基于數(shù)學(xué)教育價值視角下的例題教學(xué)

林少安

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)層面的價值表現(xiàn)為“對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)作用.”數(shù)學(xué)的教育價值，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用價值、思維訓(xùn)練價值. 文化價值及科學(xué)素養(yǎng)價值等.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開例題教學(xué)，因此我們應(yīng)充分挖掘例題的教育價值，在傳授知識的同時，注重能力的培養(yǎng)，理性思維的養(yǎng)成，文化的熏陶及科學(xué)素養(yǎng)的提升，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的多元化，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.下面從體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價值的層面談?wù)勗诶}教學(xué)中彰顯數(shù)學(xué)教育價值的幾點(diǎn)思考，以期拋磚引玉.

一、注重縱橫拓展，培養(yǎng)探究能力

在例題教學(xué)中，可以從教育價值的高度來設(shè)計問題，精心預(yù)設(shè)富有啟發(fā)性的“好問題”，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，加強(qiáng)縱、橫向的聯(lián)系.在例題講解過程中，適度的研討可以讓更多的學(xué)生主動參與，在師生對話中實(shí)現(xiàn)師生合作，促進(jìn)生生交流以及團(tuán)隊精神.知識的動態(tài)生成和問題的解決可以讓學(xué)生感受到成功的喜悅，激發(fā)求知欲，激活思維火花，有效提升學(xué)生的探究創(chuàng)新能力.在例題教學(xué)中，常見的的“好問題”有“一題多變”(類比、拓展、延伸)、“一題多用”、“多題歸一”等.

案例1已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）的極值.

在教師與學(xué)生共同完成此問題解答后，教師可引導(dǎo)學(xué)生對此問題進(jìn)行編題變式.筆者在教學(xué)中做過嘗試，學(xué)生在經(jīng)過合作探究后有如下幾種變式：

生1（變式1）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，x∈0，■，求f（x）最大值與最小值.設(shè)計意圖是限定自變量的取值范圍，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值，最后確定函數(shù)的最值.

生2（變式2）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+ax在區(qū)間（1，2）為減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.設(shè)計意圖是根據(jù)極值的定義，設(shè)計x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn).

生3（變式3）：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+ax在區(qū)間（1，2）為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍.設(shè)計意圖是引入?yún)?shù)，由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，即f′（x）=3x3-8x+a＜0，對x∈（1，2）恒成立.

在此基礎(chǔ)上，經(jīng)教師的引導(dǎo)，師生又共同探究下列幾種變式：

變式4：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，試證：對任意的x1，x2∈0，■不等式f（x1）-f（x2）＜■恒成立.設(shè)計意圖是考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.此問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在0，■的最大值為m，最小值為n，證明m-n＜■即可.

變式5：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x，試問實(shí)數(shù)取何值時，兩函數(shù)的圖象有且僅有三個公共點(diǎn).設(shè)計意圖是考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想.此問題可轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)a取何值時，方程f（x）=g（x）有三個根，即x3-4x2+4a=a有三個根.

變式6：已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2-16x-k（其中k為實(shí)數(shù)），若對于任意x1∈［0，3］，總存在x2∈［0，3］，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍.設(shè)計意圖考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查函數(shù)的值域、集合間的包含關(guān)系等.

當(dāng)然還可再進(jìn)行變式，在此不一一列舉.

案例啟示：波利亞說：“拿一個有意義又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域.”我們知道，中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的核心內(nèi)容，就是利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)——圖象特征（包括單調(diào)性、函數(shù)的凹凸性、圖象的切線及兩函數(shù)圖象間的關(guān)系）.上述問題是從函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本問題出發(fā)，從研究函數(shù)的本質(zhì)內(nèi)容、函數(shù)單調(diào)性及極值出發(fā)，通過變式探究，將導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用作了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，設(shè)計是自然而有效的.一題多變，變的是形式，不變的是本質(zhì).問題的變式，使學(xué)生更清楚地認(rèn)識了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，增強(qiáng)了思維的廣闊性，提高對數(shù)學(xué)的興趣和熱情，培養(yǎng)探究精神.

