Hilbert空間中的g-Riesz基序列

黃喜嬌,楊永燕

(安陽(yáng)師范學(xué)院人文管理學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 安陽(yáng) 455000)

自1952年Hilbert空間中的框架概念被提出后，框架理論至今已經(jīng)取得了豐碩的成果[1-2].由于框架的定義和Riesz基序列的定義之間聯(lián)系密切，一些學(xué)者對(duì)Riesz基序列的性質(zhì)進(jìn)行了研究.2002年，P.G.Casazza和O.Christensen等[3]對(duì)Hilbert空間中的Riesz基序列的性質(zhì)進(jìn)行了研究.之后，李登峰、董立華等[4-5]對(duì)Hilbert空間中的Riesz基序列做了進(jìn)一步的研究.2006年，孫文昌[6]首次引入了g-框架概念，隨后g-Riesz基、g-Riesz框架、g-框架序列、g-Riesz-Fischer序列、g-Besselian框架等陸續(xù)被學(xué)者研究，并且取得了一系列重要的成果[6-11]，但是對(duì)Hilbert空間中的Riesz基序列的研究較少.本文引入g-Riesz基序列的概念，對(duì)g-Riesz基序列的性質(zhì)進(jìn)行了研究，并利用g-Riesz基序列的性質(zhì)證明了g-Riesz基的穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義4[6]設(shè)Λj∈L(U,Vj),j∈J, 則稱序列{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Riesz基.如果序列{Λj}j∈J滿足以下兩個(gè)條件：

①{Λj}j∈J是g-完備的，即{f∈U:Λjf=0,j∈J}={0};

②存在正數(shù)A,B>0, 使得對(duì)任意有限子集J1?J和gj∈Vj,j∈J, 有

則稱A,B為g-Riesz基的上、下界.

2 主要結(jié)果及證明

定理1序列{Λj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Riesz基序列，界為A,B當(dāng)且僅當(dāng)可定義有界線性算子

(1)

證明設(shè)序列{Λj:Λj∈L(U,Vj)}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Riesz基序列，界為A,B，則對(duì)任意有限子集I?J，gj∈Vj，有

(2)

由(1) 和(2)式得

有關(guān)g-框架的穩(wěn)定性，孫文昌在文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)做了討論，本文將利用下面的引理1及引理2，用不同的方法證明g-Riesz基的穩(wěn)定性.

則{Γj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架,且框架界為

(3)

引理2[8]令Λj∈L(U,Vj),j∈J，則下列兩個(gè)條件等價(jià)：

①序列{Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-Riesz基，界為A,B;

文獻(xiàn)[11]中有如下結(jié)果：

本文給出推論1的另一個(gè)證明方法：

證明由引理1和引理2,可以得到{Γj}j∈J為U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，其界由(3)式給出.由g-框架的左邊不等式可以得到

參考文獻(xiàn)：

[1] Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases[M]. Boston:Birkhǎuser, 2003.

[2] Casazza P G. The art of frame theory[J]. Taiwanese J of Math, 2000,4(2):129-201.

[3] Casazza P G, Christensen O, Linder A. Riesz-Fischer sequences and lower frame bounds[J]. Z Anal Anwend, 2002,21(2):305-314.

[4] 李登峰，薛明志.Banach空間上的基和框架[M].北京:科學(xué)出版社,2007:68-71.

[5] 董立華,姜曰華,張玉坤.關(guān)于Riesz-Fischer序列[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2003,19(1):10-13.

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[8] Ding M L, Zhu Y C. G-Besselian frames in Hilbert spaces[J]. Acta Mathematica Sinica：English Series, 2010,26(11):2117-2130.

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[10] 黃喜嬌,朱玉燦.Hilbert空間中的g-Riesz-Fischer序列的擾動(dòng)[J].三明學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,29(4):12-16.

[11] Zhu Y C. Characterizations of g-frames and g-Riesz bases in Hilbert spaces[J]. Acta Mathematica Sinica：English Series, 2008,24(10):1727-1736.