通過“染色問題”，培養(yǎng)中學生化歸思維*

趙 廣 樂，閆 春

(1.包頭市第一中學，內蒙古 包頭 014040；2.大連民族學院 國際商學院，遼寧 大連 116650)

對于大多數的高中學生而言，排列組合部分的染色問題很是繁難！眾所周知，染色問題大多需要分類討論！可是以什么為標準進行分類討論？又要分為多少類？并無統(tǒng)一的解決方式，這也正是染色問題的繁難所在！

事實上，我們完全可以通過遞歸方法，求出一類基礎染色問題的通項公式，然后將其他的染色問題化歸(轉化、歸結)為該染色問題即可！

例1:(扇形結構染色問題)如圖1所示，用m種顏色給n塊扇形染色，要求相鄰不同色，求證：染色方法總數為(m-1)n+(-1)n(m-1)。

圖1

證明：設用m種顏色給n塊扇形染色，相鄰不同色，染色方法總數為an。

由分步計數原理可知染色方法總數(若不考慮第一塊與第n塊是否同色)共有m(m-1)n-1。

第一塊與第n塊可能同色可能異色，若同色，則相當于按題目要求染了n-1塊扇形區(qū)域；若不同色，則按題目要求染了n塊，由分類加法計數原理可知an+an-1=m(m-1)n-1?an=m(m-1)n-1-an-1。

兩邊同時減去(m-1)n

?an-(m-1)n=-[an-1-(m-1)n-1],

令bn=an-(m-1)n，有bn=-bn-1,b2=m-1

?bn=b2(-1)n-2=(-1)n-2(m-1)

=an-(m-1)n

?an=(m-1)n+(-1)n-2(m-1)

=(m-1)n+(-1)n(m-1)

為了方便起見，我們可以簡記為：

an=(色-1)塊+(-1)塊(色-1)塊。

至此，我們求出了排列組合扇形染色問題的一般解，從而避免了分類討論的繁雜！

至于其他類型的染色問題，大多數可以化歸為扇型結構染色問題。

例2:用4種顏色給如圖2的5塊區(qū)域染色，則不同的染色方法有______種？

然后將區(qū)域1挖走，即將題目化歸為了用3種顏色給圖3的4塊區(qū)域染色，由扇型結構染色公式：(色-1)塊+(-1)塊(色-1)

圖2

圖3

可知染色方法共有：

(3-1)4+(-1)4(3-1)=16+2=18

綜上，由分步計數原理可知，染色方法總數為4×18=72種。

例3:一個地區(qū)分為五個行政區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，則同的染色方法有______種？

解析：將地圖進行拓撲變形見圖4，以實現(xiàn)化歸。

即將題目轉化為例2，用4種顏色給5塊區(qū)域染色，則不同的染色方法數為72種。

圖4

例4:用5種顏色給四棱錐的5個頂點染色，要求同一棱的兩端異色，則不同的染色方法有____種？

圖5

由上述幾例可以看出，一般的染色問題要化歸為扇形染色問題，重要的不是顏色的種數，不是區(qū)域的編號，而是區(qū)域的相鄰關系(位置)。換言之，只要相鄰關系相類似，即可通過變形實現(xiàn)彼此化歸。這也正突出了現(xiàn)代數學的本質：研究結構、范疇、模式的科學。

事實上，人類解決任何問題，都是一個化歸的過程。面對一個陌生的問題P，人們總是在腦海(書籍、網絡)中搜索相類似的、簡單的、易于解決的或解決過的問題Q，一旦找到，即可將這個陌生的問題P化歸為較易解決的問題Q。即便不能直接實現(xiàn)化歸，人們也能通過問題Q的解決，來類似地解決問題P。

例5:

(原始命題)

例6:

例7:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

正如匈牙利著名數學家Rozsa.Peter用以下比喻十分生動地說明了化歸思維的實質?！凹僭O在你面前有煤氣灶、水龍頭，水壺和火柴，你想燒些開水，應該怎么去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”現(xiàn)在又有一個問題：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經有了足夠的水，這時你又應該如何去做？”這時，人們往往會回答：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上去?！钡珨祵W家不會這樣去做，數學家只需要倒掉水壺中的水，并聲稱已經把這個問題化歸成了前面已解決的問題了。 “把水倒掉——簡潔而有效的回答?！盧ozsa.Peter同時還指出“化歸思維，正是數學家與其他科學家的最大區(qū)別之所在”。