愛因斯坦在《物理學(xué)的進(jìn)化》中說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個問題也許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧問題.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”在例題教學(xué)過程中，教師要密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)動態(tài)，通過教師引導(dǎo)、啟發(fā)、指導(dǎo)、點(diǎn)撥、評價、矯正，讓學(xué)生自主地提出問題，才能有效地起到拓展思路、開闊視野、提煉精要、升華情感的作用，讓師生對話得以持續(xù)，學(xué)生的自主、合作、探究學(xué)習(xí)才能順暢，學(xué)生的思維才有可能從懵懂走向頓悟，內(nèi)心才有可能從迷惘變得敞亮.

二、關(guān)注呈現(xiàn)方式，養(yǎng)成理性思維

理性思維就是人們借助抽象思維，在概括、整理大量感性材料的基礎(chǔ)上達(dá)到關(guān)于事物本質(zhì)的、全體內(nèi)部聯(lián)系和事物自身規(guī)律的認(rèn)識.理性思維是在感性思維的基礎(chǔ)上，把所獲得的感覺材料，經(jīng)過思考、分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成概念、判斷、推理.理性思維是感性思維的飛躍，它反映事物的全體、本質(zhì)和內(nèi)部聯(lián)系.

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“掌握數(shù)學(xué)意味著除掌握邏輯分析方法外，還必須掌握探索性思維能力.”數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅限于一些演算規(guī)則和解題技巧的教學(xué)，其中最本質(zhì)的還是對學(xué)生理性思維方法的培養(yǎng).培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的理性思維，其教育意義一點(diǎn)也不亞于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的教學(xué).引導(dǎo)學(xué)生借助感性材料通過概括獲得數(shù)學(xué)結(jié)論并對命題進(jìn)行邏輯證明是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)使然，是體現(xiàn)例題教學(xué)價值的重要方面.

筆者在一次聽課過程中，遇到一位教師是如此展示及處理下述問題.

案例2 n∈N*且 n≥3，證明： nn+1＞（n+1）n.

此題呈現(xiàn)方式是直接將結(jié)論給學(xué)生.教師在分析題意后問：“與自然數(shù)有關(guān)問題如何解決？”，生答：“用數(shù)學(xué)歸納法”.在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法、二項式定理進(jìn)行證明，似乎也完成了教學(xué)任務(wù).如此教學(xué)，追求的僅僅是演算規(guī)則和解題技巧的教學(xué)，或者說，只是為了完成解決問題而已，未能充分體現(xiàn)對學(xué)生的理性思維的培養(yǎng).

我們不妨做一下改編：你能否判斷 nn+1與 （n+1）n的大?。浚╪∈N*）

教學(xué)效果會大不一樣.我們知道，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開始，通過歸納總結(jié)得出結(jié)論，經(jīng)過證明后，又利用它們來解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

教師可引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，…

學(xué)生有了這些感性材料時，可作出猜想：

當(dāng)n＜3時， nn+1＜ （n+1）n（n∈N*）；

當(dāng)n≥3時，nn+1＜ （n+1）n（n∈N*）.

此時，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法、二項式定理進(jìn)行證明.接著，對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教師又可適時提出能否將此結(jié)論推廣到為實(shí)數(shù)?通過進(jìn)一步探索，作出新的猜想：

當(dāng)0＜x＜y＜e時，xy＜yx；

當(dāng)e＜x＜y＜+∞時.xy＞yx（x，y∈R）.

這樣的教學(xué)活動，不僅有利于學(xué)生形成勇于探索的精神，而且使學(xué)生的理性思維探索能力得到了訓(xùn)練和培養(yǎng).

案例啟示：教育家加里寧說過：“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操.”數(shù)學(xué)學(xué)科在發(fā)展學(xué)生思維尤其是理性思維方面具有特有的優(yōu)勢，數(shù)學(xué)教學(xué)必須高度重視理性思維的養(yǎng)成，以充分展示數(shù)學(xué)理性光芒來提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的層次，實(shí)現(xiàn)理性精神的傳承，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基.

眾所皆知，在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的方式及順序不同會出現(xiàn)首因效應(yīng)或者第一印象效應(yīng)問題.同樣的，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)上，例題信息的呈現(xiàn)方式及順序也會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在例題教學(xué)中，我們要注意到在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，研究例題呈現(xiàn)方式、例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的順序?qū)?shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生的不同教學(xué)效果.教師有必要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，對例題的呈現(xiàn)方式盡量合理優(yōu)化，考慮采取何種恰當(dāng)?shù)摹⒂行У某尸F(xiàn)策略，能更好地開啟學(xué)生的思維，也可以促使更多的學(xué)生積極主動地參與到課堂教學(xué)活動中來.在此要說明的是，教師在引用他人編擬的例題的時候“多長點(diǎn)心眼”，根據(jù)自己的教學(xué)意圖充分挖掘例題的教育功能，例題信息呈現(xiàn)的方式是一種相對“簡便”的教育功能挖掘方式，教師完全可以根據(jù)自己的教育意圖靈活處理.

