柯西不等式的變式的應(yīng)用

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(撫順市第一中學(xué) 遼寧撫順 113001)

無論是高考試題、自主招生試題，還是數(shù)學(xué)征題、奧林匹克競賽試題，都有一個顯著的特點：無論這些試題外表多么新奇、實質(zhì)內(nèi)容多么深奧，它們的“根”都“植在”我們天天見面、但卻時常被忽視的教材中.教材是一座寶藏，里面蘊(yùn)涵著取之不盡、用之不竭的資源.“研究教材、吃透教材、整合教材、開發(fā)教材”才是從容應(yīng)對各類試題最有效的方法與策略.

筆者在此例談選修教材中柯西不等式的變式：若xi,yi∈R+,則

例1

(第2屆世界“友誼杯”數(shù)學(xué)競賽試題)

證明

由柯西不等式變式，得

評注

這道世界名題經(jīng)歷幾十年的洗禮，依然是數(shù)學(xué)愛好者津津樂道的一道經(jīng)典試題，其證明方法多達(dá)幾十種.上述證法簡潔明了，是該變式的一個簡單應(yīng)用，上述命題可推廣為：

若ai∈R+(i=1,2,3,…,n)，則

有趣的是，若把例1中的a,b,c分別換成bc,ca,ab就得到第36屆IMO試題：

例2

(第36屆IMO試題)

證明

由abc=1，原不等式經(jīng)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危?/p>

又由柯西不等式變式，得

評注

上述證明過程簡潔流暢，一氣呵成.正如愛因斯坦所言：“美，本質(zhì)上終究是簡單性.”

例2可推廣為:若a,b,c是正數(shù)，n∈N+，且abc=1，則

例3

(《數(shù)學(xué)教學(xué)》數(shù)學(xué)問題488)

證明

由柯西不等式變式，得

評注

原題的解答過程較為復(fù)雜，上述構(gòu)思自然流暢，美不勝收.

例4

(《數(shù)學(xué)通報》問題1 724)

證明

評注

例5

(《中等數(shù)學(xué)》數(shù)學(xué)奧林匹克問題之163(高中))

推廣1

推廣2

評注

例6

(2008年南開大學(xué)自主招生試題)

由柯西不等式變式，得

評注

上述證明極其簡潔巧妙，構(gòu)造分母“1”讓人拍案叫絕.正如克萊因所言：“一個精彩巧妙的證明，精神上似乎一首詩.”

該推廣恰為2011年甘肅省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題.

例7

證明

由柯西不等式變式,得

(1)

(2)

式(1)+式(2),即得證

評注

例7在證明過程中3次用到柯西不等式的變式，可謂將其展示得淋漓盡致、入木三分.

例8

(2009年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

證明

原不等式經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，?/p>

又由柯西不等式變式，得

評注

在例1～例7中，由于篇幅限制筆者給出較常見的推廣.以下筆者從線性系數(shù)、冪數(shù)、元數(shù)這3個方面入手，對例8進(jìn)行一般性的推廣：

(1)線性化推廣：若a,b,c,s,t∈R+，則

(2)冪數(shù)一般化推廣：若a,b,c∈R+，則

(3)元數(shù)一般化推廣：若ai∈R+(i=1,2,3,…,n)，則

(4)結(jié)合(1)，(2)更一般化推廣：若a,b,c,s,t∈R+，則

(5)結(jié)合(1),(3)更一般化推廣：若s,t,ai∈R+(i=1,2,3,…,n)，則

(6)結(jié)合(2),(3)更一般化推廣：若ai∈R+(i=1,2,3,…,n)，則

(7)結(jié)合(1),(2),(3)最終推廣：若s,t,ai∈R+(i=1,2,3,…,n)，則

盡管這些競賽試題難度大，甚至無從入手，但并非高不可攀.其實，這些試題并非空穴來風(fēng)，源于教材而高于教材.在各類的考試中，很多試題是在教材的概念、公式、定理、例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上演變而來.因此，最大程度的開發(fā)、利用、整合教材是從事數(shù)學(xué)研究的重中之重.數(shù)學(xué)難也難在這，數(shù)學(xué)美也就美在這，這正是新課改的精髓所在，也是筆者撰寫本文的目的.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 王淼生.數(shù)學(xué)美本質(zhì)上終究是簡單[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013(3)：29-30.