻出發(fā)的人不會遇到排隊,其行駛時間為0,其出行效用為

te時刻出發(fā)的人也不會遇到排隊,其行駛時間也為0,其出行效用為

根據(jù)平衡時等出行效用條件 U(to)=U(te)=U,可得

和

式中 k=tW-tE,k 表示“工作開始時間” 與“最早可接受到達時間”之間的差值.

根據(jù)式(3)-式(6) 和式(8)-式(10) 可得到 T(t):

將式(12) 代入式(2) 中,可得到排隊長度D(t).再將 D(t) 代入式(1) 中并對兩邊求導,可得到出發(fā)率 r(t):

根據(jù)式(13)可得到圖3,在圖3 中,ABCDE 線表示生活地累計出發(fā)人數(shù),AE 線表示工作地累計到達人數(shù).兩條線的斜率分別表示出發(fā)率 r(t) 和到達率 s.兩條線的垂直距離表示排隊長度 D(t),水平距離表示通勤者的行駛時間 T(t),即排隊時間.總行駛時間(所有通勤者的行駛時間之和)在圖3 中表示為區(qū)域 ABCDEA 的面積,有

圖3 通勤者的出發(fā)率和到達率Fig.3 Commuters'departure and arrival rates

2.3 動態(tài)收費

上文分析了瓶頸處的用戶平衡狀態(tài),相應地也會有一個社會最優(yōu)狀態(tài).瓶頸模型中的社會最優(yōu)是指系統(tǒng)的總排隊時間達到最小,即不存在排隊.實現(xiàn)社會最優(yōu)并不改變高峰期 [to,te] 和總早到與遲到時間,第一位、最后一位以及所有的出發(fā)者的個人出行效用與用戶平衡時的個人出行效用相同,都為 U.但在社會最優(yōu)狀態(tài)不存在排隊,因此在 [to, te] 期間的出發(fā)率與到達率均應為 s.為了驅(qū)使系統(tǒng)達到社會最優(yōu)狀態(tài),用戶平衡時的排隊等待時間可以用某種收費的形式來替代,以維持個人出行效用的均衡,則有:

由于在社會最優(yōu)時,T(t)=0,得到一個動態(tài)收費策略:

根據(jù)式(16) 可知, τ(t) 是一條四段折線,如圖4所示,其中

當實施上述動態(tài)收費策略時,通勤者會自動調(diào)整出發(fā)時刻,使 [to,te] 期間的出發(fā)率為 s.他們不會遇到排隊,但在 t時刻要上繳 τ(t) 的費用.通勤者的個人出行效用仍為 U,與不收費平衡時相比,并沒有減少.但由于動態(tài)收費是時間連續(xù)的,在實際中不可行,下文用單階段收費來逼近動態(tài)收費.單階段收費雖然不能完全消除排隊,但人們在瓶頸處的排隊時間比不收費時要少,且易于實施人工收費.

圖4 動態(tài)收費策略Fig.4 The optimal time-varying toll sheme

3 單階段收費策略

階段收費策略是指在早高峰期間的某個或多個時間段內(nèi)進行收費,該時間段內(nèi)的收費水平固定.根據(jù)收費時間段的多少,可將階段收費分為單階段收費、雙階段收費和 M(M ≥ 3) 階段收費,當 M 趨向于無窮大時,階段收費趨近于動態(tài)收費.由于篇幅的限制,本文只討論單階段收費.根據(jù)收費時間的不同,可將單階段收費策略分為兩種情形.

3.1 單階段收費策略一

第一種單階段收費策略如圖5 所示.設 [t+, t-] 為單階段收費區(qū)間, ρ為區(qū)間 [t+,t-] 內(nèi)的收費水平,其中,則有在時間段 [t+,t-] 內(nèi)對每個通勤者進行收費可以抵消該通勤者的一部分排隊時間,所以時間段[t+,t-] 內(nèi)的收費總額可以抵消一部分的總排隊時間.假設此種單階段收費策略能消除ε′(0＜ε′＜1) 的總排隊時間,則有

ε′是交通管理部門的決策目標,通過設置不同的目標值 ε′,可得到不同的收費區(qū)間 [t+,t-]和不 同 的收 費 水平 ρ,聯(lián) 立式 (17)- 式 (20)解得:

