新型離散自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)算法在步進(jìn)梁控制中的應(yīng)用

魯照權(quán) 周 俊

(合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，合肥 230009)

步進(jìn)梁輸料過程中，由于移動(dòng)梁本身加上所運(yùn)的鋼坯有數(shù)百噸之重，使得移動(dòng)梁的周期性步進(jìn)運(yùn)動(dòng)具有大慣性特點(diǎn)；由于流量、壓力變化及泄漏等因素，使得液壓傳動(dòng)機(jī)構(gòu)具有非線性特性。因此步進(jìn)梁被控對(duì)象具有大慣性、非線性及變結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。針對(duì)非線性被控對(duì)象，被提起最多的是變結(jié)構(gòu)控制，從本質(zhì)上說，變結(jié)構(gòu)控制是一種非線性系統(tǒng)反饋控制，在系統(tǒng)面對(duì)外界的擾動(dòng)(包括自身的參數(shù)攝動(dòng))時(shí)能很好地通過自身的非線性自適應(yīng)函數(shù)調(diào)整控制律使得系統(tǒng)具有不變性。目前討論較多的是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，并且已有了很多變結(jié)構(gòu)方面的理論成果，但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，特別是DSP技術(shù)的成熟，對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制的要求越來越高[1]。通過將連續(xù)的趨近律離散化就產(chǎn)生了各種離散趨近律控制策略，最初提出的指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)離散變結(jié)構(gòu)控制，使系統(tǒng)表現(xiàn)出一定的魯棒性，但缺點(diǎn)是系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動(dòng)模態(tài)面時(shí)易產(chǎn)生抖振且不能收斂于原點(diǎn)[2]。之后很多學(xué)者在此基礎(chǔ)之上提出了一些改進(jìn)的趨近律，主要思路是在指數(shù)趨近律中引入非線性函數(shù)來解決兩個(gè)問題：系統(tǒng)的狀態(tài)如何從任意的初始位置快速地逼近滑動(dòng)模態(tài)面；系統(tǒng)狀態(tài)如何能夠以弱小的抖動(dòng)最終收斂于原點(diǎn)。恒速趨近律解決不了這兩個(gè)問題之間的矛盾，在滿足快速性逼近的同時(shí)無法保證抖動(dòng)弱小，因此后續(xù)的變速趨近律分別針對(duì)兩種不同階段采取不同的趨近律進(jìn)行切換，然而由于切換條件難以確定，再加上切換可能導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生不可預(yù)知的抖動(dòng)，后續(xù)又有人引入了一種實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可導(dǎo)有界的雙曲正切函數(shù)，較好地解決了上述切換過程中平滑過渡的問題，同時(shí)在趨近律中結(jié)合了擾動(dòng)上限的補(bǔ)償[3]，但是在進(jìn)入準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)之后未能針對(duì)抖動(dòng)的振幅進(jìn)行有效的限定，導(dǎo)致在系統(tǒng)受到抖動(dòng)較大的擾動(dòng)時(shí)，無法起到較好的消抖作用。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于自適應(yīng)切換增益的變結(jié)構(gòu)離散控制，能夠根據(jù)不確定擾動(dòng)項(xiàng)的大小來自適應(yīng)調(diào)整切換增益，但是趨近律的設(shè)計(jì)中卻并沒有充分考慮到平滑過渡問題。筆者正是結(jié)合了上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種趨近律既能快速地從任意初始狀態(tài)趨向于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)面并收斂于原點(diǎn)，又能根據(jù)擾動(dòng)不確定項(xiàng)上確界來自適應(yīng)調(diào)整增益達(dá)到變結(jié)構(gòu)控制中消抖的目的。①

