微波處理中木材內(nèi)溫度分布模型的熱源反演1)

劉 暢 王行建 曹 軍

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

微波處理中木材內(nèi)溫度分布模型的熱源反演1)

劉 暢 王行建 曹 軍

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

從微波處理木材中木材內(nèi)部溫度分布的熱傳導(dǎo)模型出發(fā)，將單向微波照射與雙向微波照射時(shí)的模型劃歸為一類模型來求解。利用求解一維波動(dòng)方程的方法并定義新算子反演微波處理中木材內(nèi)部溫度分布模型的熱源表達(dá)式。研究結(jié)果表明：?jiǎn)蜗蛭⒉ㄅc雙向微波處理中木材內(nèi)部溫度分布的模型所反演的熱源可以相應(yīng)地由定義的自伴算子的特征根和特征向量統(tǒng)一表示。

熱源反演；木材；溫度分布

According to the heat conduction model of temperature profiles in wood during microwave heating, the models of unilateral microwave heating and bilateral microwave heating should be classified as a model to solve by solving the wave equation and defining new operator inverting the model of temperature profiles in wood during microwave heating. The heat source of unilateral microwave heating and bilateral microwave heating should be expressed by eigenvector and characteristic root of the operator. The heat source identification of heat conduction equation which is similar to the model of temperature profiles in wood during microwave heating can be solved by using our method to invert the expression of heat source.

在木材加工生產(chǎn)過程中尤其是人造板工藝過程中，存在著大量熱交換的過程，熱交換對(duì)于工藝過程影響很大，直接決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，隨著對(duì)木材加工工藝過程熱傳遞機(jī)理的不斷研究，生產(chǎn)中傳熱現(xiàn)象逐漸被刻畫稱為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定性分析。熱傳遞過程主要來自外部作用和內(nèi)部作用兩個(gè)方面，微波處理也已經(jīng)成為先進(jìn)的熱處理技術(shù)，同時(shí)在工藝過程中存在復(fù)雜的物理化學(xué)變化，釋放大量熱，這些熱源也影響著木材處理和產(chǎn)品質(zhì)量，熱源影響的分析成為進(jìn)一步研究木材處理的方法。

微波處理木材中木材內(nèi)部溫度分布與微波輻射的方式直接相關(guān)，利用伯朗定律建立了單向微波與雙向微波處理時(shí)木材內(nèi)部溫度遷移的模型，揭示微波處理中木材內(nèi)部溫度分布的規(guī)律，即當(dāng)采用單向微波輻射與雙向微波輻射時(shí)，木材內(nèi)部溫度分布的模型可由一類一維熱傳導(dǎo)方程表示，由熱傳導(dǎo)方程進(jìn)一步認(rèn)為沿微波入射方向，單向微波照射時(shí)，木材內(nèi)部溫度逐漸降低；雙向微波輻射時(shí)，木材內(nèi)部的溫度分布梯度是外低內(nèi)高的。對(duì)于此類一維熱傳導(dǎo)方程的熱源識(shí)別問題，不同的學(xué)者提出了不同的解答方法，如有限差分法、迭代法等。對(duì)于以上的方法，學(xué)者得出了含有只依賴于時(shí)間變量熱源的一維熱傳導(dǎo)問題的熱源識(shí)別方法，而對(duì)于微波處理木材時(shí)木材內(nèi)部溫度分布模型一類的一維熱傳導(dǎo)方程，其熱源是只依賴于空間變量的，對(duì)其進(jìn)行熱源識(shí)別就與含有只依賴與時(shí)間變量的熱傳導(dǎo)方程的熱源識(shí)別有很大的區(qū)別。本研究揭示了處理含有僅依賴于空間變量的熱源的一維熱傳導(dǎo)方程熱源識(shí)別問題的方法與規(guī)律，以期為此類熱源識(shí)別問題的解答提供理論依據(jù)。

1 模型處理及熱源反演

微波處理木材時(shí)，假設(shè)木材為均質(zhì)材料，研究表明，單向微波輻射時(shí)，木材內(nèi)部溫度分布梯度是沿著微波入射方向先增加后急劇降低的，設(shè)微波入射方向?yàn)閤方向，木材微波入射表面為y方向，且木材在x方向所處區(qū)間為[0,d]，若設(shè)室溫為T0，得到木材內(nèi)部溫度分布隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)方程：

式中：c為單位體積木材的熱容量；λ為木材導(dǎo)熱系數(shù)；T為T(x,t)，即木材中的溫度分布；t為時(shí)間；q0為單位體積木材吸收的功率，可通過微波發(fā)生裝置進(jìn)行調(diào)節(jié)；x為微波入射木材的深度；b為木材對(duì)微波的吸收系數(shù)，一般為常數(shù)。

采用上述兩種不同方式處理木材時(shí)，方程的表達(dá)形式是一致的，僅僅是邊界條件不同。劃歸統(tǒng)一的熱傳導(dǎo)方程為：

T(x，0)=T0。

(1)

