一種基于勒讓德擬合的SAR后向投影自聚焦算法

高 陽 禹衛(wèi)東 馮 錦 鄭世超② 楊 亮②

①(中國科學院電子學研究所 北京 100190)

②(中國科學院大學 北京 100049)

Gao Yang①② Yu Wei-dong① Feng Jin① Zheng Shi-chao①② Yang Liang①②

①(Institute of Electronic,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

②(University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China)

一種基于勒讓德擬合的SAR后向投影自聚焦算法

高 陽*①②禹衛(wèi)東①馮 錦①鄭世超①②楊 亮①②

①(中國科學院電子學研究所 北京 100190)

②(中國科學院大學 北京 100049)

對于合成孔徑雷達(SAR)成像來說，后向投影(Back Projection,BP)算法是一種十分重要的時域成像方法。然而現(xiàn)有的自聚焦算法都是基于頻域成像算法開發(fā)的，無法直接用于BP聚焦圖像的誤差相位估計。針對這一問題，該文提出一種適用于BP圖像的自聚焦算法。該算法以圖像銳度函數(shù)為目標函數(shù)，以待估計的相位校正值為自變量，通過坐標下降最優(yōu)化算法循環(huán)迭代獲得它們的最優(yōu)估計。在問題求解中，該算法利用勒讓德多項式來擬合目標函數(shù)，使得每次迭代的最優(yōu)解可以解析地獲得，避免了低效的線搜索過程?；诜抡鏀?shù)據和實測數(shù)據的實驗驗證了該算法的精確性和有效性。

后向投影算法；勒讓德擬合；圖像銳度；自聚焦；坐標下降法

Gao Yang①②Yu Wei-dong①Feng Jin①Zheng Shi-chao①②Yang Liang①②

①(Institute of Electronic,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

②(University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China)

1 引言

作為一種微波有源遙感系統(tǒng)，合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar,SAR)因其全天時、全天候的工作能力而受到越來越廣泛的關注，已經被廣泛應用到軍事偵察、地形測繪、水文研究、環(huán)境監(jiān)測等各個領域[1]。SAR傳感器在理想狀態(tài)下被認為沿著直線軌跡做勻速運動。然而在實際情況下，由于氣流的擾動、載體機械振動等因素，載機位置會偏離理想軌跡，從而在處理中引入相位誤差，造成圖像質量的嚴重下降[2]。對于雷達運動狀態(tài)的測量，常通過在系統(tǒng)上加裝導航裝置來實現(xiàn)[3]。而對于超出導航設備測量精度的運動誤差，則必須通過基于回波數(shù)據的自聚焦來對相位誤差進行估計和補償。

自聚焦是一種根據回波數(shù)據對相位誤差進行估計的算法，在SAR成像處理中占據著非常重要的地位。現(xiàn)有的自聚焦算法主要分為兩類：第1 類是基于圖像特顯點的自聚焦算法，第2類是基于圖像整體質量的估計算法。對于基于圖像特顯點的方法，其代表算法為相位梯度自聚焦算法(Phase Gradient Autofocus,PGA)[4]。該算法利用多個強點目標的相位歷程來對相位誤差進行估計。由于其不基于任何相位誤差模型，因此PGA算法對高階和低階誤差均有很好的補償能力。后一類基于圖像質量的估計算法主要將圖像的整體信息作為評價準則，通過調節(jié)相位的估計值使圖像質量達到最優(yōu)來確定補償?shù)南辔弧３Ｓ玫脑u價準則包括：最小熵[5]，最大對比度[6,7]，最大銳度[8]等。根據誤差模型的不同，該算法又可分為基于參數(shù)[9]和不基于參數(shù)的兩類[5,7]，分別用于估計低頻和高頻誤差。相對于PGA算法，由于該類算法不基于孤立強點，所以其在低信噪比和低對比度的條件下更具有魯棒性，能夠取得更好的聚焦效果。