1 電液伺服系統(tǒng)的組成

電液比例伺服控制系統(tǒng)的組成如圖1所示，系統(tǒng)主要包括控制器、伺服放大器、伺服閥和液壓缸。本項(xiàng)目背景是基于山東臨沂軋鋼廠的加熱爐步進(jìn)梁運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，以PLC為控制核心，通過332模塊完成數(shù)模轉(zhuǎn)換和信號(hào)放大，并輸出控制電壓，現(xiàn)場(chǎng)的開環(huán)控制優(yōu)點(diǎn)在于步進(jìn)梁在輸送500t以上的鋼坯負(fù)載時(shí)無振蕩，但是低精度的位移和機(jī)械延遲使得系統(tǒng)在每一個(gè)步進(jìn)周期中都要進(jìn)行頻繁的步距調(diào)整，無法保證出料端的鋼坯能夠無偏差地放于出料輥端[5]。改進(jìn)的基于電液比例伺服控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)采用RHM-MD70S1G3100型磁致伸縮位移傳感器來提供同步實(shí)時(shí)的活塞絕對(duì)位移輸出。通過SSI接口完成與控制器的數(shù)據(jù)通信，為閉環(huán)控制提供反饋通道。

圖1 電液伺服控制系統(tǒng)組成框圖

2 電液伺服系統(tǒng)的離散線性數(shù)學(xué)模型

考慮到伺服放大器和伺服閥的動(dòng)態(tài)遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的負(fù)載響應(yīng)，將伺服放大器和伺服閥等效成比例環(huán)節(jié)，設(shè)兩者的增益依次為Kv、Ksv。圖2為電液伺服控制系統(tǒng)原理示意圖，采用零開口的四邊滑閥，4個(gè)節(jié)流窗口是匹配和對(duì)稱的，因?yàn)榛钊杏袟U腔與無桿腔的面積大小不同，因此在活塞外伸與內(nèi)縮時(shí)系統(tǒng)的模型是有差異的。限于篇幅，筆者只討論活塞外伸的情況。

圖2 四邊滑閥控制下的非對(duì)稱液壓缸模型示意圖Ap——液壓缸活塞有效面積； Bp——活塞以及負(fù)載的粘性阻尼系數(shù)； Cep——液壓缸外泄漏系數(shù)； Cip——液壓缸總泄漏系數(shù)； FL——作用在活塞上的任意外負(fù)載力； K——負(fù)載彈簧剛度； mt——活塞和負(fù)載以及整個(gè)活塞上連接一起的附件總質(zhì)量；p1、p2——無桿腔、有桿腔油液壓力； pL——控制缸兩腔壓力差值絕對(duì)值；q1、q2——液壓缸進(jìn)油、回油流量;V1、V2——無桿腔、有桿腔體積； xv——液壓缸位移。

采用恒壓變量柱塞泵為系統(tǒng)提供油源壓力，故在此假定油源壓力ps恒定，回油壓力p0為零，為了忽略管道中的壓力損失和管道動(dòng)態(tài)，假定閥與液壓缸的連接管道對(duì)稱且短而粗，并且假定液壓缸每個(gè)工作腔內(nèi)各處壓力相等，油溫和體積彈性模量為常數(shù)，介質(zhì)油液是不可以壓縮的，液壓缸內(nèi)、外泄漏均為層流流動(dòng)，閥的各節(jié)流口流量系數(shù)相等[6]。

基于以上假設(shè)，電液伺服閥的線性化流量方程為：

qL=Kqxv-KcpL

(1)

式中Kc——流量-壓力系數(shù)；

Kq——流量增益；

qL——系統(tǒng)負(fù)載流量。

利用液壓缸的流量連續(xù)方程可以求得：

(2)

式中xp——活塞位移；

Vt——總壓縮容積；

βe——有效體積彈性模量。

液壓缸和負(fù)載的力平衡方程為：

(3)

將式(1)～(3)化解合并并進(jìn)行拉氏變換，可得：

(4)

最終可求得：

Xp=

(5)

y=xpsinθ

(6)

y=cx

(7)

式(7)的通解為：

(8)

設(shè)控制力零階保持，即：

u(t)=u(kT),kT≤t≤(k+1)T

(9)

其中T為采樣周期，取t0=kT，可知u(τ)在上述區(qū)間恒為常數(shù)u(kT)，得：

y(k)=cx(k)

(10)

3 離散趨近律的設(shè)計(jì)

對(duì)于式(10)表示的離散非線性系統(tǒng)取切換函數(shù)為：

s(k)=Cx(k)

(11)

