線性回歸方法在核數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

呂健雄，李 鑫，程道文

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

線性回歸方法在核數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

呂健雄1，李 鑫1，程道文2

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

在核數(shù)據(jù)處理中，為減少統(tǒng)計(jì)漲落引起的誤差，在函數(shù)關(guān)系已知的條件下用線性回歸方法計(jì)算，在函數(shù)關(guān)系未知的條件下用線性回歸方法尋找待測(cè)量的計(jì)算公式.以中子感生瞬發(fā)γ射線分析方法測(cè)量水泥生料元素含量為例，線性回歸方法可以準(zhǔn)確地確定熱中子通量以及Si，Al，F(xiàn)e和Ca含量.計(jì)算結(jié)果顯示，計(jì)算出來(lái)的熱中子通量的平均偏差為0.31%，4種元素的測(cè)量精度都達(dá)到GB/T 176-2008(水泥化學(xué)分析方法)的要求.

核數(shù)據(jù)處理；線性回歸方法；統(tǒng)計(jì)漲落；中子感生瞬發(fā)γ射線分析方法

在放射性測(cè)量中，即使所有實(shí)驗(yàn)條件都穩(wěn)定，在相同時(shí)間內(nèi)對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行多次測(cè)量，每次測(cè)得的γ計(jì)數(shù)并不相同，而是圍繞某個(gè)平均值上下波動(dòng).此現(xiàn)象被稱(chēng)為放射性γ計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)漲落，是放射性原子核衰變的隨機(jī)性引起的.另一方面，原子核衰變發(fā)出的粒子被探測(cè)器接收的γ計(jì)數(shù)也存在統(tǒng)計(jì)漲落.所以核數(shù)據(jù)處理不是簡(jiǎn)單的解方程，在很多問(wèn)題中需要用線性回歸方法以減少統(tǒng)計(jì)漲落引起的誤差.

中子感生瞬發(fā)γ射線分析(NIPGA)技術(shù)已經(jīng)發(fā)展為一項(xiàng)成熟的元素分析技術(shù)，并相繼用于水泥、煤炭、石油等行業(yè)以及毒品、爆炸物的檢測(cè)[1-5].由于中子與待測(cè)樣品的多種原子核發(fā)生彈性散射、非彈性散射、熱中子俘獲、放出帶電粒子等核反應(yīng)，在處理這些核數(shù)據(jù)時(shí)很難用理論推導(dǎo)出樣品內(nèi)快中子通量、熱中子通量、元素含量等計(jì)算公式.為了尋找這些計(jì)算公式，本文以NIPGA技術(shù)測(cè)量水泥生料元素含量為例，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)模擬了30個(gè)水泥生料樣品，然后用多元線性回歸找出熱中子通量計(jì)算公式以及Si，Al，F(xiàn)e和Ca 4種元素含量的計(jì)算公式.

1 線性回歸的原理

(1)

2 利用線性回歸方法計(jì)算相關(guān)系數(shù)

衰變常數(shù)測(cè)量、放射性活度測(cè)量等都可以看做函數(shù)關(guān)系已知求相關(guān)系數(shù)的問(wèn)題.以衰變常數(shù)測(cè)量為例，放射衰變遵循下列定律[7]

Nt=N0e-λt.

(2)

(2)式中λ是衰變常數(shù)，N0是0時(shí)刻的原子核數(shù).Nt是經(jīng)過(guò)時(shí)間t后還存留的原子核數(shù)，雖然無(wú)法直接測(cè)量，但可以利用衰變產(chǎn)生的粒子數(shù)對(duì)其估算.如果實(shí)驗(yàn)條件確定，Nt與衰變產(chǎn)生的粒子(如α，β，γ)數(shù)成正比，即

Nt=knt.

(3)

(3)式中k是常數(shù)，nt是t時(shí)刻測(cè)得的衰變產(chǎn)生的粒子數(shù).把(3)式帶入(2)式并取自然對(duì)數(shù)得

lnnt=-λt+b.

(4)

(4)式中b=lnN0-lnk，測(cè)量幾組nt和t，就可以線性回歸出衰變常數(shù).