此問題的設(shè)置，揭示了從特殊到一般的理性思維過程，學(xué)生對感性材料進(jìn)行抽象和概括、分析和綜合，尋找事物的本質(zhì)，進(jìn)而解決問題，這樣的教學(xué)處理，理性思維方法就滲透其中，思維的探索品質(zhì)也得到培養(yǎng).

三、展示數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)文化價值

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的文化價值是客觀存在的，但學(xué)生往往感覺不到，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是多方面的，其中之一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分夸大了數(shù)學(xué)的智育功能，而忽視了數(shù)學(xué)的美育功能和人文價值.

筆者在教學(xué)中設(shè)計了這樣的一個問題：

通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

設(shè)置此練習(xí)題，從知識層面上看，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理進(jìn)行的一般過程，同時體會歸納推理的特點(diǎn)和作用.更重要的是，期望著學(xué)生能從數(shù)學(xué)對稱美的角度出發(fā)，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但從學(xué)生作出的解答令人失望，絕大部分的學(xué)生只考慮到一般性的結(jié)論為sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，從而導(dǎo)致在證明一般性的結(jié)論的解答過程較為繁瑣.究其原因是學(xué)生未能感受到數(shù)學(xué)美的客觀存在.

世界數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)大師們智慧的沉淀，其蘊(yùn)含的獨(dú)特構(gòu)思、創(chuàng)造性思維技巧以及精彩的結(jié)論都堪稱數(shù)學(xué)中的瑰寶.在中學(xué)例題教學(xué)中，適當(dāng)引入以數(shù)學(xué)名題為背景的試題，能讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美妙，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化有積極的促進(jìn)作用.

案例3已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=■，當(dāng)an為偶數(shù)時，3an+1， 當(dāng)an為奇數(shù)時，若a6=1，則m所有可能的取值為 .

對于本題，如果就題解題、論題，只是得到形式上、邏輯上的解答，學(xué)生對此不會留下什么印象，對觀念發(fā)展、思維成熟的益處甚微.僅從知識層面解決這一問題，這是例題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化價值的缺失.教師對這一背景可作恰當(dāng)?shù)慕榻B.此題的背景就是“3n+1”問題”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：給定一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)就除以2變成■，如果n是奇數(shù)就乘以3再加1變成3n+1，不斷地重復(fù)這兩種運(yùn)算，則有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的數(shù)列問題，孰不知該試題卻蘊(yùn)含濃厚的文化背景.問題如此清晰、明了，連小學(xué)生都能看得懂的問題，卻難倒了20世紀(jì)的許多偉大的數(shù)學(xué)家.當(dāng)時，有許多專家、學(xué)者都對這個問題陷入了狂熱的迷戀中.據(jù)說，耶魯大學(xué)有長達(dá)一個月之久，人人都在研究這個問題，但卻沒有任何實(shí)性的進(jìn)展，經(jīng)過幾十年的探索與研究，人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家愛爾特希的說法：數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題.

案例啟示：克萊因指出：“數(shù)學(xué)是形成現(xiàn)代文化的主要力量，也是這種文化極其重要的因素.”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，不僅閃爍著理性、智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透是必要的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵是對教學(xué)內(nèi)容的挖掘和理解，不但要將數(shù)學(xué)知識的工具價值展示出來，還要把它的文化價值挖掘出來.既要注意它的知識形態(tài)，更要注意它的文化形態(tài)，達(dá)到全面育人的目的.

法國啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個又一個難以解答的問題，所謂美的解答是對一個困難復(fù)雜問題的簡易回答.”對數(shù)學(xué)的探索伴隨著一個探索發(fā)現(xiàn)的過程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維，去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的.而在這一問題解決過程中，數(shù)學(xué)審美活動起著不可忽視的潛在作用.數(shù)學(xué)問題解決中的審美活動主要體現(xiàn)在，審視數(shù)學(xué)美，啟迪問題解決的思路；挖掘數(shù)學(xué)美，簡化問題解決的思路；創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問題解決的途徑；追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問題解決的規(guī)律.