以上提到的各種自聚焦方法都是基于頻域成像算法提出的。頻域成像算法認為距離壓縮后的信號與最終圖像之間存在著傅里葉變換對的關系。因此，傳統(tǒng)自聚焦算法的實現(xiàn)基于以下兩個條件：(1)包絡誤差對圖像的影響可以忽略；(2)圖像與距離相位歷史數(shù)據具有傅里葉變換對關系[10]。自聚焦就是對存在于距離壓縮信號域的數(shù)據相位誤差進行估計，從而實現(xiàn)圖像的重新聚焦[2]。相對于頻域算法來說，后向投影(Back Projection,BP)算法作為一種時域成像算法，其在成像精度、對復雜軌跡和地表起伏的適應性上有著天然的優(yōu)勢[11]。由于在時域算法中不存在明顯的傅里葉變換關系，因此無法將傳統(tǒng)自聚焦方法直接應用于BP成像數(shù)據。為了解決這一問題，文獻[10]和文獻[12]對BP成像中的信號性質進行了分析。經研究發(fā)現(xiàn)，當圖像在極坐標或偽極坐標格式下的時候，傅里葉變換對的關系是近似滿足的。這樣就可以針對(偽)極坐標下的圖像設計相應的自聚焦算法[10,12]。

以上提到的算法均基于傅里葉變換對的關系，而對于不滿足該條件下的自聚焦方法卻缺乏足夠的研究。為了彌補上述不足，本文提出了一種針對BP聚束SAR圖像，不依賴于傅里葉變換對關系的時域自聚焦算法。該算法根據反投影原理并根據圖像銳度值準則實現(xiàn)了在直角坐標系下的BP圖像自聚焦。作者利用圖像整體質量評價方法的魯棒特性，通過最大化圖像平方銳度值來達到對相位誤差的估計。平方銳度準則不僅在多種場景中表現(xiàn)出了穩(wěn)定的性能[8]，而且在特定條件下還可以實現(xiàn)對誤差的最大似然估計[13]。為了求解最大化圖像銳度的問題，算法采用坐標下降策略[14]來逐個優(yōu)化各相位變量。另外，通過對每次迭代的目標函數(shù)進行勒讓德多項式擬合，我們可以解析地得到最優(yōu)相位校正量，相對于線搜索方式來說極大地提高了計算效率。本文首先研究了相位誤差在BP成像算法中的表現(xiàn)形式，然后對坐標下降算法以及勒讓德多項式擬合進行了推導，給出了誤差相位的迭代表達式，最后對該算法的實驗結果進行了分析。仿真和實測數(shù)據表明，該算法具有很高的估計精度和收斂速度，可以很好地與BP算法結合進行誤差相位估計。

2 信號模型分析

如圖1所示為機載SAR的幾何關系示意圖。藍色實線為雷達實際運動軌跡，紅色虛線為導航設備測量獲得的運動軌跡。Rp(η)和p(η)分別是η時刻天線相位中心到點目標P的測量斜距和實際斜距。則η時刻雷達位置的測量誤差為：

2.1 BP成像模型

假設雷達發(fā)射的線性調頻信號形式為：

其中τ為距離向快時間；T為脈沖寬度；fc為載頻；γ為發(fā)射信號調頻率。該發(fā)射信號經過反射系數(shù)為εp，瞬時距離為p(η)的地面點反射后，由雷達進行接收。接收的回波信號，經過距離壓縮后的表達形式為：

其中η為方位向慢時間；wa表示方位向信號包絡；c為光速；λ=cfc為信號波長。這里采用BP算法來對地面照射區(qū)域進行成像處理，根據BP成像算法理論，經過后向投影重構得到的地面P點圖像可以通過式(4)來獲得

圖1 SAR成像幾何模型Fig. 1 Geometry model of SAR imaging

其中rp表示P點的最短斜距。由于雷達回波信號以數(shù)字的形式進行存儲和處理，所以可以將上式寫成離散形式

式中，(m,n)為P點在圖像中的位置；Rm,n(k)表示方位向采樣k時刻天線相位中心到P點的瞬時斜距；N和M分別為方位向和距離向采樣點數(shù)。

對于窄測繪帶而言，可以認為由斜距帶來的誤差是距離向空不變的，因此可以統(tǒng)一用?(k)= -4πΔRm,n(k)/λ來表示由斜距誤差引入的相位。該相位誤差如果不補償?shù)揭欢ǖ木龋瑢е伦罱K圖像分辨率降低、幾何畸變以及對比度損失等現(xiàn)象。令

表示經過理想反投影操作后的信號，那么式(6)可以簡化為：

自聚焦的任務即從雷達數(shù)據中估計出誤差相位?(k)并進行補償，進而得到聚焦的圖像。假設?={?0?1…?N-1}表示對誤差相位?(k)的估計，那么誤差相位校正后的圖像可以表示為：