3 利用線性回歸方法確定函數(shù)表達(dá)式

在核技術(shù)應(yīng)用中用線性回歸尋找函數(shù)表達(dá)式的例子非常多，本文以NIPGA技術(shù)測(cè)量水泥生料元素含量為例.在測(cè)量時(shí)，中子與水泥生料樣品內(nèi)的原子核發(fā)生熱中子俘獲反應(yīng)，并釋放出特征γ射線.當(dāng)實(shí)驗(yàn)設(shè)備和待測(cè)元素確定后，基本計(jì)算公式為[8-9]

G=k(N/φ)+b.

(5)

(5)式中：N和G分別是待測(cè)元素的含量以及該元素的特征γ射線計(jì)數(shù)；k和b是待測(cè)常數(shù)；φ是樣品所在區(qū)域的熱中子通量，中子源產(chǎn)額一定時(shí)，φ與樣品內(nèi)的元素含量有關(guān).D-D中子發(fā)生器釋放的中子能量為2.5 MeV，在樣品內(nèi)經(jīng)過(guò)多次碰撞才能慢化為熱中子，很難用理論推導(dǎo)出φ的計(jì)算公式.Si，Al，F(xiàn)e，Ca和O是水泥生料的主要元素，質(zhì)量分?jǐn)?shù)之和超過(guò)93%.所以在中子產(chǎn)額一定時(shí)，可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為φ是這5種元素含量的函數(shù)，以計(jì)算Si為例，(5)式變?yōu)?/p>

GSi=k(N/φ(wSi，wAl，wFe，wCa，wO))+b.

(6)

3.1 熱中子通量的確定

在水泥生料中，O以Si，Al，F(xiàn)e和Ca的氧化物形式存在，所以氧含量是這4種元素含量的函數(shù)，不是一個(gè)獨(dú)立的變量，因而φ的計(jì)算公式可以寫(xiě)為

φ=f1wSi+f2wAl+f3wFe+f4wCa+b.

(7)

利用Maclaurin級(jí)數(shù)，可以把(7)式寫(xiě)為

(8)

為尋找熱中子通量的計(jì)算公式，根據(jù)德惠鑫雨水泥廠提供的數(shù)據(jù)，本文設(shè)計(jì)了30組水泥生料樣品.在MCNP模擬中用計(jì)數(shù)卡F4計(jì)算水泥生料樣品所在區(qū)域的熱中子通量.表1是D-D中子發(fā)生器產(chǎn)額為107個(gè)/s中子，測(cè)量時(shí)間為100 s的模擬計(jì)算結(jié)果.其中Si，Al，F(xiàn)e和Ca 4種元素的特征γ能量依次為4.934，3.466，7.631和6.420 MeV.

表1 水泥生料樣品的元素含量及特征γ計(jì)數(shù)

表1中的wSi，wAl，wFe和wCa分別表示樣品中Si，Al，F(xiàn)e和Ca 4種元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，NSi，NAl，NFe和NCa分別表示4種元素的特征γ射線計(jì)數(shù)，φ表示樣品所在區(qū)域的熱中子通量.

當(dāng)n取1時(shí)，利用多元線性回歸得到熱中子通量的計(jì)算公式

φ1=-135.867×wSi-121.494×wAl-99.840×wFe-118.515×wCa+8 755.943.

(9)

利用表1中的數(shù)據(jù)以及(9)式得到樣品所在區(qū)域熱中子通量的計(jì)算值(用φ1表示)，與φ相對(duì)偏差的絕對(duì)值D1(見(jiàn)表1)為

(10)

由表1可以看出，D1的平均值只有0.35%，所以可以認(rèn)為(9)式所描述的熱中子通量與水泥生料元素含量間的關(guān)系是比較準(zhǔn)確的，n的取值不需要再增加.

(9)式雖然能夠計(jì)算出水泥生料樣品所在區(qū)域的熱中子通量，但是需要知道Si，Al，F(xiàn)e和Ca的含量，因而無(wú)實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.由于特征γ計(jì)數(shù)與元素含量是對(duì)應(yīng)的，可以用γ射線計(jì)數(shù)代替元素含量.利用多元線性回歸以及表1中的NSi，NAl，NFe，NCa和φ得到熱中子通量的計(jì)算公式

φ2=0.342 82×NSi+1.829 7×NAl+0.040 685×NFe+0.187 31×NFe-1 686.7.

