各向異性木材的熱傳導(dǎo)

林 銘, 饒久平, 謝擁群, 楊慶賢, 廖益強

(福建農(nóng)林大學(xué)材料工程學(xué)院，福建 福州 350002)

各向異性木材的熱傳導(dǎo)

林 銘, 饒久平, 謝擁群, 楊慶賢, 廖益強

(福建農(nóng)林大學(xué)材料工程學(xué)院，福建 福州 350002)

在對空間變量進行變換的基礎(chǔ)上，引入木材等效導(dǎo)熱系數(shù)及其與弦向、徑向、順紋3個主導(dǎo)熱系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，簡化了各向異性木材中熱傳導(dǎo)的非穩(wěn)態(tài)偏微分方程;再應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方法求解各向異性木材傳熱過程中溫度場時空分布的解析解.

木材; 各向異性; 熱傳導(dǎo); 溫度場; 解析解

木材是一種典型的天然多孔性材料.多孔性材料一般具有非均勻性和各向異性的物理特征，而這2種物理特征使得木材熱傳導(dǎo)問題的研究復(fù)雜而困難[1-4].木材是一種非晶體的各向異性物質(zhì).各向異性物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)一般包含9個分量，是一個二階張量.因此，不能簡單地應(yīng)用傅里葉(Fourier)熱傳導(dǎo)定律來描述木材中的熱流密度.木材熱傳導(dǎo)偏微分方程中出現(xiàn)空間變量的交叉導(dǎo)數(shù)使得分析各向異性木材中的熱傳導(dǎo)變得極其復(fù)雜.目前這方面的研究主要有應(yīng)用有限元法計算木材中溫度場的數(shù)值解[5-7]，以及給出溫度場的一個形式解[8-10].

在木材的干燥、防腐、改性等各種熱處理加工及各種實際應(yīng)用中，若能給出各向異性木材熱傳導(dǎo)的溫度場分布及其隨時間變化的解析函數(shù)，則可準(zhǔn)確計算木材內(nèi)部各點的溫度梯度及其隨時間的變化，有助于定量分析木材受熱時內(nèi)部各點的熱應(yīng)力、應(yīng)變情況.有關(guān)各向異性木材中熱傳導(dǎo)的非穩(wěn)態(tài)偏微分方程解析解的研究尚未見報道.本文應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方法求解各向異性木材中熱傳導(dǎo)的非穩(wěn)態(tài)偏微分方程的解析解.

1 各向異性木材中的熱流密度

(1)

(2)

(3)

但是，在諸如木材這樣的各向異性介質(zhì)中，導(dǎo)熱系數(shù)不是一個恒量，而是一個二階張量

(4)

即導(dǎo)熱系數(shù)包含9個分量λij,i,j=1,2,3.于是熱流密度在直角坐標(biāo)系中沿3個坐標(biāo)軸的分量是沿3個坐標(biāo)軸方向的溫度梯度的線性組合，即

(5)

根據(jù)不可逆過程熱力學(xué)的昂賽格(Onsager)原理，式(5)中的唯象系數(shù)服從互易關(guān)系，即

λij=λjii,j=1,2,3

(6)

而且系數(shù)λij(i≠j)存在下列關(guān)系

(7)

2 各向異性木材中熱傳導(dǎo)的偏微分方程

根據(jù)能量守恒定律，在單位時間內(nèi)通過木材中任一閉合曲面S流進的凈熱量等于該閉合曲面S所圍的體積V內(nèi)能量的增量，即

(8)

式中負(fù)號表示取曲面的外法線方向為正，ρ和c分別為木材的密度和比熱.

按照高斯定理，對于空間的任意區(qū)域V(S為區(qū)域V的界面)有

(9)

(10)

把式(5)代入式(10)，整理后得

(11)

根據(jù)昂賽格互易關(guān)系，式(11)中的系數(shù)存在如下關(guān)系：

λ12=λ21λ13=λ31λ23=λ32

(12)

由于各向異性木材的非穩(wěn)態(tài)偏微分方程(式(11))中包含有空間變量的交叉導(dǎo)數(shù)，使得求解該微分方程變得十分復(fù)雜.利用木材的各向異性所具有的正交性，可簡化該微分方程.取木材3個相互垂直的徑向、弦向和順紋方向作為主軸，相應(yīng)的主導(dǎo)熱系數(shù)分別記作λr、λt、λa.以這3個主軸建立正交坐標(biāo)系，則可把式(11)簡化為

(13)

作空間變量變換，令

(14)

式中λeqv稱為等效導(dǎo)熱系數(shù).

把式(14)代入式(13)，則

(15)

根據(jù)式(14)，原空間的體積元dxdydz可變換成

(16)

為了使式(16)中與空間有關(guān)的物理量在空間變換前后具有相同的空間意義，須令

(17)

根據(jù)式(17)，可得等效導(dǎo)熱系數(shù)與木材3個主導(dǎo)熱系數(shù)間的關(guān)系

λeqv=(λrλtλa)1/3

(18)

3 各向異性木材中溫度場時空分布函數(shù)

設(shè)熱處理的木材長度L遠大于其半徑R，初始(時間t=0)溫度為T0，熱處理溫度為T1.考慮到熱處理木材的界面是圓柱面，坐標(biāo)系的選擇應(yīng)以木材中心軸為z軸，建立柱坐標(biāo)系(r, ?,z).