本題將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力，是一道意味深長的好題.通過介紹例題的文化背景，不但可以讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的價值，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給枯燥的數(shù)學(xué)課程增添生機(jī)與活力.

四、捕捉動態(tài)生成，養(yǎng)成良好品質(zhì)

“歲歲年年人不同，題題錯錯總相似.”每次練習(xí)測驗(yàn)考試之后總有一些學(xué)生后悔不已，追悔莫及.雖然發(fā)生在不同的學(xué)生身上，但錯因總是那么相同相似.究其原因主要是審題不深入，甚至看錯題或者看漏條件，導(dǎo)致這一原因的主要根源就是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

案例4已知函數(shù)f（x）=■，是否存在實(shí)數(shù)m滿足方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根，若存在求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

提出這一問題時，教師不必急于分析解題思路，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，動手實(shí)踐.筆者在教學(xué)中做過嘗試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是如此解答：求導(dǎo)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，學(xué)生畫出草圖，如圖1，則當(dāng)f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■時，方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根.

到此，學(xué)生很滿足，思維進(jìn)入休眠狀態(tài).這時需要教師的點(diǎn)拔激活思維，此時，教師提出：“答案對嗎？當(dāng)x→-∞（或x→+∞）時，函數(shù)f（x）=■的值如何？”這一問題猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋，激起層層思維波瀾，學(xué)生人人動手思考，由函數(shù)f（x）=■分析，當(dāng)x→-∞時，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時，f（x）→0，也就清楚函數(shù)f（x）并非圖1，正確圖形應(yīng)是圖2.由圖2可知不存在實(shí)數(shù)滿足方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根.

解題結(jié)束時，教師總結(jié)，對于“研究方程f（x）=c的實(shí)根問題”，若的范圍為非閉區(qū)間時，一般都要對x趨近端點(diǎn)值時對y進(jìn)行逼近，判斷函數(shù)程f（x）在端點(diǎn)處的取值情況，防止出現(xiàn)錯誤.

案例啟示：面對教師設(shè)計的熟知問題，學(xué)生雖然容易入手，但常因思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，如審題不清、畫圖的隨意性等而致誤.通過教師對答案提出疑問，使學(xué)生思維高度集中，他們急于找出問題的癥結(jié)而產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力，理解也更為深刻.學(xué)生經(jīng)歷“犯錯一查因一糾錯”的探究過程，揭示問題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對問題的深層次的認(rèn)識和理解，與此同時培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

有智慧的教師應(yīng)懂得舉輕若重.其實(shí)，學(xué)生在一些看似無足輕重的解題環(huán)節(jié)的疏忽，恰恰暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的缺陷和數(shù)學(xué)思維的幼稚.如果只注重分析試題的思路，忽略了其中的算理和對運(yùn)算途徑的優(yōu)化就會影響答題的效率和準(zhǔn)確率.忽略對解題的嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解題中就容易丟三落四.作為教師一定要充分預(yù)見到學(xué)生在解題時，有哪些容易出錯的地方，這些問題是數(shù)學(xué)知識存在的缺陷，還是基本技能不夠嫻熟，防患于未然.例題教學(xué)時，要注意細(xì)節(jié)，要求學(xué)生做到字字有據(jù)，步步有理，行行準(zhǔn)確.正所謂：小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美，細(xì)心贏得先機(jī)，嚴(yán)謹(jǐn)走向成功.

眾所皆知，在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的方式及順序不同會出現(xiàn)首因效應(yīng)或者第一印象效應(yīng)問題.同樣的，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)上，例題信息的呈現(xiàn)方式及順序也會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在例題教學(xué)中，我們要注意到在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，研究例題呈現(xiàn)方式、例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的順序?qū)?shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生的不同教學(xué)效果.教師有必要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，對例題的呈現(xiàn)方式盡量合理優(yōu)化，考慮采取何種恰當(dāng)?shù)摹⒂行У某尸F(xiàn)策略，能更好地開啟學(xué)生的思維，也可以促使更多的學(xué)生積極主動地參與到課堂教學(xué)活動中來.在此要說明的是，教師在引用他人編擬的例題的時候“多長點(diǎn)心眼”，根據(jù)自己的教學(xué)意圖充分挖掘例題的教育功能，例題信息呈現(xiàn)的方式是一種相對“簡便”的教育功能挖掘方式，教師完全可以根據(jù)自己的教育意圖靈活處理.