由上文可知,在最優(yōu)動態(tài)收費策略下, ε′=1.根據(jù)式(20)可知,在此種單階段收費策略下,通過計算 TTR 的最大值可得到 ε′的最大值,聯(lián)立式(17)-式(19),有

根據(jù)一階最優(yōu)條件可得:

假設此種單階段收費策略最多能消除ε′max 的總排隊時間,則有

由 φ3＞ φ2＞ 0 ＞ φ1＞ φ4,可知＞ 0, ～φ ＜ 0.假設 N足夠大,從而所以,當時,有時,有時,有

3.2 單階段收費策略二

第二種單階段收費策略如圖6 所示.設 [t+,t-]為單階段收費區(qū)間,ρ為區(qū)間 [t+,t-] 內(nèi)的收費水平,其中 t+∈(t,t),t-∈(t,t),則有

圖6 第二種單階段收費策略Fig.6 The second single-step toll scheme

假設此種單階段收費最多能消除 ε″max(0 ＜ ε″max＜ 1) 的總排隊時間,同理第一種單階段收費,求得:

否則,此種單階段收費策略不存在.由于

比較以上兩種單階段收費策略可知,第一種策略收費水平低,但收費時間長;第二種策略收費水平高,但收費時間短.而兩種收費策略的收費效果依賴于通勤者參考點的設置和相對效用函數(shù)參數(shù)的取值.如果 k=0, φ2=- φ1, φ3=- φ4,本文中的瓶頸模型與經(jīng)典的瓶頸模型相同;另外還可求得,本文的單階段收費策略最多能減少的總排隊時間,與Laih的單階段收費策略[5,6]相同.

4 研究結(jié)論

本文在經(jīng)典瓶頸模型的基礎上,考慮“最早可接受的到達時間”、“最理想的到達時間”和“工作開始時間”這三個參考點,運用參考依賴理論建立了更符合實際情況和通勤者心理的新瓶頸模型,得到了瓶頸道路動態(tài)收費策略.但由于動態(tài)收費不可行,本文提出了兩種單階段收費策略來逼近動態(tài)收費策略,并得出了它們各自的收費水平、收費時間和收費效果.得出結(jié)論:基于參考依賴理論的瓶頸模型能準確刻畫通勤者的出發(fā)時刻選擇行為和對到達時間的心理認知;單階段收費策略的效果不但與收費水平和收費時間有關(guān),還與通勤者的參考依賴偏好和損失規(guī)避特性有關(guān);交通管理部門在制定瓶頸道路收費策略時,應考慮通勤者的實際出行心理特性.未來進一步研究的方向有:考慮雙階段和M(M ≥ 3) 階段收費策略;研究收費再分配策略;根據(jù)通勤者不同的時間價值對其進行分類等.

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Pricing Models in a Highway with Bottleneck Based on Reference-dependent Theory

WANG Wei,SUN Hui-jun
(MOE Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory, Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China)

Every morning commuters travel on a highway that has a bottleneck with fixed flow capacity.If the departure rate of commuters exceeds the capacity of bottleneck,the traffic congestion will develop.This paper studies toll schemes designed to alleviate congestion problems that result from a road bottleneck.With three reference points:the earliest acceptable arrival time,the preferred arrival time and the work starting time,a highway bottleneck model based on reference-dependent theory is constructed.The user equilibrium and social optimum are analyzed,and the optimal time-varying toll scheme is given accordingly.Further, two single-step toll schemes are proposed,and the charging level,pricing time and tolling effect of each single-step toll scheme are obtained.The results show that the effect of single-step toll scheme depend on not only the tolling level and the charging time,but also commuters'reference-dependent preference and lossaversion characteristic.

urban traffic;single-step toll;reference-dependentpreference;bottleneck model; departure time

1009-6744(2014)01-0180-07

U491

A

2013-05-20

2013-07-26錄用日期:2013-08-14

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(2012CB725400);國家自然科學基金(71271023);中央高?；究蒲袠I(yè)務費(2012JBZ005).

王偉(1985-),男,湖北黃岡人,博士生.*通訊作者:hjsun1@bjtu.edu.cn