(11)

利用(11)式和表1中的數(shù)據(jù)可以得出水泥生料樣品所在區(qū)域熱中子通量的計(jì)算值(用φ2表示)，與φ相對(duì)偏差的絕對(duì)值見(jiàn)表1中的D2.由表1可以看出，D2的平均值只有0.31%，所以(11)式所描述的熱中子通量計(jì)算公式不僅準(zhǔn)確，還有較高的應(yīng)用價(jià)值.

3.2 元素含量計(jì)算公式的確定

在(5)式中，用(11)式的計(jì)算結(jié)果(φ2)代替φ，并把N/φ當(dāng)做一個(gè)變量，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，利用線性回歸可以得到每種元素的計(jì)算公式：

GSi=9.396 5×(NSi/(0.342 82NSi+1.829 7NAl+
0.0406 85NFe+0.187 31NCa-1 686.7))+0.050 072.

(12)

GAl=56.337×(NAl/(0.342 82NSi+1.829 7NAl+
0.040 685NFe+0.187 31NCa-1 686.7))+0.020 628.

(13)

GFe=1.448 5×(NFe/(0.342 82NSi+1.829 7NAl+
0.040 685NFe+0.187 31NCa-1 686.7))-0.012 636.

(14)

GCa=5.721 4×(NCa/(0.342 82NSi+1.829 7NAl+
0.040 685NFe+0.187 31NCa-1 686.7))+1.151 6.

(15)

圖1 計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)偏差

利用(12)—(15)式分別計(jì)算4種元素的含量，與實(shí)際值之間的絕對(duì)偏差(即計(jì)算值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值)如圖1所示.在“水泥化學(xué)分析方法(GB/T 176-2008)”中要求Si，Al，F(xiàn)e和Ca的誤差不能分別高于0.20%，0.30%，0.20%和0.40%.由圖1可以看出，所有樣品的4種元素測(cè)量結(jié)果都達(dá)到GB/T 176-2008的要求.

4 結(jié)論

由于統(tǒng)計(jì)漲落的存在，核數(shù)據(jù)處理不是簡(jiǎn)單的解方程，在很多問(wèn)題中需要用線性回歸方法來(lái)減少統(tǒng)計(jì)漲落引起的誤差或者尋找函數(shù)關(guān)系式.在測(cè)量衰變常數(shù)時(shí)，在函數(shù)關(guān)系已知的條件下，線性回歸方法可以減小統(tǒng)計(jì)漲落引起的誤差.用NIPGA技術(shù)測(cè)量水泥生料元素含量時(shí)，在函數(shù)關(guān)系未知的條件下，線性回歸方法可以確定函數(shù)關(guān)系式.本文模擬計(jì)算了30個(gè)水泥生料樣品，利用線性回歸方法得到了熱中子通量以及Si，Al，F(xiàn)e和Ca含量的計(jì)算公式.用這些公式計(jì)算出來(lái)的熱中子通量的平均偏差僅為0.31%，4種元素的測(cè)量精度都達(dá)到GB/T 176-2008(水泥化學(xué)分析方法)的要求.

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(責(zé)任編輯：石紹慶)

The application of linear regression method in nuclear data processing

Lü Jian-xiong1，LI Xin1，CHENG Dao-wen2

(1.School of Software Vocational Technology，Changchun University of Technology，Changchun 130012，China；2.School of Basic Sciences，Changchun University of Technology，Changchun 130012，China)

In order to reduce the error caused by statistical fluctuation in nuclear data processing，the linear regression method is used to estimate the parameter when the function is known，and to find the function when it’s unknown. Take measuring elements contents in cement raw material by INPGA (Neutron Induced Prompt Gamma-ray Analysis) for example，the linear regression method is able to find the functions which are used to compute the thermal neutron flux and the contents of Si，Al，F(xiàn)e and Ca in cement raw material. The result of the calculation shows that the average deviation of thermal neutron flux is less than 0.31% and the precisions of silicon，aluminum，iron and calcium can all meet the requirement of GB/T 176-2008 (Method for Chemical Analysis of Cement).

nuclear data processing；linear regression method；statistical fluctuation；NIPGA

1000-1832(2014)04-0072-05

10.11672/dbsdzk2014-04-013

2014-05-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11305019，11205069).

呂健雄(1981—)，女，講師，主要從事計(jì)算機(jī)軟件與理論研究；程道文(1978—)，男，博士，副教授，主要從事核技術(shù)應(yīng)用研究.

TP 274+.2；O 571.53 [學(xué)科代碼] 490·10

A