一類(n,m)-半群

宋本賢,朱用文,李 晶

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺 264005)

1 引言及預(yù)備知識

半群理論在過去的半個多世紀得到了很大的發(fā)展,人們對半群的概念也作了很大的推廣.半群的概念首先由普通二元半群推廣到三元半群,而后又推廣到n元半群,見文獻[1-9],現(xiàn)在更是發(fā)展到(n,m)-半群這種更為復(fù)雜的情形,見文獻[10,11].文獻[10]將普通二元半群上的Green 引理及Green定理推廣到(n,m)-半群,給出了(n,m)-半群中元素正則的定義,并刻畫了其基本性質(zhì),給出了i-可逆的概念,并給出了一些i-可逆的充分必要條件. 但是,由于(n,m)-半群自身的復(fù)雜性,有關(guān)普通二元半群的一些重要概念和結(jié)論不一定都能夠很好的平行的推廣到(n,m)-半群. 該文將正則半群、逆半群、純正半群的概念推廣到(n,m)-半群上,得到了正則(n,m)-半群、逆(n,m)-半群、純正(n,m)-半群的概念. 并就Δ=n-m=1這一類相對特殊的半群作了深入研究,得出了較好的結(jié)果,分別給出了逆(n,n-1)-半群,純正(n,n-1)-半群的充分必要條件.

該文的結(jié)構(gòu)如下: 第2節(jié)主要給出了(n,n-1)-半群的Green定理,見定理1; 在第3節(jié)中,主要刻畫了(n,n-1)-半群中逆和冪等元在正則D-類中的關(guān)系及正則(n,n-1)-半群的基本性質(zhì),見定理2及命題2; 第4節(jié)給出了(n,n-1)-半群是逆(n,n-1)-半群的充分必要條件,見定理3,命題3給出了逆(n,n-1)-半群中元素的一些性質(zhì); 第5節(jié)的主要結(jié)論是定理4,它給出了(n,n-1)-半群是純正(n,n-1)-半群的充分必要條件. 在本節(jié)的剩余部分介紹一些與(n,m)-半群相關(guān)的概念.

假設(shè)S是一個非空集合,n,m是兩個正整數(shù)(n>m),并且

[]:(x1,x2,…,xn)|→[x1x2…xn]

則稱(S,[]) 是一個(n,m)-半群,見文獻[4]. 在不至于混淆的情況下,為了方便我們用S代替(S,[]).

假設(shè)a,b∈Sm. 如果存在x1,x2∈S+使得[ax1]=b,[bx2]=a,則稱a和b有右關(guān)系,記作aR b. 類似地,如果存在y1,y2∈S+使得[y1a]=b,[y2b]=a,則稱a和b有左關(guān)系,記作aLb. 用H表示左關(guān)系L和R的交. 用D表示左關(guān)系L和R的結(jié)合. 如果存在x,y,u,v∈S+使得[xay]=b,[ubv]=a,則稱a和b有J關(guān)系,記作aJ b. 對于每個a∈ Sm,用La [Ra,Ha,Da] 分別表示包含a的L-類[R-類,H-類,D-類],見文獻[10].

定義1 假設(shè)S 是一個(n,m)-半群,a∈Sm. 若存在b∈Sm使得[(ab)Δa]=a,則稱a是正則的.

該文中正則的定義和文獻[10]中略有不同,文獻[10]要求b∈S+. 實際上,若存在b∈S+使得[(ab)Δa]=a.令b′=[(ba)Δb],則b′∈Sm,且[(ab′)Δa]=a.因此,文獻[10]中對正則的定義更具一般性.

定義2[10]假設(shè)S是一個(n,m)-半群,e∈Sm.若[eΔ+1]=e,則稱e為冪幺元.

定義3 假設(shè)S是一個(n,m)-半群,a∈Sm. 若存在a′∈Sm使得 [(aa′)Δa]=a,[(a′a)Δa′]=a′,則稱a′是a的一個逆.a可能有多個逆,用V(a) 表示由a的逆組成的集合.

2 (n,n-1)-半群上的Green定理

文獻[10]給出了一般(n,m)-半群上的Green定理. 但是由于(n,m)-半群自身的復(fù)雜性,包含冪幺元e的H-類并不一定能夠構(gòu)成一個群,因此文獻[10] 給出的(n,m)-半群上的Green定理沒有普通二元半群上的Green定理的結(jié)論強. 該文就Δ=n-m=1 這一類比較特殊的(n,m)-半群作了深入研究,得到較好的結(jié)論. 由文獻[10]中的引理2.5 可以直接得到下面引理.