2.2 圖像銳度

當圖像散焦時圖像的銳度較低，而當圖像聚焦良好時對應的銳度值較高。所以這里可以把圖像銳度作為估計相位的目標函數(shù)，那么目標函數(shù)可以構造為：因此，基于圖像銳度最優(yōu)的自聚焦就是通過使圖像銳度達到最大來實現(xiàn)對誤差相位的估計的過程。

3 適用于BP聚焦圖像的自聚焦算法

式(10)定義了一個多變量的優(yōu)化問題。考慮到該方程沒有閉式解存在，這里利用坐標下降優(yōu)化方法來尋找該問題的最優(yōu)解。坐標下降法是一種針對多變量優(yōu)化的有效策略。在實現(xiàn)過程中，該方法沿著每個變量定義的方向逐一進行搜索，每次優(yōu)化針對單個變量進行，其它變量值保持不變[14]。找到當前變量對應于目標函數(shù)的極值解后，繼而對下一變量進行搜索。由于各變量之間并不能保證完全獨立，因此針對全部變量的搜索過程需要重復多次，即多次迭代才能找到問題的最優(yōu)解。

這里前k-1個變量已經在本次迭代中進行了更新。從式(11)中可以看出，由于只有第k個參數(shù)可變，而其它變量在本次估計中保持恒定，這樣多變量優(yōu)化的問題就簡化為一個單變量的優(yōu)化問題

此時，關于變量?的重構圖像可以表示為：

其中，Xmn表示除了第k個反投影信號之外，其它經校正后的反投影信號之和；Ymn表示第k個未經校正的反投影信號。相應的圖像銳度可以表示為：

Re[·]和Im[·]分別表示復數(shù)據的實部和虛部。

對式(16)進行勒讓德多項式擬合，可以得到

式中，I表示勒讓德多項式的最高階數(shù)；Pi(b)和ai分別表示第i階勒讓德多項式和其對應的系數(shù)。為了在滿足擬合精度的前提下盡可能地提高計算效率，這里保留前4階勒讓德展開式。此時，從P0(b)到P4(b)的形式為：

從式(17)和式(18)中可以看出，L(b)表現(xiàn)為4階多項式的形式，因此L(b)的極值可以通過求解其1階導數(shù)L′(b)，并令其為零來求得。將式(18)代入式(17)，并令L′(b)=0，可以得到

對于式(19)給出的一元3次方程來說，文獻[15]給出了其根的閉式表達形式，這意味著可以通過解析的方法來得到其根的精確解，從而避免了復雜而低效的數(shù)值求解過程。由于一元3次方程最多可以給出3個實數(shù)解，在實際應用中可以通過考察其2階導數(shù)L′′(b)＜0來選擇代表目標函數(shù)極大值的根bop。找到式(19)方程的根后，對應的相位估計值可以由式(20)來進行更新

為了驗證勒讓德多項式擬合的有效性，利用典型的SAR數(shù)據來對某一反投影信號在不同相位校正后的圖像銳度來進行考察。圖2表現(xiàn)了圖像銳度的1階導數(shù)相對校正相位的變化情況。由于圖像銳度的極大值在導數(shù)等于0處獲得，因此曲線與橫軸交點處的相位值即為極大值對應的校正相位。需要說明的是，圖2中在真實校正相位點的兩側仍有兩個導數(shù)為0的偽相位值存在，對應式(19)的另外兩個根。由于真實相位值和偽相位值對應的2階導數(shù)具有不同的符號，所以可以通過考察其2階導數(shù)來對偽相位值進行剔除。圖中藍色實線表示實際圖像銳度目標函數(shù)，紅色虛線表示經過勒讓德擬合后的函數(shù)曲線。從圖2中可以看出4階勒讓德多項式可以很好地對實際目標函數(shù)進行擬合，并且對于極值點附近具有較高的擬合估計精度。

4 實驗結果及分析

下面分別通過SAR仿真數(shù)據和實測數(shù)據處理來驗證本文算法的精確性和有效性。

圖2 實際圖像銳度梯度目標函數(shù)曲線和勒讓德擬合函數(shù)曲線的對比Fig. 2 Comparison of actual function and Legendre fitting function of image sharpness deviation

4.1 SAR仿真數(shù)據處理結果與討論

仿真處理中選用X波段的SAR數(shù)據來作為測試數(shù)據。該原始數(shù)據經過BP成像后的結果如圖3(a)所示，大小為512×512像素。從圖3(a)中可以看到，原始數(shù)據經BP成像處理后具有良好的聚焦效果。在試驗中，我們嘗試在該數(shù)據距離壓縮前的信號中添加一個已知的寬帶相位誤差，之后利用本文提出的自聚焦算法來對該相位誤差進行估計，進而驗證本文算法的有效性和精確性。