其中x(k)∈R3×1，令s(k)=Cx(k)=0。由式(11)得到系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)面，對(duì)于變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的內(nèi)容，按照不同的運(yùn)動(dòng)階段分為兩個(gè)部分：設(shè)計(jì)離散趨近律使得系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)都可以快速趨近滑動(dòng)模態(tài)面；確定C的值，使得系統(tǒng)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)面之后能夠保持良好的動(dòng)態(tài)性能。對(duì)于離散趨近律的設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[3]通過引入tansigx函數(shù)，巧妙地解決了變速趨近律在遠(yuǎn)近切換中帶來的不穩(wěn)定抖動(dòng)問題，趨近律如下：

s(k+1)=(1-qT)s(k)-εTtansig(‖x‖)sgn(s(k))

(12)

其中ε、T、q分別為到達(dá)速度、采樣周期和趨近速度參數(shù)。

當(dāng)‖x‖→+∞時(shí)有：

(13)

式(12)變?yōu)椋?/p>

s(k+1)=(1-qT)s(k)-εTsgn(s(k))

(14)

即典型的指數(shù)趨近律(Exponential Reaching Law)。當(dāng)‖x‖→0時(shí)，依據(jù)洛必達(dá)法則有：

(15)

(16)

即典型的變速趨近律。當(dāng)系統(tǒng)從距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的初始狀態(tài)開始運(yùn)動(dòng)至滑動(dòng)模態(tài)面的過程中，函數(shù)的連續(xù)可導(dǎo)性質(zhì)使得指數(shù)與變速趨近律的切換過程平穩(wěn)，而且最終在原點(diǎn)收斂。缺點(diǎn)是該方法并沒有充分考慮到在滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中抖動(dòng)幅度的控制問題，文獻(xiàn)[4]則從這一角度提出了一種自適應(yīng)增益切換趨近律：

s(k+1)=μs(k)-ηsgn(s(k))

(17)

并給出了在這一趨近律條件下的抖振幅值：

(18)

(19)

η(k)=[1+λsgn(s(k))sgn(s(k-1))]η(k-1)

η(0)≥0

其中Dm為擾動(dòng)的上確界。

該方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)所處的運(yùn)動(dòng)階段來自適應(yīng)地遞推調(diào)整趨近律增益，并且系統(tǒng)的抖振幅值得到了良好的控制。然而單一的趨近律僅僅通過簡(jiǎn)單的增益遞推調(diào)節(jié)難以應(yīng)對(duì)對(duì)抗抖動(dòng)要求較高的場(chǎng)合，通過表達(dá)式sgn(s(k))·sgn(s(k-1))來判斷系統(tǒng)的狀態(tài)所處的運(yùn)動(dòng)階段是一種很經(jīng)典的方法，然而當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)處于原點(diǎn)附近并且有著高頻快速的抖動(dòng)時(shí)，該方法就不一定能夠?qū)ο到y(tǒng)的狀態(tài)產(chǎn)生準(zhǔn)確的判斷，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的增益調(diào)節(jié)，無法快速削弱抖動(dòng)。

通過對(duì)上述兩種方法進(jìn)行比較，筆者提出一種結(jié)合二者優(yōu)點(diǎn)的新趨近律，具體為：

s(k+1)=μs(k)-tansig(α‖x‖)sgn(s(k))

(20)

將式(20)代入式(10)中，忽略不確定擾動(dòng)項(xiàng)得到控制律如下：

(21)

此時(shí)的實(shí)際趨近律為：

s(k+1)=μs(k)-tansig(α‖x‖)sgn(s(k))+D(k)

(22)

由嚴(yán)格的不等式達(dá)到條件|s(k+1)|<|s(k)|可得系統(tǒng)的收斂條件：

(23)

(24)

到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)面之后有s(k+1)=-s(k)。綜上，系統(tǒng)從任意的初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到達(dá)準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)面區(qū)之后將產(chǎn)生抖振，且振幅為：

(25)

由式(25)可知，振幅與tansig(α‖x‖)和不確定擾動(dòng)項(xiàng)D(k)的大小有關(guān)，和式(17)不同的是，此處是通過調(diào)節(jié)函數(shù)中的參數(shù)因子α的值來使得tansig(α‖x‖)逼近擾動(dòng)項(xiàng)D(k)的值以達(dá)到削弱振幅的目的，考慮到準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)面區(qū)是在s(k)=0上下鄰近區(qū)域，因此將tansig(α‖x‖)在‖x(k)‖=0處進(jìn)行泰勒展開：

(26)

