基于空間變論域的自適應(yīng)時(shí)空耦合模糊控制器

謝 鷗 李伯全 郭建慧

(1.蘇州科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

現(xiàn)實(shí)中大量的工業(yè)過程，如石油、化工、煉鋼及軋鋼等，不僅涉及到非線性、不確定性、大時(shí)滯及時(shí)變性等特點(diǎn)，而且還具有較強(qiáng)的空間分布特性，稱之為時(shí)空耦合系統(tǒng)[1]。針對(duì)時(shí)空耦合系統(tǒng)，傳統(tǒng)的集總參數(shù)和分布參數(shù)控制方法都存在一定的局限性。近年來模糊控制因其獨(dú)特的非線性處理能力和魯棒性使其獲得了大量的應(yīng)用。文獻(xiàn)[2，3]提出了一種3-D模糊邏輯控制器，將模糊控制應(yīng)用于空間信息的處理。文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步考慮了空間模糊度的概念，在物理上建立了空間的隸屬度。由于空間分布物理量動(dòng)態(tài)變化，而模糊控制器的隸屬度函數(shù)、控制規(guī)則是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)先總結(jié)確定的，在控制過程中無法進(jìn)行修正，不具有學(xué)習(xí)和適應(yīng)的能力，從而導(dǎo)致系統(tǒng)控制精度低、穩(wěn)態(tài)誤差大。筆者引入變論域理論思想[5]，提出一種空間變論域的自適應(yīng)時(shí)空耦合模糊邏輯控制器設(shè)計(jì)方法。

1 問題描述①

對(duì)于一類空間分布系統(tǒng)，要求控制系統(tǒng)的某一空間分布物理量精確地跟蹤或恒定在某一設(shè)定的空間分布曲線上。時(shí)空模糊集在傳統(tǒng)模糊集的基礎(chǔ)上增加了表達(dá)空間信息的第三維，時(shí)空模糊集表示為：

0≤fz(x),fx(z)≤1

式中fx(z)——空間隸屬函數(shù)；

fz(x)——時(shí)間隸屬函數(shù)。

考慮兩輸入單輸出時(shí)空耦合模糊控制器，輸入采用三角形隸屬度函數(shù)，輸出采用單平面隸屬度函數(shù)。采用線性規(guī)則庫，規(guī)則結(jié)構(gòu)形式如下：

(1)

基于拓展的規(guī)則平面推理法可獲得時(shí)空耦合模糊控制器的解析模型：

其中n為空間傳感器個(gè)數(shù)，σ(zp)=E(zp)+R(zp)，γ-1(zp)=1+2μip(Ep)，A為輸入論域相鄰模糊子集的中心距，B為輸出論域相鄰模糊子集的中心距，u為系統(tǒng)輸出，hu(z)為空間加權(quán)因子。

從時(shí)空耦合模糊控制器的解析模型可知，時(shí)空耦合模糊控制是采用有限的二維模糊集通過空

間加權(quán)來擬合逼近全局空間的非線性控制，這必將導(dǎo)致兩個(gè)問題：第一，在初始狀態(tài)下，為了使遠(yuǎn)離控制目標(biāo)的空間點(diǎn)快速靠近控制目標(biāo)，必將增大控制輸出，從而使本來接近控制目標(biāo)的空間點(diǎn)將出現(xiàn)偏離控制目標(biāo)的大擾動(dòng)；第二，當(dāng)整體空間的控制量接近控制目標(biāo)的時(shí)候，由于控制誤差趨于微小，原有的控制論域分辨率無法判別輸入，使輸出陷入“死區(qū)”，導(dǎo)致出現(xiàn)過大的穩(wěn)態(tài)誤差?；诖?，筆者提出一種隨時(shí)間、空間動(dòng)態(tài)變化論域和空間加權(quán)因子的自適應(yīng)時(shí)空耦合模糊系統(tǒng)，以減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)，提高控制精度。

2 時(shí)空耦合變論域

2.1 空間模糊論域初始化

對(duì)于空間分布系統(tǒng)，空間變量的動(dòng)態(tài)變化導(dǎo)致不同的空間點(diǎn)位置上系統(tǒng)輸入變量的動(dòng)態(tài)變化范圍不同。傳統(tǒng)的固定初始空間論域(圖1)必然無法處理局部的空間差異，只能進(jìn)行全局的粗糙控制，無法實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)空耦合控制。筆者提出的改進(jìn)空間模糊初始化論域如圖2所示。不同空間點(diǎn)的論域大小由該點(diǎn)的系統(tǒng)輸入變化區(qū)間決定。設(shè)f(zp)=xmax(p=1,2,…，n)為系統(tǒng)輸入變量在各空間點(diǎn)上的最大取值，則時(shí)空耦合模糊初始論域?yàn)閇-f(zp),f(zp)]。