此問題的設(shè)置，揭示了從特殊到一般的理性思維過程，學(xué)生對感性材料進(jìn)行抽象和概括、分析和綜合，尋找事物的本質(zhì)，進(jìn)而解決問題，這樣的教學(xué)處理，理性思維方法就滲透其中，思維的探索品質(zhì)也得到培養(yǎng).

三、展示數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)文化價值

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的文化價值是客觀存在的，但學(xué)生往往感覺不到，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是多方面的，其中之一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分夸大了數(shù)學(xué)的智育功能，而忽視了數(shù)學(xué)的美育功能和人文價值.

筆者在教學(xué)中設(shè)計了這樣的一個問題：

通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

設(shè)置此練習(xí)題，從知識層面上看，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理進(jìn)行的一般過程，同時體會歸納推理的特點(diǎn)和作用.更重要的是，期望著學(xué)生能從數(shù)學(xué)對稱美的角度出發(fā)，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但從學(xué)生作出的解答令人失望，絕大部分的學(xué)生只考慮到一般性的結(jié)論為sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，從而導(dǎo)致在證明一般性的結(jié)論的解答過程較為繁瑣.究其原因是學(xué)生未能感受到數(shù)學(xué)美的客觀存在.

世界數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)大師們智慧的沉淀，其蘊(yùn)含的獨(dú)特構(gòu)思、創(chuàng)造性思維技巧以及精彩的結(jié)論都堪稱數(shù)學(xué)中的瑰寶.在中學(xué)例題教學(xué)中，適當(dāng)引入以數(shù)學(xué)名題為背景的試題，能讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美妙，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化有積極的促進(jìn)作用.

案例3已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=■，當(dāng)an為偶數(shù)時，3an+1， 當(dāng)an為奇數(shù)時，若a6=1，則m所有可能的取值為 .

對于本題，如果就題解題、論題，只是得到形式上、邏輯上的解答，學(xué)生對此不會留下什么印象，對觀念發(fā)展、思維成熟的益處甚微.僅從知識層面解決這一問題，這是例題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化價值的缺失.教師對這一背景可作恰當(dāng)?shù)慕榻B.此題的背景就是“3n+1”問題”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：給定一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)就除以2變成■，如果n是奇數(shù)就乘以3再加1變成3n+1，不斷地重復(fù)這兩種運(yùn)算，則有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的數(shù)列問題，孰不知該試題卻蘊(yùn)含濃厚的文化背景.問題如此清晰、明了，連小學(xué)生都能看得懂的問題，卻難倒了20世紀(jì)的許多偉大的數(shù)學(xué)家.當(dāng)時，有許多專家、學(xué)者都對這個問題陷入了狂熱的迷戀中.據(jù)說，耶魯大學(xué)有長達(dá)一個月之久，人人都在研究這個問題，但卻沒有任何實(shí)性的進(jìn)展，經(jīng)過幾十年的探索與研究，人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家愛爾特希的說法：數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題.

案例啟示：克萊因指出：“數(shù)學(xué)是形成現(xiàn)代文化的主要力量，也是這種文化極其重要的因素.”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，不僅閃爍著理性、智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透是必要的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵是對教學(xué)內(nèi)容的挖掘和理解，不但要將數(shù)學(xué)知識的工具價值展示出來，還要把它的文化價值挖掘出來.既要注意它的知識形態(tài)，更要注意它的文化形態(tài)，達(dá)到全面育人的目的.

法國啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個又一個難以解答的問題，所謂美的解答是對一個困難復(fù)雜問題的簡易回答.”對數(shù)學(xué)的探索伴隨著一個探索發(fā)現(xiàn)的過程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維，去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的.而在這一問題解決過程中，數(shù)學(xué)審美活動起著不可忽視的潛在作用.數(shù)學(xué)問題解決中的審美活動主要體現(xiàn)在，審視數(shù)學(xué)美，啟迪問題解決的思路；挖掘數(shù)學(xué)美，簡化問題解決的思路；創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問題解決的途徑；追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問題解決的規(guī)律.