例8:法國著名數學家、解析幾何之父笛卡爾(Rene.Descartes)曾提出一個“萬能方法”，即將一切問題化歸為數學問題，將一切數學問題化歸為代數問題，將一切代數問題化歸為方程求解問題。雖然用這一方法解決所有問題是不可能的，但笛卡爾

依然用這一思想方法創(chuàng)立的解析幾何。解析幾何的創(chuàng)立是數學發(fā)展史上的豐碑，開創(chuàng)了用代數方法研究幾何問題的新紀元。恩格斯對此曾經作過評價“數學中的轉折點是笛卡爾變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”。

↓ ↓

讓我們再回到染色問題。

例9:用5種顏色給四棱錐的5個面染色，要求有公共棱的兩個面異色，則不同的染色方法有____種？

解析：將四棱錐沿AB,AC,AD,AE展開成平面圖形，見圖6。

圖6

即將題目轉化為例4，用5種顏色給5塊區(qū)域染色，則不同的染色方法數為420種。

例10：用6種顏色給正方體的6個面染色，要求有公共棱的面不同色，則不同的染色方法有____種？

解析：將正方體從頂面A處扒開(扒橘子皮),見圖7。

圖7

若A,F同色，則染色方法數為

若A,F異色，則染色方法數為

綜上，染色方法總數為:1560+2520=4080。

例11：用6種顏色給四面體的6條棱染色，要求有公共頂點不同色，則不同的染色方法有______種？

解析：仔細分析四面體6條棱的相鄰關系，其每條棱與另外5條棱中的4條相鄰，其相鄰關系類似于例10(每個面與其余5個面中的4個面相鄰),見圖8。

即將題目化歸為例10，知其染色方法數為4080。

圖8

通過上述幾例我們可以看到：化歸思想的實質就是通過事物內部的聯(lián)系和矛盾運動，在轉化中實現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化，即將復雜轉化為簡單，將困難轉化為容易，也就是“打不贏就跑，跑到打得贏的地方再打”。

當然，并非所有染色問題都可以化歸為扇型結構染色問題，如下面幾例。

例12:恰用5種顏色給圖9的5塊區(qū)域染色，要求相鄰的區(qū)域不同色，則不同的染色方法有______種？

解析：本例雖然結構可以轉化為扇型結構染色，但題目要求恰用5種顏色染色，而非扇型結構染色問題的可用小于等于5種染色顏色。因此，本例無需轉化為扇型結構染色問題，直接排列即可解決。

圖9

例13:用4種顏色給圖10中A,B,C,D,E,F6個點染色，每條線段的兩個端點不同色，則不同的染色方法總數有______種？

解析：本例的染色結構，無法化歸為扇形結構，故只能分類討論，各個擊破。

圖10

綜上，共計有48+216=264種不同的染色方法。

由上述兩例我們可以看到，化歸方法也并非萬能方法。事實上，萬能方法是不存在的！盡管如此，化歸方法作為人類解決問題最重要的思維模式，應該受到廣大師生的重視！正如日本數學教育家米山國藏所說“學生們在初、高中所學的數學知識因畢業(yè)后幾乎沒有什么機會應用，通常在走出校門后不到一兩年很快就忘記了。然而不論他們從事什么工作，深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學思維方法、研究方法、推理方法和著眼點卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！被瘹w思維就是學生們在將具體數學知識忘記之后，應該銘刻于其頭腦之中，使之受益終生的思維模式。

〔參考文獻〕

[1]趙小云,葉立軍．數學化歸思維論[M] ．北京：科學出版社，2006.

[2]楊世明．轉化與化歸[M] ．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012.

[3]史久一、朱梧槚．化歸與歸納、類比、聯(lián)想[M] ．大連：大連理工大學出版社，2008.

[4]寇玉貴．排列組合中的染色問題[J] ．青海教育，2008,45(4).

[5]翟國華．幾種常見涂色問題的一般解法[J] ．考試．高考數學，2007,31(05,06).