圖1 時(shí)空耦合論域

圖2 時(shí)空耦合變論域

2.2 時(shí)空模糊變論域伸縮因子

定義1 ?e∈E，z∈Z?Rn，稱函數(shù)α(z):E(z)→[0,1]，e(z)→α(e,z)為論域E(z)=[-L(z),L(z)]的一個(gè)空間伸縮因子，如果滿足條件：

a. 對(duì)偶性，?e∈E，z∈Z?Rn，α(-e,z)=α(e,z)；

b. 避零性，?z∈Z?Rn，α(0,z)=ε，ε為充分小的正數(shù)；

c. 單調(diào)性，?z∈Z?Rn，α(z)在[0，L(z)]上嚴(yán)格單調(diào)增；

d. 協(xié)調(diào)性，?e∈E,z∈Z?Rn，|e(z)|≤α(e,z)L(z)；

e. 正規(guī)性，?z∈Z?Rn，α(±L(z),z)=1。

初始論域[-L(z),L(z)]經(jīng)過伸縮因子α(e,z)變換為[-α(e,z)L(z),α(e,z)L(z)]。由于時(shí)空耦合系統(tǒng)是隨時(shí)間和空間變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，故“建筑”在論域之上的隸屬度函數(shù)Aij(e(t,z),t,z)、Bij(r(t,z),t,z)、Gij(u(t,z),t,z)是隨時(shí)空動(dòng)態(tài)變化的。這使得控制規(guī)則(1)成為一組動(dòng)態(tài)規(guī)則：

(2)

從而適應(yīng)了系統(tǒng)輸入的變化，等效于動(dòng)態(tài)地對(duì)規(guī)則庫進(jìn)行了調(diào)整，但某一時(shí)刻的規(guī)則總數(shù)卻沒有改變。

2.3 時(shí)空模糊自適應(yīng)空間加權(quán)因子

某空間點(diǎn)的空間加權(quán)因子hu(z)的大小決定了該點(diǎn)處的狀態(tài)對(duì)整體控制的影響，對(duì)于某空間分布系統(tǒng)，如果輸入偏差大的空間點(diǎn)的加權(quán)因子增大將導(dǎo)致整體控制輸出增大；如果輸入偏差小的空間點(diǎn)的加權(quán)因子增大將導(dǎo)致整體控制輸出的減小。

在初始狀態(tài)，由于不同空間點(diǎn)的控制量偏離控制目標(biāo)的程度相差較大，為了避免小偏差空間點(diǎn)出現(xiàn)大的擾動(dòng)，必須加大這些空間點(diǎn)的加權(quán)因子而減小大偏差空間點(diǎn)的加權(quán)因子，使整個(gè)空間分布控制量平穩(wěn)過渡到被控目標(biāo)；當(dāng)所有空間點(diǎn)的控制量都逼近被控目標(biāo)時(shí)，則需加大偏差大空間點(diǎn)的加權(quán)因子而減小偏差小空間點(diǎn)的加權(quán)因子，以便快速地穩(wěn)定到控制目標(biāo)，稱之為“變換主導(dǎo)空間點(diǎn)”。筆者采用分段變空間加權(quán)因子方法，基于輸入偏差實(shí)時(shí)修正空間加權(quán)因子，實(shí)現(xiàn)時(shí)空耦合模糊控制的自適應(yīng)空間加權(quán)，其算法具體如下：

其中Emax(t)表示某個(gè)時(shí)刻所有空間點(diǎn)的最大輸入值；ε、γ、λ為設(shè)計(jì)參數(shù)，它們的值可以根據(jù)不同的控制對(duì)象進(jìn)行設(shè)定，λ和γ為充分小正數(shù)。分段閾值ε不能設(shè)置太小，否則將影響系統(tǒng)的快速性。

3 仿真實(shí)例

考慮化工過程中的一個(gè)催化反應(yīng)器，如圖3所示，反應(yīng)物從A進(jìn)入，從B輸出，整個(gè)催化反應(yīng)在催化棒上進(jìn)行。反應(yīng)為放熱反應(yīng)，而期望的反應(yīng)溫度為0℃，所以該反應(yīng)需要加一個(gè)外部冷卻源以保證催化反應(yīng)的正常進(jìn)行。

圖3 棒式催化反應(yīng)器示意圖

假設(shè)反應(yīng)器不與外界發(fā)生熱交換，則下面的偏微分方程能夠預(yù)測空間溫度T(z,t)(z∈[0,π])的變化趨勢:

βU[b(z)U(t)-T(z,t)]-βTexp(-τ)

邊界條件T(z,t)=0,z=0；T(z,t)=0,z=π；

T(z,t)=T0(z),t=0

其中，βT為無量綱的反應(yīng)熱，βT=16；βU為無量綱的傳熱系數(shù),βU=2；τ=2為無量綱的活化能。當(dāng)無外界控制輸入時(shí)，設(shè)初始狀態(tài)T0(z)=sin(z)，該時(shí)空耦合系統(tǒng)是內(nèi)部不穩(wěn)定系統(tǒng)，如圖4所示。

圖4 無控制輸入溫度曲面

圖5～7分別給出了固定論域固定空間加權(quán)因子與變論域變空間加權(quán)因子時(shí)的系統(tǒng)仿真輸出。結(jié)果表明變論域自適應(yīng)時(shí)空耦合模糊控制能有效抑制擾動(dòng)，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

圖5 空間溫度分布

圖6 穩(wěn)態(tài)誤差

圖7 z=0點(diǎn)擾動(dòng)誤差

4 結(jié)束語

針對(duì)時(shí)空耦合系統(tǒng)控制精度低和擾動(dòng)的問題，在時(shí)空耦合模糊集的基礎(chǔ)上引入變論域思想，提出了一種空間變論域自適應(yīng)時(shí)空耦合模糊控制器的設(shè)計(jì)方法。基于空間輸入信息，在線實(shí)時(shí)調(diào)整時(shí)空耦合模糊集的論域和空間加權(quán)因子，很好地抑制了臨界點(diǎn)擾動(dòng)，減小了穩(wěn)態(tài)誤差。仿真算例也驗(yàn)證了該方法的有效性。