本題將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力，是一道意味深長的好題.通過介紹例題的文化背景，不但可以讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的價值，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給枯燥的數(shù)學(xué)課程增添生機(jī)與活力.

四、捕捉動態(tài)生成，養(yǎng)成良好品質(zhì)

“歲歲年年人不同，題題錯錯總相似.”每次練習(xí)測驗(yàn)考試之后總有一些學(xué)生后悔不已，追悔莫及.雖然發(fā)生在不同的學(xué)生身上，但錯因總是那么相同相似.究其原因主要是審題不深入，甚至看錯題或者看漏條件，導(dǎo)致這一原因的主要根源就是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

案例4已知函數(shù)f（x）=■，是否存在實(shí)數(shù)m滿足方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根，若存在求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

提出這一問題時，教師不必急于分析解題思路，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，動手實(shí)踐.筆者在教學(xué)中做過嘗試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是如此解答：求導(dǎo)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，學(xué)生畫出草圖，如圖1，則當(dāng)f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■時，方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根.

到此，學(xué)生很滿足，思維進(jìn)入休眠狀態(tài).這時需要教師的點(diǎn)拔激活思維，此時，教師提出：“答案對嗎？當(dāng)x→-∞（或x→+∞）時，函數(shù)f（x）=■的值如何？”這一問題猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋，激起層層思維波瀾，學(xué)生人人動手思考，由函數(shù)f（x）=■分析，當(dāng)x→-∞時，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時，f（x）→0，也就清楚函數(shù)f（x）并非圖1，正確圖形應(yīng)是圖2.由圖2可知不存在實(shí)數(shù)滿足方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根.

解題結(jié)束時，教師總結(jié)，對于“研究方程f（x）=c的實(shí)根問題”，若的范圍為非閉區(qū)間時，一般都要對x趨近端點(diǎn)值時對y進(jìn)行逼近，判斷函數(shù)程f（x）在端點(diǎn)處的取值情況，防止出現(xiàn)錯誤.

案例啟示：面對教師設(shè)計的熟知問題，學(xué)生雖然容易入手，但常因思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，如審題不清、畫圖的隨意性等而致誤.通過教師對答案提出疑問，使學(xué)生思維高度集中，他們急于找出問題的癥結(jié)而產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力，理解也更為深刻.學(xué)生經(jīng)歷“犯錯一查因一糾錯”的探究過程，揭示問題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對問題的深層次的認(rèn)識和理解，與此同時培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

有智慧的教師應(yīng)懂得舉輕若重.其實(shí)，學(xué)生在一些看似無足輕重的解題環(huán)節(jié)的疏忽，恰恰暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的缺陷和數(shù)學(xué)思維的幼稚.如果只注重分析試題的思路，忽略了其中的算理和對運(yùn)算途徑的優(yōu)化就會影響答題的效率和準(zhǔn)確率.忽略對解題的嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解題中就容易丟三落四.作為教師一定要充分預(yù)見到學(xué)生在解題時，有哪些容易出錯的地方，這些問題是數(shù)學(xué)知識存在的缺陷，還是基本技能不夠嫻熟，防患于未然.例題教學(xué)時，要注意細(xì)節(jié)，要求學(xué)生做到字字有據(jù)，步步有理，行行準(zhǔn)確.正所謂：小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美，細(xì)心贏得先機(jī)，嚴(yán)謹(jǐn)走向成功.

眾所皆知，在心理學(xué)上，因信息呈現(xiàn)的方式及順序不同會出現(xiàn)首因效應(yīng)或者第一印象效應(yīng)問題.同樣的，在數(shù)學(xué)例題教學(xué)上，例題信息的呈現(xiàn)方式及順序也會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在例題教學(xué)中，我們要注意到在不改變例題本質(zhì)內(nèi)容的前提下，研究例題呈現(xiàn)方式、例題條件和結(jié)論信息呈現(xiàn)的順序?qū)?shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生的不同教學(xué)效果.教師有必要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，對例題的呈現(xiàn)方式盡量合理優(yōu)化，考慮采取何種恰當(dāng)?shù)?、有效的呈現(xiàn)策略，能更好地開啟學(xué)生的思維，也可以促使更多的學(xué)生積極主動地參與到課堂教學(xué)活動中來.在此要說明的是，教師在引用他人編擬的例題的時候“多長點(diǎn)心眼”，根據(jù)自己的教學(xué)意圖充分挖掘例題的教育功能，例題信息呈現(xiàn)的方式是一種相對“簡便”的教育功能挖掘方式，教師完全可以根據(jù)自己的教育意圖靈活處理.

