暗物質(zhì)暈普適性的數(shù)值分析

李 輝,晉 剛

(煙臺(tái)大學(xué)光電信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

暗物質(zhì)暈結(jié)構(gòu)的起源和演化在暗物質(zhì)研究中具有非常重要的意義．隨著計(jì)算機(jī)及算法的發(fā)展,暗物質(zhì)暈的N體模擬在暗物質(zhì)的研究中的作用日益突出．計(jì)算機(jī)模擬通常將暗物質(zhì)暈視為自引力無碰撞的恒星系統(tǒng),這一做法的有效性得到了廣泛肯定．近年來這一研究領(lǐng)域的一個(gè)顯著成果是它成功揭示了暗物質(zhì)暈的許多分布特性,從數(shù)值計(jì)算的諸多角度看,這些性質(zhì)呈現(xiàn)出一定程度地普適特點(diǎn)．

基于NFW輪廓[1-2],Moore輪廓[3]等的數(shù)值計(jì)算結(jié)果強(qiáng)烈暗示暗物質(zhì)暈的密度輪廓呈現(xiàn)如下標(biāo)度律:ρ∝r-r(t),其中在暗物質(zhì)暈中心γ?1～1.5而在暈的外圍γ?3～4．作為對(duì)比,Jing和Suto建議的密度輪廓模型[5]并不普適,它內(nèi)部的對(duì)數(shù)斜率γ?1.1～1.5會(huì)由于星系不同的合并歷史和暗物質(zhì)暈總質(zhì)量的不同而變化．后續(xù)的一些工作表明暗物質(zhì)暈的密度輪廓可能在暈中心附近變得比γ?1處更淺[6],甚至有可能出現(xiàn)沒有尖點(diǎn)的核[7-8]．N體數(shù)值模擬不僅提供了暗物質(zhì)暈的密度輪廓,而且給出了其他2個(gè)重要性質(zhì):速度彌散和速度空間的各向異性．這2個(gè)性質(zhì)[9-15]已經(jīng)很好地由簡(jiǎn)單的解析結(jié)果擬合描述．

首先,有證據(jù)支持文獻(xiàn)[16]所謂的贗相空間密度p(r)具有普適的冪律標(biāo)度ρ(r)/σ3(r)∝r-ξ,其中標(biāo)度指數(shù)ξ=1.875,σ2是速度彌散．已經(jīng)證實(shí)ρ(r)/σ3(r)確為半徑r的一個(gè)冪函數(shù),但是最佳的速度彌散σ2應(yīng)為徑向速度彌散σ2．指數(shù)ξ的最佳擬合結(jié)果在不同文獻(xiàn)中[9,17-19]并不完全一致,但都大致分布于γ=1.90±0.05到3.19±0.03的范圍內(nèi)．由于ρ/σ3和相空間密度具有相同量綱,ρ/σ3因而被稱為贗相空間密度[20]．

其二,Hansen等[21-22]發(fā)現(xiàn)密度對(duì)數(shù)斜率γ(r)和速度各向異性相關(guān)聯(lián),后者可以用各向異性參數(shù)β(r)參數(shù)化．這一關(guān)聯(lián)具有普適的線性關(guān)系β≈1-1.15(1-γ/6),即在大尺度結(jié)構(gòu)中心附近區(qū)域γ≈1,從而β≈0(各向同性速度彌散),而在外圍區(qū)域γ≈3,相應(yīng)有β≈0.5．

鑒于暗物質(zhì)暈在某種程度上具有以上所述的普適特征,一個(gè)值得研究的問題是考察這些普適性的根源．如果某一性質(zhì)具有基本的普適性,那么將會(huì)導(dǎo)致對(duì)暗物質(zhì)暈起源的深刻理解．因此,有必要全面考察和鑒別暗物質(zhì)暈各性質(zhì)的基本程度．從本文的方法論上講,提出衡量數(shù)值特性基本程度的一個(gè)直接指標(biāo)就是該性質(zhì)對(duì)于數(shù)值重構(gòu)和模擬計(jì)算的魯棒性．

本文結(jié)合了前述各方面的數(shù)值結(jié)果,以金斯方程作為檢驗(yàn)工具對(duì)比了這些“普適”性質(zhì)的魯棒性．文章首先簡(jiǎn)要回顧了整個(gè)工作框架所需理論知識(shí),然后通過求解金斯方程對(duì)比了密度輪廓、各向異性輪廓和贗相空間密度,最后結(jié)合數(shù)值計(jì)算和分析比較結(jié)果討論了這幾種輪廓的普適性含義和魯棒性問題．

1 一般公式

暗物質(zhì)暈可以由無碰撞玻爾茲曼方程來描述:

(1)

對(duì)于球?qū)ΨQ系統(tǒng),方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為金斯方程[23]:

(2)

其中:

(3)

各向異性參數(shù)[24]定義為

(4)

系統(tǒng)總動(dòng)能和束縛勢(shì)能為

(5)

(6)

