具依賴狀態(tài)脈沖的泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性

唐曉偉,孫曉輝

(1.齊魯師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250013; 2.山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250014)

0 引言

自然界中很多現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為脈沖泛函微分系統(tǒng).目前為止,人們對(duì)脈沖泛函微分系統(tǒng)的研究已取得了顯著成果[1-10],但其中大部分成果是關(guān)于固定時(shí)刻脈沖的脈沖泛函微分系統(tǒng).由于自然事件發(fā)生具有不確定性,因此對(duì)具依賴狀態(tài)脈沖的脈沖泛函微分系統(tǒng)的研究具有十分重要的意義,并且具依賴狀態(tài)脈沖的脈沖泛函微分系統(tǒng)包含了固定時(shí)刻脈沖泛函微分系統(tǒng)這一特殊情形,因而其具有更廣泛的應(yīng)用范圍.近年來,對(duì)具依賴狀態(tài)脈沖的脈沖泛函微分系統(tǒng)的研究成果大多側(cè)重于常微分系統(tǒng)和具有界滯量的泛函微分系統(tǒng)[11-17]，例如：Liu Xinzhi等[15]和Wang Lin等[16]研究了具依賴狀態(tài)脈沖的有界滯量脈沖泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性,且必須限制解依次與每個(gè)脈沖面只碰撞一次;Tang Xiaowei等[17]應(yīng)用比較方法研究了具依賴狀態(tài)脈沖的無窮延滯型脈沖泛函微分系統(tǒng)在解與每個(gè)脈沖面依次碰撞有限次的前提下系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但是這種方法的局限性是系統(tǒng)的確定比較困難.

鑒于此,本文針對(duì)具依賴狀態(tài)脈沖的無窮延滯型脈沖泛函微分系統(tǒng)，用Lyapunov函數(shù)結(jié)合Razumikhin技巧給出了在解曲線與每個(gè)脈沖面可連續(xù)碰撞有限次的情況下系統(tǒng)穩(wěn)定性的直接結(jié)果,改進(jìn)了文獻(xiàn)[15-17]中的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下的具依賴狀態(tài)脈沖的泛函微分系統(tǒng)

(I)

假設(shè)系統(tǒng)(I)的過(t0,φ0)的解總是整體存在的[4],且t0不是系統(tǒng)(I)的脈沖時(shí)刻.

定義1定義如下的函數(shù)類:

K={a(s)∈C[R+,R+]:a(0)=0且a(s)關(guān)于s嚴(yán)格單調(diào)遞增};

Sk={(t,x)∈R×Rn:t=τk(x(t)),k=1,2,…};

Gk={(t,x(t))∈R×Rn:t為x(t)與脈沖面碰撞產(chǎn)生的相鄰脈沖時(shí)刻構(gòu)成的左閉右開區(qū)間},

K1={H∈C[R+,R+]:H(0)=0,H(s)>0,s>0};

K2={H∈C[R+,R+]:H(0)=0,H(s)>0,s>0,H(s)關(guān)于s單調(diào)遞增};

S(h,ρ)={(t,x):h(t,x)<ρ,h(t,x)∈Γ,ρ>0為常數(shù)}.

定義2稱函數(shù)V∈v0:R×Rn→R+, 若:

(i)V(t,x)在Gk上連續(xù),且關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件;

設(shè)V∈v0, 定義V(t,x)沿系統(tǒng)(I)的連續(xù)部分的Dini導(dǎo)數(shù)如下:

(i) (h0,h)-一致穩(wěn)定的,若對(duì)任意給定的ε>0和對(duì)任意給定的t0≥t*, 存在δ=δ(ε)>0, 使得當(dāng)h0(t0,φ0)<δ時(shí),有h(t,x(t))<ε,t≥t0, 其中x(t)是系統(tǒng)(I)的過(t0,φ0)的解；

(ii) (h0,h)-一致吸引的,若對(duì)任意給定的ε>0和對(duì)任意給定的t0≥t*, 存在δ=δ(ε)>0,T=T(ε)>0, 使得當(dāng)h0(t0,φ0)<δ時(shí),有h(t,x(t))<ε,t≥t0+T;

(iii) (h0,h)-一致漸近穩(wěn)定的,若(i)和(ii)同時(shí)成立.