此問題的設(shè)置，揭示了從特殊到一般的理性思維過程，學(xué)生對感性材料進(jìn)行抽象和概括、分析和綜合，尋找事物的本質(zhì)，進(jìn)而解決問題，這樣的教學(xué)處理，理性思維方法就滲透其中，思維的探索品質(zhì)也得到培養(yǎng).

三、展示數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)文化價值

數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的文化價值是客觀存在的，但學(xué)生往往感覺不到，導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是多方面的，其中之一是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分夸大了數(shù)學(xué)的智育功能，而忽視了數(shù)學(xué)的美育功能和人文價值.

筆者在教學(xué)中設(shè)計了這樣的一個問題：

通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=■；

sin230°+sin290°+sin2150°=■；

sin245°+sin2105°+sin2165°=■；

sin260°+sin2120°+sin2180°=■.

設(shè)置此練習(xí)題，從知識層面上看，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉歸納推理進(jìn)行的一般過程，同時體會歸納推理的特點(diǎn)和作用.更重要的是，期望著學(xué)生能從數(shù)學(xué)對稱美的角度出發(fā)，得到sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=■.

但從學(xué)生作出的解答令人失望，絕大部分的學(xué)生只考慮到一般性的結(jié)論為sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=■，從而導(dǎo)致在證明一般性的結(jié)論的解答過程較為繁瑣.究其原因是學(xué)生未能感受到數(shù)學(xué)美的客觀存在.

世界數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)大師們智慧的沉淀，其蘊(yùn)含的獨(dú)特構(gòu)思、創(chuàng)造性思維技巧以及精彩的結(jié)論都堪稱數(shù)學(xué)中的瑰寶.在中學(xué)例題教學(xué)中，適當(dāng)引入以數(shù)學(xué)名題為背景的試題，能讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美妙，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化有積極的促進(jìn)作用.

案例3已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)），an+1=■，當(dāng)an為偶數(shù)時，3an+1， 當(dāng)an為奇數(shù)時，若a6=1，則m所有可能的取值為 .

對于本題，如果就題解題、論題，只是得到形式上、邏輯上的解答，學(xué)生對此不會留下什么印象，對觀念發(fā)展、思維成熟的益處甚微.僅從知識層面解決這一問題，這是例題教學(xué)中數(shù)學(xué)文化價值的缺失.教師對這一背景可作恰當(dāng)?shù)慕榻B.此題的背景就是“3n+1”問題”（克拉茨猜想、舒拉古猜想或角古猜想）：給定一個正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)就除以2變成■，如果n是奇數(shù)就乘以3再加1變成3n+1，不斷地重復(fù)這兩種運(yùn)算，則有限步后均可回到1.

本例表面上看似一道普通的數(shù)列問題，孰不知該試題卻蘊(yùn)含濃厚的文化背景.問題如此清晰、明了，連小學(xué)生都能看得懂的問題，卻難倒了20世紀(jì)的許多偉大的數(shù)學(xué)家.當(dāng)時，有許多專家、學(xué)者都對這個問題陷入了狂熱的迷戀中.據(jù)說，耶魯大學(xué)有長達(dá)一個月之久，人人都在研究這個問題，但卻沒有任何實(shí)性的進(jìn)展，經(jīng)過幾十年的探索與研究，人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家愛爾特希的說法：數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題.

案例啟示：克萊因指出：“數(shù)學(xué)是形成現(xiàn)代文化的主要力量，也是這種文化極其重要的因素.”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，不僅閃爍著理性、智慧的光芒，更有藝術(shù)審美的享受以及厚重的文化意向.因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透是必要的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)鍵是對教學(xué)內(nèi)容的挖掘和理解，不但要將數(shù)學(xué)知識的工具價值展示出來，還要把它的文化價值挖掘出來.既要注意它的知識形態(tài)，更要注意它的文化形態(tài)，達(dá)到全面育人的目的.