在柱坐標(biāo)系中，偏微分方程(式(15))表示為

(19)

由于木材內(nèi)部的溫度場是對z軸對稱分布的，因此溫度T與變量?和z無關(guān)，僅是r和t的函數(shù).這時式(19)可簡化為

(20)

式(20)的邊界條件和初始條件分別為

(21)

(22)

對非齊次的邊界條件式(21)進行齊次化處理，令

T(r,t)=A(r,t)+T1

(23)

把式(23)分別代入式(20)-(22)，得到微分方程的定解：

(24)

設(shè)變量A可分離成以下形式

A(r,t)=B(r)H(t)

(25)

把式(25)代入式(24)中的第1式，得到關(guān)于B(r)和H(t)的2個常微分方程

(26)

(27)

式中k2是分離變量常數(shù).

方程(26)是零階貝塞爾(Bessel)方程，在r=0處的有界解是

B(r)=J0(kr)

(28)

要使這個解滿足式(24)中的第2式，則

B(R)=J0(kR)=0

(29)

則kR必須等于零階貝塞爾函數(shù)J0的零點μn，n=1,2,….其本征值

kn=μn/R

(30)

相應(yīng)的本征函數(shù)為

Bn(r)=J0(μnr/R)

(31)

式中0<μ1<μ2<….

把式(30)代入式(27)，易得該含t常微分方程的解為

(32)

把式(31)、(32)同時代入式(25)，得到A(r,t)解的一般形式

(33)

將式(33)代入式(24)中的第3式，得

(34)

把式(34)右邊的T0-T1在[0,r]區(qū)間上展開為傅里葉-貝塞爾(零階)級數(shù)，即

(35)

(36)

通過比較式(34)和式(35)，可得Cn=Cm，對式(36)中分子進行積分，對其分母進行微分后，得

(37)

由式(23)、(33)和(37)得到各向異性木材中溫度場時空分布函數(shù)T(r,t).

(38)

式中J0和J1分別是零階和一階貝塞爾函數(shù)，μn是零階貝塞爾函數(shù)的第n個根，其數(shù)值均可以從相關(guān)數(shù)學(xué)手冊中查到.當(dāng)木材的徑向?qū)嵯禂?shù)λr、弦向?qū)嵯禂?shù)λt、順紋導(dǎo)熱系數(shù)λa以及木材的橫截面半徑R、初始溫度T0、干燥室溫度T1為已知時，可以從式(38)和式(18)求出木材干燥過程任一時刻t、木材中任一點r的溫度.

4 小結(jié)

(1)各向同性介質(zhì)中，熱流密度矢量方向與溫度梯度方向一致，垂直于等溫面.而諸如木材等各向異性介質(zhì)中，熱流密度矢量方向不一定垂直于通過考察點的等溫面.

(2)各向異性木材中的熱傳導(dǎo)問題遠比各向同性材料復(fù)雜.本文在對空間進行變換的基礎(chǔ)上，引入等效導(dǎo)熱系數(shù)，簡化了木材中熱傳導(dǎo)偏微分方程.

(3)當(dāng)木材熱處理溫度T1、木材初溫T0以及木材半徑R一經(jīng)確定，便可通過式(38)計算出熱處理過程中木材內(nèi)部任一點的溫度值及其隨時間的變化趨勢.

[1] 林銘,饒久平,謝擁群,等.木材徑向?qū)叵禂?shù)數(shù)學(xué)模型[J].福建農(nóng)林大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,41(3):320-322.

[2] 楊慶賢.木材干燥過程中熱質(zhì)遷移交互作用的研究[J].福建林學(xué)院學(xué)報,1999,19(2):101-104.

[3] 楊慶賢,楊武,潘玉英,等.不可逆熱力學(xué)研究木材干燥規(guī)律[J].山東科技大學(xué)學(xué)報,2003,22(2):105-106.

[4] 謝擁群,陳瑞英,楊慶賢，等.木材干燥過程的熱質(zhì)遷移及其耦合關(guān)系[J].林業(yè)科學(xué),2004,40(1):148-153.

[5] 蔡力平,劉一星,尙德庫.用有限元法分析木材中的溫度分布[J].林業(yè)科學(xué),1992,28(1):90-93.

[6] 鄭世強,曹軍.基于有限元理論木材溫度場的數(shù)值仿真[J].森林工程,2007,23(1):11-14.

[7] 李文深,戴澄月,高瑞堂,等.木材熱傳導(dǎo)問題的研究[J].東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報,1987,15(4):56-65.

[8] 高瑞堂,劉一星,李文深,等.木材熱學(xué)性質(zhì)與溫度關(guān)系的研究[J] 東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報,1985,13(4):22-26.

[9] [美]杰姆斯.傳熱學(xué)(上冊)[M].俞佑平，譯.北京:人民教育出版社,1980:44.

[10] [德]卡姆克.常微分方程[M].張鴻林，譯.北京:科學(xué)出版社,1977:475.

(責(zé)任編輯:葉濟蓉)

Heat transfer in anisotropic wood

LIN Ming, RAO Jiu-ping, XIE Yong-qun, YANG Qing-xian, LIAO Yi-qiang

(College of Material Engineering, Fujian Agriculture and Forestry University, Fuzhou, Fujian 350002, China)

The time-dependent partial differential equation of the heat transfer in anisotropic wood was simplified when a equivalent thermal conductivity of wood was introduced and the quantity relation between equivalent thermal conductivity and three principal conductivity of anisotropic wood was set up on the basis of space variable transformations. The analytic function of the temperature field from heat transfer in anisotropic wood was solved by means of the methods of mathematical physics.

wood; anisotropy; heat conduction; temperature field; analytic solution

2013-12-02

2014-05-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(30271057).

林銘(1963-)，男，副教授，博士研究生.研究方向：木材科學(xué)與技術(shù).通訊作者謝擁群(1960-)，男，教授，博士生導(dǎo)師.研究方向：植物纖維緩沖材料的性能.Email:fjxieyq@hotmail.com.

S781.37

A

1671-5470(2014)06-0657-04