解平行四邊形板彎曲問題的GD法

楊 柳，彭建設(shè)

（成都大學(xué) 工業(yè)制造學(xué)院，四川 成都 610106）

0 引 言

在彈性薄板的彎曲問題中，矩形板和圓形板較易獲得精確解答，但對于平行四邊形板，因邊界條件不易滿足，通常其精確解很難獲得，因而常采用數(shù)值解法.在數(shù)值解法中，常用的有康托洛維奇變分法、有限元法、有限差分法、微分求積法、無網(wǎng)格法等［1－7］.這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在不同的領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用.本研究運(yùn)用常微分方程（General Differential，GD）解法對平行四邊形板彎曲問題進(jìn)行了求解，該方法從泰勒級數(shù)出發(fā)，用全域內(nèi)節(jié)點(diǎn)函數(shù)的加權(quán)和來表示該點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值，其權(quán)系數(shù)只取決于節(jié)點(diǎn)的分布而與具體問題無關(guān).數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，GD 法是求解平行四邊形等異形板彎曲問題的一種較好的數(shù)值方法.

1 GD 法基本原理

將某連續(xù)函數(shù)f（x）在基點(diǎn)xi處做泰勒展開，在此基礎(chǔ)上，將某節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用全域內(nèi)節(jié)點(diǎn)函數(shù)的加權(quán)和來表示，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為由待求節(jié)點(diǎn)函數(shù)值表述的代數(shù)方程組，通過求解線性方程組，而使原微分方程得解.

設(shè)f＝f（x）為彈性體內(nèi)的某一連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)只隨x坐標(biāo)而變化.以第i個(gè)節(jié)點(diǎn)為基點(diǎn)，第m（m≠i）點(diǎn)的表達(dá)式為，

其中，fi（i＝2，3，…，N－1）為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，f1，fN為外邊界節(jié)點(diǎn).將各節(jié)點(diǎn)展開整理為如下矩陣，

其中，

采用Gauss－Jordan消去法，A、B 所組成的增廣矩陣經(jīng)k＋1次消元后得到系數(shù)矩陣的逆陣，

式中，j＝k＋1，k＋2，…，N－1.

式中，m ＝1，2，…，N－1.

式中，J ＝k＋1，k＋2，…，N－1；z＝1，2，…，N－1（z≠k）.

式中，z＝1，2，…，N－1（z≠k）；m ＝1，2，…，N－1.

經(jīng)過N 次消元后，將（1）整理為如下形式，

式中，

將域內(nèi)不同節(jié)點(diǎn)的同階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)列陣整理為，

分析式（13）易知，該節(jié)點(diǎn)的k階導(dǎo)數(shù)為，

權(quán)系數(shù)C 為，

2 GD 法解平行四邊形板靜力問題

通常，平行四邊形板的控制微分方程為，

采用如圖1所示坐標(biāo)變換系統(tǒng)，斜坐標(biāo)（u，v）與直角坐標(biāo)（x，y）之間的關(guān)系［8］為，

圖1 坐標(biāo)變換系統(tǒng)

或者，

則原平行四邊形域可變換到矩形域.將其做無量綱化，令，

則矩形域變換成邊長為1的正方形域，相應(yīng)的，控制方程（16）可在坐標(biāo)系oζη 中表達(dá)為，

將板劃分為Nx×Ny個(gè)節(jié)點(diǎn)，對每一節(jié)點(diǎn)（ζi，ηj），都可由式（19）得到其GD 方程，

式中，i＝1，2，…，Nx；j＝1，2，…，Ny.

其矩陣形式為，

式中，｛δ｝為Nx×Ny行的待定節(jié)點(diǎn)位移w（αi，βj）的列陣，［C］為Nx×Ny行Nx×Ny列的權(quán)系數(shù)矩陣，｛Q｝為Nx×Ny行的廣義載荷列陣.

坐標(biāo)變換后的正方形板有4個(gè)邊界，共有8個(gè)邊界條件.例如，四邊固支時(shí)，其8個(gè)邊界條件為，

通過以上邊界條件可得4（Nx＋Ny）個(gè)代表邊界條件的GD 方程.用該邊界條件方程取代式（20）的對應(yīng)邊界位置的方程，即得其可解線性方程組.求解該線性方程組即得節(jié)點(diǎn)位移w（ζi，ηj）的列陣｛δ｝，其全域的位移場可由拉格朗日插值得到，

例1 四邊簡支平行四邊形薄板（見圖1），在均布載荷q作用下，μ ＝0.2，不同角度對應(yīng)中點(diǎn)撓度如表1所示.

例2 四邊固支平行四邊形薄板，在均布載荷作用下，θ0＝60°，r＝1，s＝sin60°，四邊形中點(diǎn)位移的本研究方法解為其康托洛維奇法解［10］為0.000551，兩者相差2%.

4 結(jié) 語

本研究先利用坐標(biāo)變換使平行四邊形板域變換成正方形板域，然后運(yùn)用GD 法對變換后的新控制方程進(jìn)行了求解.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，GD 法在對平行四邊形板彎曲問題的求解中，具有數(shù)學(xué)原理嚴(yán)謹(jǐn)、精度高、易于編程計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，是一種較好的數(shù)值方法.

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