式中：Tt為溫度分度對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)；Txx為溫度分布對(duì)深度的二階偏導(dǎo)；f(x)為所要反演的只依賴于空間變量x的熱源。

兩種方程只有邊界條件不同，故下面以單向微波輻射時(shí)木材內(nèi)部溫度分布模型的邊界條件為例：

α(T(0，t)-T0)=λTx|x=0；

α(T(d，t)-T0)=-λTx|x=d。

(2)

式中：α為空氣的對(duì)流傳熱系數(shù)；Tx為溫度分布對(duì)深度的一階導(dǎo)數(shù)。

1.1 模型處理

微波處理木材中，木材內(nèi)部溫度的分布與微波加熱的方式直接相關(guān)[1]。采用單向微波輻射時(shí)，沿著微波的入射方向，木材內(nèi)溫度先增加后急劇下降，均勻性較差，采用雙向微波輻射時(shí)，木材內(nèi)的溫度先增加后減小，均勻性較好。根據(jù)上述熱傳導(dǎo)規(guī)律，建立以上微波加熱木材中木材內(nèi)部溫度分布的模型，要實(shí)現(xiàn)此類模型的熱源識(shí)別，先對(duì)其進(jìn)行處理[2]，關(guān)于T(x,t)的混合邊界條件不是齊次的，那么選取一個(gè)與T(x,t)具有相同邊界條件的輔助函數(shù)w(x,t)和一個(gè)新的未知函數(shù)V(x,t)，將T(x,t)表示為：

T(x，t)=V(x，t)+w(x，t)。

因?yàn)閣(x,t)與T(x,t)具有相同的邊界條件，所以新未知函數(shù)V(x,t)的邊界條件就已經(jīng)是齊次的了。將泛定方程(1)轉(zhuǎn)化為V(x,t)的泛定方程：

(3)

初始條件：

V(x，0)=0。

(4)

邊界條件：

(5)

(6)

將主函數(shù)V(x,t)由(6)表示為：

(7)

(8)

構(gòu)建以下拉普拉斯變換：

LFk(t)=F(x)。

代入方程(8)中解得：

式中：dτ為積分微元。

研究模型中的主函數(shù)可以表示為：

1.2 熱源反演

模型中給出的條件是特殊的，為了揭示此類一維熱傳導(dǎo)方程熱源反演的規(guī)律，給出一般的初始條件：

T(x，0)=φ(x)。

則有：

定義新的算子Q[4]，則對(duì)任意φ∈L2(0，t)，記Φ(x)=φ(x)-T0，將算子Q作用在Φ(x)上，有：

Q為L(zhǎng)2(0，t)到L2(0，t)的線性緊自伴算子，其特征根可以表示為：

與特征根對(duì)應(yīng)的特征向量為：

則熱源反演問題轉(zhuǎn)化為求解以下算子方程：

Qf(x)=φ(x)。

(9)

由皮卡定理得：

2 結(jié)論

研究了微波加熱木材時(shí)木材內(nèi)部溫度分布模型的熱源識(shí)別問題。在已有建立微波加熱木材時(shí)的模型的基礎(chǔ)上，對(duì)模型進(jìn)行處理，將單向光照射和雙向光照射時(shí)的模型劃歸為一類模型來求解。采用了波動(dòng)方程求解時(shí)的方法，將一維波動(dòng)方程的解法運(yùn)用到了熱傳導(dǎo)方程上，求解出函數(shù)Xk(x)。再利用拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換求出主函數(shù)，最后通過定義新的算子，反演出熱源函數(shù)。從而通過求解統(tǒng)一模型來求得未知熱源。本研究揭示了處理含有僅依賴于空間變量的熱源的一維熱傳導(dǎo)方程熱源識(shí)別問題的方法與規(guī)律，給出了研究此類熱源反演問題的一種方法并為此類問題的研究提供理論依據(jù)。

[1] 李賢軍,張璧光,李文軍，等.微波真空干燥過程中木材內(nèi)部的溫度分布[J].北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2006,28(6):128-131.

[2] 陸立柱.第一二三類非齊次線性邊界條件的齊次化[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2001,15(4):17-20.

[3] 張?jiān)粕?數(shù)學(xué)物理方程中的分離變量法[J].工科數(shù)學(xué),1993,9(1):8-9.

[4]KirschA.AnIntroductiontotheMathematicalTheoryofInverseProblems(AppliedMathematicalSciences)[M].北京:世界圖書出版公司北京公司,1999.

Heat Source Inversion of Temperature Profile Model in Wood during Microwave Heating/

Liu Chang, Wang Xingjian, Cao Jun

(Northeast Forestry University, Harbin 150040, P. R. China)//Journal of Northeast Forestry University.-2014,42(8).-131～132,156

Heat source inversion; Wood; Temperature distribution

劉暢，女，1990年8月生，東北林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，碩士研究生。

王行建，東北林業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，工程師。E-mail：jianxingwang@126.com。

2013年10月14日。

S781.7

1) 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(DL13AB01)。

責(zé)任編輯：戴芳天。