在原始數(shù)據中添加的寬帶相位誤差信號如圖4中實線所示，圖3(b)展示了添加相位誤差后對應的散焦圖像。針對添加相位誤差后的圖像，采用本文算法來進行自聚焦處理。在處理中，相位誤差的原始估計值設為0，經過4次迭代后估計出的相位誤差值和重聚焦后的圖像分別如圖4中虛線和圖3(c)所示。圖5展示了該算法每次迭代時圖像銳度值(Image Sharpness Value,ISV)的變化情況，從圖5中可以發(fā)現(xiàn)：該算法首次迭代即能對絕大部分相位誤差進行有效地估計，并且經過4次迭代就可以基本恢復原始圖像銳度，表現(xiàn)出了非?？斓氖諗克俣取Ρ葓D3(a)和圖3(c)，可以看到兩者具有相同的視覺效果，其銳度值達到了一致。同時將圖4中估計的相位誤差與添加的相位誤差進行比較也可以看到，兩條曲線基本重合。經測試，其估計的相位弧度值的均方誤差(Mean Square Error,MSE)為0.029，說明該自聚焦算法具有很高的估計精度。

另外，為了測試利用勒讓德擬合策略解析求解相位校正值的方法相對于傳統(tǒng)線搜索方式的性能提升情況，這里我們采用Wolfe-Powell(W-P)線搜索方式[16]對上述數(shù)據進行對比試驗和分析。W-P搜索方式在最優(yōu)化方法中，是一種典型的線搜索策略，它可以通過調整判斷準則系數(shù)有效地控制搜索速度和精度。由于添加的相位誤差已知，所以在實驗中，估計相位的均方誤差將作為算法精確度的評價指標。表1給出了本文算法和W-P方法的對比試驗結果。在實驗中，本文算法經過21.3 s的時間停止迭代。之后，針對W-P方法進行測試，在運行大約相同時間的情況下，給出的估計相位均方誤差為0.639，遠大于本文算法的剩余誤差。在針對W-P算法的第2次實驗中，我們選擇與本文算法相同的均方誤差值作為迭代停止的標準。從表1中可以看到，W-P算法消耗約4.6倍于本文算法的運行時間才達到相應的計算精度。從而可以發(fā)現(xiàn)，本文算法相對于傳統(tǒng)線搜索方法來說具有較好的估計速度和估計精度。

圖3 SAR仿真數(shù)據處理結果Fig. 3 Processing results of simulated SAR data

圖4 相位誤差曲線比較Fig. 4 Comparison of actual applied phase error and estimated phase error

圖5 圖像銳度值隨迭代次數(shù)的變化曲線Fig. 5 Sharpness versus iteration of the algorithm

表1 本文算法與W-P方法在運算速度和精度上的實驗對比結果Tab. 1 Accuracy and speed comparison for W-P and the proposed algorithm

需要說明的是，本文算法基于時域的成像方式從實現(xiàn)本質上說屬于時域自聚焦的方法。由于該自聚焦方法不依賴于圖像與距離相位歷史數(shù)據之間的傅里葉變換對關系，即處理中沒有利用快速傅里葉變換等技術來提高運算效率，其算法相比于頻域自聚焦算法，如PGA算法，具有較高的計算量。為了進行對比，我們利用頻域成像算法對同一塊數(shù)據進行成像處理，之后對同樣大小場景的數(shù)據塊利用PGA算法進行自聚焦，來測試兩種自聚焦算法在計算效率上的差別。經過測試，PGA消耗大約2.3 s的時間完成了對同樣大小數(shù)據塊的處理，低于本文方法所需要的時間。從中也可以看出，本文提出的時域算法計算效率仍低于PGA這樣的頻域算法，因此在接下來的工作中，需要進一步研究提升其運算效率的策略。

