具有變時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)的全局吸引性

伍代勇

安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133

具有變時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)的全局吸引性

伍代勇

安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133

1 引言

1990年，Aiello和Freedman在文獻(xiàn)[1]中提出了如下具有階段結(jié)構(gòu)的單種群系統(tǒng)：

隨后具有階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)被廣泛研究[2-9]。文獻(xiàn)[3]研究了一類(lèi)具有時(shí)滯和脈沖擾動(dòng)下的相互干擾階段結(jié)構(gòu)捕食-被捕食系統(tǒng)。受文獻(xiàn)[3]啟發(fā)，本文將研究如下具有變時(shí)滯的相互干擾階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)。

其中α，β，γ，di，ci＞0，i=1，2，0＜m＜1，τ(t)為[0，+∞)上非負(fù)有界連續(xù)函數(shù)且τ1=inft≥0(τ(t))＞0，記τ0=supt≥0(τ(t))，x1表示幼年食餌種群密度，x表示成年食餌種群密度，y表示捕食種群密度，α表示食餌種群的出生率，γ表示幼年食餌種群的死亡率，β表示食餌種群由幼年轉(zhuǎn)化為成年的轉(zhuǎn)化率，τ(t)表示食餌種群幼年的成熟周期，d1表示成年食餌種群的死亡和內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)率，m表示相互干擾常數(shù)，c1表示捕食種群捕獲成年食餌的捕獲率，c2/c1表示捕食種群捕獲食餌后轉(zhuǎn)化自身的轉(zhuǎn)化率，d2表示捕食種群的死亡率。

考慮到種群的生態(tài)意義，假設(shè)系統(tǒng)式（1）滿(mǎn)足如下初始條件：

2 基本引理

引理1若 α＞β，則系統(tǒng)式（1）有唯一正平衡態(tài)(x1*，x*，y*)，其中x*為方程：

引理2對(duì)于任意的t≥0，系統(tǒng)式（1）滿(mǎn)足初始條件式（2）的任意解為正的且最終有界。

證明 先證 x(t)＞0(t≥0)。反證，若不然，則存在t′＞0，使得 x(t′)=0。記t0=inf{t＞0|x(t)=0}，則t0＞0。由系統(tǒng)式（1）的第二個(gè)方程得：

x′(t0)=βx(t0-τ(t0))＞0

這與t0的定義矛盾。所以對(duì)?t＞0，有 x(t)＞0?？紤]方程：

所以u(píng)(τ2)=0。因此，u(t)＞0，t∈[0，τ2)。類(lèi)似文獻(xiàn)[10]，由微分不等式比較原理和歸納法可得x1(t)＞0，t≥0?？紤]系統(tǒng)式（1）的第三個(gè)方程，積分可得：

從而得到系統(tǒng)式（1）滿(mǎn)足初始條件式（2）的任意解為正。

下證系統(tǒng)式（1）正解的有界性。令

因此可得系統(tǒng)式（1）的正解有界。

引理4（見(jiàn)文獻(xiàn)[11]）考慮微分方程 z′(t)=zm(t)(baz1-m(t))，其中a，b＞0，0＜m＜1，z(0)＞0，則

則代數(shù)方程組：

有唯一正解(x*，x*)。

3 全局吸引性

定理1若

則系統(tǒng)式（1）在初始條件式（2）下的任意解(x1(t)，x(t)，y(t))滿(mǎn)足(x1(t)，x(t)，y(t))=(x1*，x*，y*)。

將式（5）代入系統(tǒng)式（1）的第三個(gè)方程得：

考慮系統(tǒng)式（1）的第一個(gè)方程，當(dāng)t＞0時(shí)，可得：

對(duì)式（13）兩邊同時(shí)取極限得：

從而得到定理1的證明。

4 數(shù)值模擬

例1考慮如下系統(tǒng)：

故系統(tǒng)式（14）滿(mǎn)足定理1的條件。通過(guò)數(shù)值模擬（見(jiàn)圖1，圖2），可以看出在不同初始條件下系統(tǒng)式（14）的解皆趨向平衡態(tài)（0.626 1，0.939 2，0.416 5）。

圖1 系統(tǒng)式（14）中τ(t)=時(shí)的模擬圖

圖2 系統(tǒng)式（14）中τ(t)=2+sint時(shí)的模擬圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要利用微分不等式比較原理和迭代法得到了一類(lèi)具有變時(shí)滯相互干擾階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)平衡態(tài)全局吸引性的充分條件。該系統(tǒng)通過(guò)變時(shí)滯τ(t)體現(xiàn)了幼年食餌種群的成熟周期隨著時(shí)間變化而變化。

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WU Daiyong

School of Mathematics and Computational Science,Anqing Normal University,Anqing,Anhui 246133,China

This paper studies a mutual interference stage structured predator-prey system with varying delay.By using the comparison principle of differential inequations and an iteration scheme,a set of sufficient conditions are obtained for the global attractivity of a unique positive equilibrium of the system.An example with its numerical simulations shows the feasibility of the main results.

stage structure;mutual interference;global attractivity;predator-prey;varying delay

研究了一類(lèi)具有變時(shí)滯相互干擾階段結(jié)構(gòu)捕食系統(tǒng)。利用微分不等式比較原理和迭代法得到了系統(tǒng)平衡態(tài)全局吸引的充分條件，通過(guò)舉例并進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的可行性。

階段結(jié)構(gòu)；相互干擾；全局吸引性；捕食-被捕食；變時(shí)滯

A

O175.1；O242.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1302-0185

WU Daiyong.Global attractivity of stage structured predator-prey system with varying delay.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：50-53.

安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.KJ2013Z186，No.KJ2011A197）。

伍代勇（1979—），男，副教授，研究方向：生物數(shù)學(xué)模型及計(jì)算機(jī)仿真。E-mail：wudy9901@163.com

2013-02-27

2013-07-01

1002-8331（2014）24-0050-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-08-05，http∶//www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130805.0943.005.html