2 主要結(jié)果及其證明

對(duì)系統(tǒng)(I)給出以下的條件：

(H1) ‖f(t,xt)‖≤c<∞,?(t,x(t))∈S(h,ρ);

(H2) 存在L2≥0, 使得對(duì)?x,y∈Rn, ?k∈N+, 有|τk(x)-τk(y)|≥L2‖x-y‖;

(H3)對(duì)?x∈Rn, 存在M1>0, 使得‖Ik(x)‖≥M1>0;

定理1假設(shè)系統(tǒng)(I)滿足(H1)—(H4),且系統(tǒng)(I)的任意解x(t)與每個(gè)脈沖面至多碰撞有限次,若下述條件成立,則系統(tǒng)(I)是(h0,h)-一致漸近穩(wěn)定的:

(i)h0,h∈Γ, 存在函數(shù)φ∈K, 常數(shù)ρ0>0, 使得h(t,x)≤φ(h0(t,x)), (t,x)∈S(h0,ρ0);

(ii) 存在V∈v0,a,b∈K, 且b(s)≤a(s), 常數(shù)ρ>0, 使得b(h(t,x))≤V(t,x), (t,x)∈S(h,ρ)且V(t,x)≤a(h0(t,x)), (t,x)∈S(h0,ρ);

(iii)V(t,x)沿系統(tǒng)(I)的解x(t)的連續(xù)部分的Dini導(dǎo)數(shù)D+V(t,x(t))滿足：對(duì)?s∈[t+α,t),當(dāng)g(V(t,x(t)))>V(s,x(s))時(shí),有D+V(t,x(t))≤ -p(t)C(V(t,x(t))), 其中p∈PC[R,R+],C∈K1,g∈K2;

(iv) 系統(tǒng)(I)的任意解x(t)滿足V(t,x(t))≤ψk(V(t-,x(t-))), (t,x)∈Sk, 其中ψk∈PC[R+,R+], 且s≤ψk(s)0,k=1,2,…;

(vi) 若(t,x(t-))∈Sk∩S(h,ρ), 則(t,x(t-)+Ik(x(t-)))∈S(h,ρ).

取0<δ

下證

V(t,x(t))

(1)

(2)

且

(3)

由于

V(t0,x(t0))≤a(h0(t0,x0))≤a(h0(t0,φ0))

(4)

綜合上述兩種情形可知(1)式成立.又因?yàn)閎(h(t,x))≤V(t,x), 從而當(dāng)t∈[t0,t1)時(shí),有

h(t,x(t))<ε<ρ.

(5)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

V(t,x(t))≤a(ρ)-id,t≥ti,i=0,1,2,…,N.

(6)

當(dāng)i=0時(shí),由于V(t,x(t))

V(t,x(t))≤a(ρ)-(i+1)d,t≥ti+1.

(6)0

首先證明

(7)

情形2.對(duì)?t∈[ti,ti+1),g(V(t,x(t)))>a(ρ)-id.考慮區(qū)間[ti,ti+1), 對(duì)?t∈[ti,ti+1),t+α≤s≤t, 由于g(V(t,x(t)))>a(ρ)-id≥V(s,x(s)), 由條件(iii)得D+V(t,x(t))≤ -p(t)C(V(t,x(t))),t∈[ti,ti+1).結(jié)合引理1,對(duì)上式兩端在區(qū)間[ti,ti+1)上積分，得

顯然矛盾.

結(jié)合情形1和情形2的討論可知(7)式成立.

其次證明

(8)

最后證明

V(t,x(t))≤a(ρ)-(i+1)d,ti+1≤t

(9)

(10)

下面分兩種情形考慮:

結(jié)合情形1和情形2的討論可知(9)式成立.

重復(fù)(8)和(9)式的證明過程可得

V(t,x(t))≤a(ρ)-(i+1)d,ti+j≤t≤ti+j+1,j=1,2,…,

從而(6)0式成立,故(6)式成立.

取T=tN-t0, 則當(dāng)t≥t0+T時(shí),V(t,x(t))≤a(ρ)-Nd

推論1假設(shè)系統(tǒng)(I)的任意解x(t)依次與每個(gè)脈沖面只碰撞一次,且:

(i)Y′ 定理1中的(i)—(iv)、(vi)成立;

其中τ0(x(t-))=t0, 則系統(tǒng)(I)為(h0,h)-一致漸近穩(wěn)定的.

推論2若令τk(x(t-))=tk,k=1,2,…, 假設(shè):

(i)′ 定理1中的(i)—(iv)、(vi)成立;

則系統(tǒng)(I)為(h0,h)-一致漸近穩(wěn)定的.

注1由推論2可以看出,定理1比文獻(xiàn)[15-16]的結(jié)果有更廣泛的應(yīng)用.

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