法國啟蒙思想家狄德羅有一段名言精辟地指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指一個又一個難以解答的問題，所謂美的解答是對一個困難復(fù)雜問題的簡易回答.”對數(shù)學(xué)的探索伴隨著一個探索發(fā)現(xiàn)的過程，需要綜合運(yùn)用邏輯思維與非邏輯思維，去找尋解題途徑，達(dá)到正確的、完美的解題目的.而在這一問題解決過程中，數(shù)學(xué)審美活動起著不可忽視的潛在作用.數(shù)學(xué)問題解決中的審美活動主要體現(xiàn)在，審視數(shù)學(xué)美，啟迪問題解決的思路；挖掘數(shù)學(xué)美，簡化問題解決的思路；創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，探索問題解決的途徑；追求數(shù)學(xué)美，總結(jié)問題解決的規(guī)律.

本題將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，展示了數(shù)學(xué)文化的魅力，是一道意味深長的好題.通過介紹例題的文化背景，不但可以讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化的價值，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給枯燥的數(shù)學(xué)課程增添生機(jī)與活力.

四、捕捉動態(tài)生成，養(yǎng)成良好品質(zhì)

“歲歲年年人不同，題題錯錯總相似.”每次練習(xí)測驗(yàn)考試之后總有一些學(xué)生后悔不已，追悔莫及.雖然發(fā)生在不同的學(xué)生身上，但錯因總是那么相同相似.究其原因主要是審題不深入，甚至看錯題或者看漏條件，導(dǎo)致這一原因的主要根源就是缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

案例4已知函數(shù)f（x）=■，是否存在實(shí)數(shù)m滿足方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根，若存在求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

提出這一問題時，教師不必急于分析解題思路，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，動手實(shí)踐.筆者在教學(xué)中做過嘗試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是如此解答：求導(dǎo)可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上遞減，在（-1，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，學(xué)生畫出草圖，如圖1，則當(dāng)f（-1）＜m＜f（1），即-■＜m＜■時，方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根.

到此，學(xué)生很滿足，思維進(jìn)入休眠狀態(tài).這時需要教師的點(diǎn)拔激活思維，此時，教師提出：“答案對嗎？當(dāng)x→-∞（或x→+∞）時，函數(shù)f（x）=■的值如何？”這一問題猶如一塊石頭投入平靜的思維海洋，激起層層思維波瀾，學(xué)生人人動手思考，由函數(shù)f（x）=■分析，當(dāng)x→-∞時，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時，f（x）→0，也就清楚函數(shù)f（x）并非圖1，正確圖形應(yīng)是圖2.由圖2可知不存在實(shí)數(shù)滿足方程f（x）=m有三個不同的實(shí)根.

解題結(jié)束時，教師總結(jié)，對于“研究方程f（x）=c的實(shí)根問題”，若的范圍為非閉區(qū)間時，一般都要對x趨近端點(diǎn)值時對y進(jìn)行逼近，判斷函數(shù)程f（x）在端點(diǎn)處的取值情況，防止出現(xiàn)錯誤.

案例啟示：面對教師設(shè)計的熟知問題，學(xué)生雖然容易入手，但常因思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，如審題不清、畫圖的隨意性等而致誤.通過教師對答案提出疑問，使學(xué)生思維高度集中，他們急于找出問題的癥結(jié)而產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力，理解也更為深刻.學(xué)生經(jīng)歷“犯錯一查因一糾錯”的探究過程，揭示問題的本質(zhì)，加深了學(xué)生對問題的深層次的認(rèn)識和理解，與此同時培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

有智慧的教師應(yīng)懂得舉輕若重.其實(shí)，學(xué)生在一些看似無足輕重的解題環(huán)節(jié)的疏忽，恰恰暴露了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的缺陷和數(shù)學(xué)思維的幼稚.如果只注重分析試題的思路，忽略了其中的算理和對運(yùn)算途徑的優(yōu)化就會影響答題的效率和準(zhǔn)確率.忽略對解題的嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解題中就容易丟三落四.作為教師一定要充分預(yù)見到學(xué)生在解題時，有哪些容易出錯的地方，這些問題是數(shù)學(xué)知識存在的缺陷，還是基本技能不夠嫻熟，防患于未然.例題教學(xué)時，要注意細(xì)節(jié)，要求學(xué)生做到字字有據(jù)，步步有理，行行準(zhǔn)確.正所謂：小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美，細(xì)心贏得先機(jī)，嚴(yán)謹(jǐn)走向成功.