引理1 假設(shè)S 是一個(n,n-1)-半群,a,b∈ Sn-1,若[ab]∈Ha,則ρb|Ha是Ha 到其自身的雙射. 若[ba]∈Ha,則λb |Ha是Ha到其自身的雙射.

引理2 假設(shè)S 是一個(n,n-1)-半群,則冪等元e∈Sn-1是Re的左單位元,Le的右單位元.

定理1 假設(shè)S是一個(n,n-1)-半群,H?Sn-1是一個H-類,則[H2]∩H=?或者[H2]=H,并且H 是一個(二元)群.

證明假設(shè)[H2]∩H≠?,則存在a,b∈H 使得[ab]∈H.由引理1得,ρb和λa是H 到其自身的雙射. 因此對每一個h∈H 有[hb]∈H 和[ah]∈H. 再由引理1得ρh和λh是H到其自身的雙射. 因此,對每一個h∈H 有[Hh]=[hH]=H,即[H2]=H. 因此,H是一個(二元)群. 證畢.

推論1 假設(shè)S 是一個(n,n-1)-半群,e∈Sn-1是一個冪等元,則He是一個(二元)群. 一個H-類至多包含一個冪等元.

3 (n,n-1)-半群中元素的逆及其基本性質(zhì)

文獻[1]定理Ⅱ.3.5給出了普通二元半群中正則D-類的一些基本性質(zhì),但是它對一般的(n,m)-半群并不成立,該文針對Δ=n-m=1這一類特殊的(n,m)-半群進行了深入研究,將文獻[1]定理Ⅱ.3.5 等推廣到(n,n-1)-半群,得到一些較好的結(jié)論. 首先給出正則(n,m)-半群的概念.

定義4 假設(shè)S 是一個(n,m)-半群,若對任意a∈Sm都是正則的,則稱S 是一個正則(n,m)-半群.

引理3 假設(shè)S 是一個(n,n-1)-半群,D?Sn-1是一個正則D-類. 則D中的每一個L-類和每一個R-類至少包含一個冪等元.

將文獻[1]中定理Ⅱ.3.5 推廣到(n,n-1)-半群,于是得到下面定理.

定理2 假設(shè)S 是一個(n,n-1)-半群,D?Sn-1是一個正則D-類,且a∈D. 則

(1) 若a′是a的一個逆,則a′∈D 且Ra∩La′,La∩Ra′分別包含冪等元[aa′]和[a′a].

(2) 若b∈D 使得 Ra∩Lb,La∩Rb分別包含冪等元e,f,則Hb包含a的一個逆a*使得 [aa*]=e,[a*a]=f.

(3) 每個H -類中至多包含a的一個逆.

證明(1) 因為aR [aa′]且[aa′]L a′,所以(a,a′)∈R·L即a′∈D. 因為[aa′]∈Ra 且[aa′]∈La′,所以[aa′]∈Ra∩La′. 同理可證[a′a]∈La∩Ra′.

(2) 因為e∈Ra∩Lb,f∈La∩Rb,所以存在x,y∈D使得[ax]=e,[ya]=f. 因為e,y是冪等元,所以由引理2得[ea]=a,[af]=a.

令a*=[fxe],則

[(aa*)Δa]=[aa*a]=[afxea]=[axa]=[ea]=a,

[(a*a)Δa*]=[a*aa*]=[fxeafxe]=[fxe2]=[fxe]=a.

所以a*是a的一個逆. 且

[aa*]=[afxe]=[axe]=[e2]=e,

[a*a]=[fxea]=[fxa]=[yaxa]=[yea]=[ya]=f.

(3) 假設(shè)a′,a*∈Hb且都是a的逆,則[aa′],[aa*]都是冪等元,由推論1得 [aa′]=[aa*] 且[aa′],[aa*]∈Ra∩Lb.同理[a′a]=[a*a] 且[a′a]=[a*a] ∈La∩Rb. 因此a′=[(a′a)Δa′]=[(a′a)a′]=[(a*a) a′]=[(a*a) a*]=[(a*a)Δa*]=a*. 證畢.

命題1 假設(shè)S 是一個(n,n-1)-半群,e,f∈Sn-1是冪等元. 則(e,f)∈D當且僅當存在a 和a的一個逆a′,使得[aa′]=e,[a′a]=f.