4.2 SAR實測數(shù)據處理結果

為了進一步驗證本文算法的有效性，下面使用該算法對實測數(shù)據進行處理。該實測數(shù)據為某機載X波段SAR系統(tǒng)。由于載機飛行過程極易受到氣流等非理想因素的干擾，從而引入未知的相位誤差，對最終的成像質量造成影響。本文選取該系統(tǒng)錄取的一段農村地區(qū)的圖像數(shù)據，該數(shù)據圖像包含了農田、小路、建筑、樹木等場景。圖6(a)為原始數(shù)據直接進行BP成像后的結果，水平方向是方位向，垂直方向是距離向。由于載機飛行姿態(tài)的不穩(wěn)定，從圖中可以看到，未經任何重聚焦處理的圖像存在嚴重的方位向散焦，極大影響了對地物目標的有效判讀。圖6(b)為經過本文自聚焦處理后的雷達圖像。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，圖6(b)中的圖像的聚焦質量有了大幅度的提升，樹木、建筑物、小路、農田、陰影等都清晰可見，點目標不存在明顯的散焦現(xiàn)象。由此可見，本文算法可以很好地處理BP算法生成的圖像。該處理結果表明，本文算法適用于實際機載SAR的BP成像處理，可以有效地對相位誤差進行估計和補償。

5 結束語

圖6 原始圖像與自聚焦后圖像對比Fig. 6 Comparison of original and recovered images

自聚焦處理是SAR成像不可缺少的一個步驟。針對BP算法生成的SAR圖像，作者提出了一種基于圖像銳度最優(yōu)的自聚焦算法。本文首先對相位誤差在BP算法中的存在形式進行了分析，然后基于最大圖像銳度準則給出了問題的最優(yōu)化模型。對于該最優(yōu)化問題，本文算法采用了坐標下降優(yōu)化方法來作為求解策略。同時，勒讓德多項式擬合的應用實現(xiàn)了在保持估計精度的同時可以解析地求解極值相位的能力。由于該算法對相位誤差的形式沒有做任何限制，因此其可以處理各種低頻和高頻誤差。仿真和實測數(shù)據實驗表明，該算法具有很高的估計精度和收斂速度，從而驗證了本文方法的有效性和可行性。

需要說明的是，本文算法設計主要針對小場景非空變相位誤差進行估計。對于寬波束寬測繪帶下的高分辨率數(shù)據來說，處于不同斜距和方位向位置的目標具有不同的相位誤差，此時就需要結合雷達成像幾何對處于不同位置下目標的相位誤差進行分析和補償。由于BP時域成像算法能夠很方便地對寬波束SAR信號進行處理，所以在接下來的工作中，將針對該自聚焦算法在大場景空變相位誤差情況下的估計方式，以及在如何進一步提高計算效率的問題上進行重點研究。

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A SAR Back Projection Autofocusing Algorithm Based on Legendre Approximation

The Back Projection (BP)algorithm is a very important time-domain methodology for Synthetic Aperture Radar (SAR)imaging. However,conventional autofocus techniques are based on frequency-domain imaging algorithms,and can not be directly applied to BP imagery for error phase estimation. In this paper,an autofocus algorithm for BP imagery is proposed. The algorithm takes image sharpness as an objective function,and employs the coordinate descent optimization scheme to obtain the optimum phase-corrected variables by iterations. In the implementation,with a Legendre approximation of the objective function,the optimal phase estimation can be found analytically for each parameter within an iteration,avoiding computationally expensive line-search procedures. The experimental results with both simulated and measured data confirm the accuracy and effectiveness of the proposed algorithm.

Back Projection (BP)algorithm; Legendre approximation; Image sharpness; Autofocus; Coordinate decent

TN958

A

2095-283X(2014)02-0176-07

10.3724/SP.J.1300.2014.14011

2014-01-15收到，2014-03-05改回，2014-03-14網絡優(yōu)先出版

國家國防科技工業(yè)局重點專業(yè)技術創(chuàng)新課題(D040103)資助課題

*通信作者： 高陽 gaoyang0209@mails.ucas.ac.cn

高 陽，男，籍貫河北，中科院電子所博士研究生，主要研究方向為機載高分辨率SAR成像處理和運動補償技術。

E-mail: gaoyang0209@mails.ucas.ac.cn

禹衛(wèi)東(1969-)，男，研究員，博士生導師，研究方向為SAR系統(tǒng)及其理論、SAR信號處理、電路設計等。

馮 錦(1970-)，男，副研究員，長期從事合成孔徑雷達成像處理技術的研究。

鄭世超，男，山東日照人，中科院電子所博士研究生，主要研究方向為廣域監(jiān)視信號處理。

E-mail: jerryiszsc@163.com

楊 亮，男，山東煙臺人，中科院電子所博士研究生，主要研究方向為合成孔徑雷達原始信號模擬。

E-mail: yangliang_mail@163.com