顯然,暗物質(zhì)暈所對(duì)應(yīng)的自引力系統(tǒng)中兩者應(yīng)滿足維力定理．

2 各向異性輪廓和贗相空間密度

正如上面所提到的,暗物質(zhì)暈的3個(gè)性質(zhì)分別是密度輪廓、各向異性-密度關(guān)系和與速度彌散有關(guān)的贗相空間密度．如果知道其中2個(gè),則第3個(gè)性質(zhì)可以從金斯方程中計(jì)算得到．首先,在已知密度輪廓并假定各向異性輪廓的前提下通過數(shù)值求解金斯方程(2)得到速度彌散．金斯方程可以寫為如下微分方程:

(7)

本文分別采用了以下幾種密度輪廓．

NFW輪廓:

(8)

Moore輪廓:

(9)

Einasto輪廓[25-27]:

(10)

其中:r-2為暗物質(zhì)暈半徑,密度輪廓的對(duì)數(shù)斜率γ(r)=-dlnρ/dlnr取等溫值,γ=2．對(duì)于NFW輪廓,rs=r-2;對(duì)于Moore輪廓,rM=22/3r-2．一些作者[27]用數(shù)值計(jì)算對(duì)比了這些輪廓,并給出了Einasto輪廓參數(shù)α的最佳擬合值為α=0.17.

從圖1中可以看到,至少在NFW和Moore模型中,贗相空間密度對(duì)各向異性輪廓并不敏感,贗相空間密度和數(shù)值計(jì)算結(jié)果相當(dāng)吻合．而在Einasto輪廓中,計(jì)算結(jié)果則不是很好．維力定理的檢驗(yàn)表明,對(duì)于這3種密度輪廓,動(dòng)能束縛勢(shì)能比并不敏感依賴于密度輪廓和各向異性[28]．

然后可以嘗試翻轉(zhuǎn)這一研究進(jìn)路來考察贗相空間密度和各向異性輪廓．在求解金斯方程(2)前,先假定密度輪廓和贗相空間密度,顯然可以按照上面的算法計(jì)算各向異性輪廓β．

(11)

圖1 不同密度輪廓和各向異性輪廓中的贗相空間密度以及相應(yīng)維力定理檢驗(yàn)

從圖2中可以看出,對(duì)于所有這3種模型,各向異性輪廓β(r)對(duì)贗相空間密度中的參數(shù)ξ都很敏感．而且,各向異性輪廓和γ之間明顯偏離線性關(guān)系[27]．

3 討 論

N體數(shù)值模擬揭示了暗物質(zhì)暈的一些性質(zhì)比如密度輪廓ρ(r)、各向異性參數(shù)β和贗相空間密度ρ/σ3,并且表明這些性質(zhì)具有一定程度的普適性．哪一個(gè)性質(zhì)更加基本呢?回答依賴于不同的數(shù)值模擬方案和衡量指標(biāo)．本文從金斯方程這一角度對(duì)以上問題提供一個(gè)新的考察思路．

本文的主要計(jì)算工作和結(jié)論體現(xiàn)在圖1和圖2中．贗相空間密度對(duì)β(r)并不敏感(至少在NFW 和Moore輪廓的情況下),但是β(r)在所有情況下對(duì)贗相空間密度都很敏感,暗示贗相空間密度比各向異性輪廓更基本,這一結(jié)果再次確認(rèn)贗相空間密度是解決暗物質(zhì)暈起源的潛在關(guān)鍵．需要指出的是,圖1中由金斯方程計(jì)算得到的贗相空間密度參數(shù)ξ對(duì)于NFW和Moore輪廓2種情況的結(jié)果完全一致．作為對(duì)比,各向異性輪廓β則易變且不再保持密度對(duì)數(shù)斜率參數(shù)γ的線性關(guān)系．

圖2 3種輪廓中各向異性參數(shù)隨贗相空間密度的變化

最后,有一些問題仍然需要加以說明并在未來進(jìn)一步研究中討論和澄清.

問題(1):在Einasto模型(α=0.17)中,采用不同的各向異性輪廓分別計(jì)算了相應(yīng)的贗相空間密度．結(jié)果和數(shù)值模擬并不相符．這表明贗相空間密度ξ對(duì)β的敏感．為了得到一個(gè)符合實(shí)際的ξ值,Einasto模型的β參數(shù)需要特別指定．

(12)

(13)

(14)

問題(3):圖2中似乎各種情況的β(γ)曲線都交于一點(diǎn),但真實(shí)情況并非如此．實(shí)際上那里構(gòu)成的是一個(gè)區(qū)域．有趣的是,Hansen和Moore的β-γ關(guān)系也同樣穿過這一區(qū)域．我們注意到在其他一些數(shù)值模擬的工作[27]中,β-γ曲線的交點(diǎn)在同樣的區(qū)域密集分布．這似乎暗示了對(duì)這一交疊區(qū)域(β≈0.25～0.35,γ≈2.1～2.6) 進(jìn)一步研究的必要性．

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