證明?若(e,f) ∈D,則e,f在同一個正則D-類中. 任取Re∩Lf中的一個元a,由定理2(2) 得,存在a的一個逆a′∈Rf∩Le,再由定理2(1) 得,[aa′]=e,[a′a]=f.

?若存在一對互逆的元a,a′使得 [aa′]=e,[a′a]=f. 則由定理2(1) 得,eR a,aLf,因此,eD f,即(e,f)∈D. 證畢.

命題2 假設(shè)S是一個正則(n,n-1)-半群,a,b∈Sn-1. 則

(1) (a,b)∈L當且僅當存在a′∈V(a),b′∈ V(b) 使得 [a′a]=[b′b].

(2) (a,b)∈D當且僅當存在a′∈V(a),b′∈ V(b) 使得 [aa′]=[bb′].

(3) (a,b)∈H當且僅當存在a′∈V(a),b′∈ V(b) 使得 [a′a]=[b′b] 且[aa′]=[bb′].

證明(1)若(a,b)∈L,且a′∈V(a),則[a′a] ∈La=Lb是一個冪等元. 由引理3得,Rb至少包含一個冪等元e,再由定理2(2) 得,Ra′ a∩Le包含b的一個逆b′,使得[a′a]=[b′b].

反之,假設(shè)存在a′∈V(a),b′∈V(b) 使得[a′a]=[b′b]. 由定理2(1) 得,aL[a′a],[b′b] Lb. 故aLb,即(a,b)∈L. 同理可證 (2).

(3) (a,b)∈L,且a′∈V(a),則[a′a] ∈La=Lb,[aa′]∈Ra=Rb.由定理2(2) 得,Ra′a∩Laa′包含b的一個逆b′,使得[a′a]=[b′b].

反之,假設(shè)存在a′∈V(a),b′∈V(b),使得[a′a]=[b′b],且[aa′]=[bb′]. 則aLb,aRb,即aH b. 證畢.

4 逆(n,m)-半群及逆(n,n-1)-半群的基本性質(zhì)

文獻[1]定理Ⅴ.1.2給出來了普通二元半群是逆半群的充分必要條件,但是它對一般的(n,m)-半群并不成立,該文針對Δ=n-m=1這一類特殊的(n,m)-半群進行了深入研究,將文獻[1]定理Ⅴ.1.2 推廣到(n,n-1)-半群,得到逆(n,n-1)-半群的充分必要條件. 首先給出逆(n,m)-半群的概念.

定義5 假設(shè)S是一個(n,m)-半群.若對于每一個a∈Sm都有唯一的逆元,記作a-1,則稱S是一個逆(n,m)-半群.

將文獻[1]中定理Ⅴ.1.2推廣到(n,n-1)-半群,于是得到下面定理.

定理3 假設(shè)S是一個(n,n-1)-半群,則下列陳述等價:

(1)S是一個可逆半群.

(2)S是正則的并且冪等元可交換.

(3)S的每一個L-類和每一個R-類包含唯一的冪等元.

證明(1)?(2) 假設(shè)e,f∈Sn-1是冪等元,令x=[ef]-1,則

[([ef]x)Δ[ef]]=[efxef]=[ef],

[(x[ef])Δx]=[xefx]=x,

[(fxe)Δ+1]=[(fxe)2]=[fxefxe]=[fxe].

因此,[fxe] 是一個冪等元.

[([ef][fxe])Δ[ef]]=[effxeef]=[efxef]=[ef],

[([fxe][ef])Δ[fxe]]=[fxeeffxe]=[fxefxe]=[fxe].

因此,[ef]是[fxe]的一個逆.又因為[fxe]是一個冪等元，它的逆是其本身，所以[ef]=[fxe],且[ef]是一個冪等元.同理可證， [fe]是一個冪等元.

[([ef][fe])Δ[ef]]=[effeef]=[efef]=[(ef)2]=[ef],

[([fe][ef])Δ[fe]]=[feeffe]=[fefe]=[(fe)2]=[fe].

因此,[fe] 是 [ef] 的一個逆,但是[ef] 是一個冪等元,它的唯一的逆是其本身.所以,[fe]=[ef],即冪等元可交換.

(2)?(3)假設(shè)S是正則的,則由引理3 每一個L-類至少包含一個冪等元,令e,f∈Sn-1是冪等元,且eLf,則由引理2得[ef]=e,[fe]=f. 由假設(shè)[ef]=[fe] 得e=f,即每一個L-類包含唯一的冪等元.同理可證每一個R-類包含唯一的冪等元.