α≤2Dm/‖x‖

(27)

其中D(k)≤Dm，針對(duì)式(19)中所述的自適應(yīng)律的不足，進(jìn)行如下改進(jìn)：

(28)

在上述自適應(yīng)律的調(diào)節(jié)下參數(shù)α數(shù)值變大，s(k)從初始狀態(tài)以大步距接近準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)面，由s(k+1)=-s(k)可知進(jìn)入準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的狀態(tài)s(k)一直處于穿越原點(diǎn)的抖振狀態(tài)中，從穩(wěn)、準(zhǔn)、快的角度來看，控制的關(guān)鍵是縮短抖振的時(shí)間、控制幅值達(dá)到原點(diǎn)的精度和有效地控制抖振的振幅，雙曲正切函數(shù)的特性保證了收斂的速度和抖振幅值的衰減控制，而α在自適應(yīng)律的調(diào)節(jié)下數(shù)值減小，保證了收斂于原點(diǎn)的精度[9,10]。

4 系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性

定理1 采用式(28)所示的自適應(yīng)切換增益，在式(21)變結(jié)構(gòu)控制律的作用下，具有擾動(dòng)上確界的離散系統(tǒng)式(10)具有魯棒穩(wěn)定性。

5 系統(tǒng)的MATLAB仿真

系統(tǒng)式(6)中各參數(shù)的取值：Kq=3.17m2/s，Kc=1.38×10-12m5/(N·s)，Ap=0.0616m2，Cip=4×10-12m5/(N·s)，Vt=1.96×10-2m3，βe=1×109Pa，Kce=Kc+Ctp=5.38×10-12m2/s，mt=1×105kg，步進(jìn)梁所輸送的鋼坯屬于慣性負(fù)載，故令K=0N/m，且忽略系統(tǒng)的粘滯阻力，則有Bp=0N·s/m。令采樣時(shí)間T=0.001s，將以上參數(shù)代入式(10)中，可得：

圖3 3種趨近律控制下的活塞位移輸出

圖4 3種趨近律控制下的活塞速度輸出

圖5 3種趨近律控制下的系統(tǒng)相平面輸出

由圖3可知在指數(shù)趨近律控制下的系統(tǒng)魯棒性較差，無法在大慣性負(fù)載擾動(dòng)下保持良好的位移跟蹤，最高處誤差可達(dá)7dm，無法滿足正常的工業(yè)生產(chǎn)要求，雖然采用式(17)中的增益自適應(yīng)控制下系統(tǒng)的跟蹤誤差有所減小，但是在6s處由于擾動(dòng)的階躍變化產(chǎn)生的脈沖干擾信號(hào)對(duì)其輸出波形產(chǎn)生了一定的振蕩，在實(shí)際輸送鋼坯的過程中會(huì)嚴(yán)重磨損鋼坯和步進(jìn)梁的接觸面，縮短步進(jìn)梁的使用壽命。圖4在指數(shù)趨近律和增益自適應(yīng)趨近律控制下的輸出表明兩者的速度在干擾作用下都產(chǎn)生了局部振蕩，在步進(jìn)梁上升至等高線和在速度的峰值處尤為明顯，最高振幅分別達(dá)到6dm/s和2dm/s，而新的自適應(yīng)趨近律只有0.5dm/s。圖5表明在正弦信號(hào)的輸入作用下，三者最終都處于以原點(diǎn)為奇點(diǎn)的無阻尼運(yùn)動(dòng)中。圖3、4中指數(shù)趨近律由于常值切換在第一周期產(chǎn)生明顯振蕩。

6 結(jié)束語

仿真結(jié)果表明筆者提出的新的離散自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制策略較好地解決了魯棒性與消抖之間的矛盾。系統(tǒng)趨近運(yùn)動(dòng)通過α的正向遞推保證了變結(jié)構(gòu)控制中的大增益切換，使系統(tǒng)獲得強(qiáng)魯棒性，在滑動(dòng)模態(tài)階段，通過α的負(fù)向遞推，削弱了滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的振幅，達(dá)到了消抖的目的，結(jié)合tansig(α‖x‖)函數(shù)的連續(xù)切換效果，綜合改善了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)與動(dòng)態(tài)性能，該算法簡(jiǎn)單、有效且易實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。