Logistic反應(yīng)擴散方程的周期波解

竇麗萍，何延生

(延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002)

0 引言

格點動力系統(tǒng)(LDSs)是無窮多個常微分方程(Lattice ODEs)或差分方程(CMLs)的系統(tǒng).由于傳播波可以根據(jù)系統(tǒng)的初值來決定其長期行為，因此目前關(guān)于格點動力系統(tǒng)的研究很多集中在格點微分方程傳播波的問題上.1984年Bell等在文獻[1]中給出了以下典型例子：

(1)

對于給定的線性函數(shù)f，并利用初始狀態(tài)研究了其解的長期性.之后,文獻[2]的作者分析了一類微差分方程的傳播波，文獻[3]的作者給出了一類時滯發(fā)展方程的數(shù)值解.Shao Yuanhuang等[4]在一定的假設(shè)條件下，研究了λ-ω型非自治反應(yīng)擴散方程周期傳播波的存在性.關(guān)于波解的存在性結(jié)果可以參閱文獻[5-7].

本文引入2+1維格點離散動力系統(tǒng)的傳播波的一般概念，首先建立了系統(tǒng)的傳播波與其剖面序列所滿足的偏差分方程,并證明了一個反應(yīng)擴散方程波解的存在性與其相應(yīng)的偏差分方程解的存在性之間的關(guān)系;其次，利用基本分析法研究了一類帶有Logistic控制的反應(yīng)擴散方程

(2)

1 基本概念及引理

對于序列φ={φm}，如果存在ω∈Z+使得φm+ω=φm，m∈Z，那么ω是φ的一個周期.如果ω是φ的一個最小正周期，那么φ稱為ω-周期的.

下面的定義和引理可參閱文獻[8].

引理1如果y={yi}是一個ω-周期，而ω1是y的一個周期，則ω1modω=0.

定義2若r∈Z+(Z+表示自然數(shù)集)，(p,q)∈N2，gcd(p,q,r)=1，那么數(shù)組(p,q,r)是相容的.

定義3設(shè)m是正整數(shù)，a，b是整數(shù)，a與b同余，如果m|(a-b)，并記為a=bmodm.

定義5令y={ym,n}(m,n)∈Z2是一個雙序列，如果y關(guān)于第一變量m是ρ-周期的，而關(guān)于第二變量n是σ-周期的，那么y稱為是(ρ,σ)周期的.

引理2設(shè)(p,q,r)相容，對于任意(z1,z2)∈Z2，如果存在(m,n)∈Z2，s∈{0,1,…,r-1}使得(z1,z2)=r(m,n)+s(p,q)，那么(m,n)和s是唯一的.

本文記W={(z1,z2)|(z1,z2)=r(m,n)+s(p,q), 對于所有(m,n)∈Z2，s∈{0,1,…,r-1}},

顯然，如果r=1，那么Ω=Z2.

引理3設(shè)(p,q,r)相容，對于任意(z1,z2)∈Z2，如果存在(m,n)∈Z2，使得(z1,z2)=r(m,n)+i(p,q)，則(z1,z2)∈Ω.

考慮帶有Logistic控制項的反應(yīng)擴散方程：

(3)

(4)

是偏差分方程

φ(m+p,n+q)=φ(m-r,n)+φ(m+r,n)+φ(m,n-r)+φ(m,n+r)-

4φ(m,n)+βφ(m,n)(1-φ(m,n)), (m,n)∈Z2

(5)

2 Logistic反應(yīng)擴散方程的周期波解

考慮Logistic反應(yīng)擴散方程：

(6)

其中β≠0為參數(shù).

假設(shè)φ(m,n)是(2,2)-周期波解，φ(m,n)的形式為

φ(m,n)=a0+a1(-1)m+a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n, (m,n)∈Z2,

(7)

其中a0,a1,a2,a3∈R且a3≠0.由于方程(4)中t∈Z+，(p,q)∈Z2是未知的，因此須考慮如下7種不同情況：(i)p,r,q都是奇數(shù); (ii)p,q是偶數(shù)，r是奇數(shù); (iii)q,r是偶數(shù)，p是奇數(shù); (iv)p,r是偶數(shù)，q是奇數(shù); (v)p,q是奇數(shù)，r是偶數(shù); (vi)q,r是奇數(shù)，p是偶數(shù); (vii)p,r是奇數(shù)，q是偶數(shù).

情況(i).由(5)式有

φ(m+1,n+1)-2φ(m+1,n)-2φ(m，n+1)+(4-β)φ(m,n)+βφ2(m,n)=0, (m,n)∈Z2,

將(7)式代入上式得

a0-a1(-1)m-a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n-2[a0-a1(-1)m+a2(-1)n-

a3(-1)m(-1)n]-2[a0+a1(-1)m-a2(-1)n-a3(-1)m(-1)n]+(4-β)[a0+

2a0a2(-1)n+2a0a3(-1)m(-1)n+2a1a2(-1)m(-1)n+2a1a3(-1)n+2a2a3(-1)m]=0.

即如能找到下面非線性系統(tǒng)的一組實數(shù)解(a0,a1,a2,a3)：

(8)

其中a3≠0，那么φ(m,n)是由(7)式定義的方程(6)的一個(2,2)-周期解.

(9)

(10)

(11)

(12)

綜上所述，當(dāng)p,r,q都是奇數(shù)，gcd(p,q,r)=1時，方程(6)的周期波解有如下形式：

情況(ii).由(5)式有

(5-β)φ(m,n)-2φ(m+1,n)-2φ(m，n+1)+βφ2(m,n)=0, (m,n)∈Z2.

(13)

將(7)式代入方程(13)得

(5-β)[a0+a1(-1)m+a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n]-2[a0-a1(-1)m+a2(-1)n-

2a1a3(-1)n+2a2a3(-1)m]=0.

類似情況(i)可考慮如下非線性系統(tǒng)：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

綜上所述，當(dāng)p,q是偶數(shù)，r是奇數(shù)，gcd(p,q,r)=1時，方程(6)的周期波解有如下形式：

β<-3或β>5;

β<-3或β>5;

由于篇幅所限本文只討論了前兩種情況，剩余情況做類似的討論即可，故省略.

參考文獻：

[1] Bell J, Cosner C. Threshold behavior and propagation for nonlinear differential-difference systems motivated by modeling myelinated axons[J]. Quart Appl Math, 1984,42:1-14.

[2] Britton N F. Traveling wave front solutions of a differential-difference equation arising in the modeling of myelinated nerve axon[J]. Ordinary and Partial Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, 2006，1151(1985)：77-89.

[3] Chi H, Bell J, Hassard B. Numerical solutions of a nonlinear advanced-delay differential equation from nerve condition theory[J]. J Math Biol, 1986,24:583-601.

[4] Shao Yuanhuang, Sui Suncheng. Existence of periodic traveling wave solutions of non-autonomous reaction-diffusion equations with lambda-omega type[J]. J Math Anal Appl, 2014,409:607-613.

[5] Zinner B. Existence of traveling wavefront solutions for the discrete Nagumo equation[J]. J Differ Eq, 1992,96:1-27.

[6] Fu S C, Guo J S, Shieh S Y. Traveling wave solutions for some discrete quasilinear parabolic equations[J]. Nonlinear Anal, 2002,48:1137-1149.

[7] Wu J, Zou X. Asymptotic and periodic boundary value problems of mixed FDEs and wave solutions of lattice differential equations[J]. J Differ Eq, 1997,135:315-357.

[8] He Yansheng, Hou Chengmin. Traveling wave for 2-1 dimension lattice difference equations[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2013,28(2):214-223.