(3)?(1) 由假設(shè)及引理3得,每一個D-類至少包含一個冪等元. 令a∈D,a′,a"是a的逆,則[aa′],[aa"] 是冪等元,且[aa′]R a,aR[aa"],因此[aa′]R[aa"]. 由假設(shè)知[aa′]=[aa"],同理

[a′ a]=[a"a]. 所以

a′=[(a′a)Δa′]=[a′aa′]=[a"aa′]=[a"aa"]=[(a"a)Δa"]=a".

因此a的逆是唯一的,即S是一個可逆半群. 證畢.

命題3 假設(shè)S是一個(n,n-1)-半群,E?Sn-1是冪等元集合,則

(1)(a-1)-1=a (?a∈Sn-1).

(2)e-1=e (?e∈E).

(3)[ab]-1=[b-1a-1] (?a,b∈Sn-1).

(4)[aea-1],[a-1ea]∈E (?a∈Sn-1,?e∈E).

(5)(a,b)∈L當且僅當[a-1a]=[b-1b]; (a,b)∈L當且僅當[aa-1]=[bb-1].

(6)若e,f∈E,則eD f當且僅當存在a∈Sn-1,使得 [aa-1]=e,[a-1a]=f.

5 純正(n,m)-半群及純正(n,n-1)-半群的基本性質(zhì)

文獻[1]定理Ⅵ.1.1給出來了普通二元半群是純正半群的充分必要條件,但是它對一般的(n,m)-半群并不成立,該文針對Δ=n-m=1這一類特殊的(n,m)-半群進行了深入研究,將文獻[1]定理Ⅵ.1.1 推廣到(n,n-1)-半群,得到純正(n,n-1)-半群的充分必要條件. 首先給出純正(n,m)-半群的概念.

定義6 假設(shè)S是一個(n,m)-半群,E是所有冪等元的集合,若任取e1,e2,…,eΔ+1∈E,有[e1e2…eΔ+1]∈E,則稱S是一個純正(n,m)-半群.

將文獻[1]中定理Ⅵ.1.1 推廣到(n,n-1)-半群,于是得到下面定理.

定理4 假設(shè)S是一個(n,n-1)-半群,則下列陳述等價:

(1)S是一個純正半群.

(2) 對任意a,b∈Sn-1,若a′∈V(a),b′∈V(b),則有[b′a′] 是[ab]的一個逆.

(3) 若e是一個冪等元,則e的所有的逆都是冪等元.

證明(1)?(2) 假設(shè)S是一個(n,n-1)-半群,a,b∈Sn-1,a′,b′分別是a,b的逆,則 [a′a],[b′b] 是冪等元,因此由純正的性質(zhì)得[a′ab′b],[b′ba′a]是冪等元. 因此

[([ab][b′a′])Δ[ab]]=[abb′a′ab]=[aa′abb′a′abb′b]=

[a[a′abb′]2b]=[aa′abb′b]=[ab],

[([b′a′][ab])Δ[b′a′]]=

[b′a′abb′a′]=[b′bb′a′abb′a′aa′]=

[b′[bb′a′a]2a′]=[b′bb′a′aa′]=[b′a′].

即[b′a′] 是[ab] 的逆.

(2)?(3) 假設(shè)e∈Sn-1是冪等元,x是e的一個逆,則[xe],[ex]都是冪等元,且分別是自身的一個逆. 由假設(shè)得[[ex][xe]] 是[[xe][ex]]的一個逆,即[e[x2]e] 是[x[e2]x] 的一個逆,又因為[x[e2]x]=[xex]=x,即[e[x2]e] 是x的一個逆. 因此x=[(x[e[x2]e])Δx]=[xexxex]=[x2],即x是冪等元.

(3)?(1) 設(shè)e,f∈Sn-1都是冪等元,x是[ef]的一個逆,則

[([ef][fxe])Δ[ef]]=[effxeef]=[efxef]=[ef],

[([fxe][ef])Δ[fxe]]=[fxeeffxe]=[fxefxe]=[fxe].

因此,[ef] 是[fxe] 的一個逆. 又因為

[(fxe)2]=[fxefxe]=[fxe].

因此[fxe] 是一個冪等元,則[ef] 也是一個冪等元. 證畢.

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