亞正定矩陣的充要條件

黃 毅

（1.成都大學 信息科學與技術學院，四川 成都 610106；2.模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室，四川 成都 610106）

0 引 言

對于矩陣正定性的研究，過去一直局限于實對稱矩陣 和Hermite矩 陣.例 如，1970年，Johnson［1］引入了不再局限于實對稱矩陣和Hermite矩陣的實正定矩陣的概念；1985年，Horn等［2］給出了實正定矩陣的定義，而李炯生［3］對廣義正定矩陣的性質(zhì)和特征做了較深入的研究；其后，屠伯塤提出了亞正定矩陣的概念，并對其做了較系統(tǒng)的論證與研究，認為實正定矩陣實際上就是亞正定矩陣，這2個概念是等價的，它們都是把實對稱矩陣的限制去掉了［4－5］.本研究使用亞正定矩陣的概念，建立了亞正定矩陣的一些充分和必要條件.

1 定 義

先說明一些本研究使用符號：R 表示實數(shù)集；C表示復數(shù)集；Mn（P）表示數(shù)域P上n階方陣的集合；Rn×1表示全體n維實列向量集合；Cn×1表示全體n維復列向量集合；AT表示矩陣A 的轉置；ˉA 表示矩陣A 的復共軛；A＊表示矩陣A 的共軛轉置，即A＊＝ˉAT.

定義1（實對稱矩陣，實反對稱矩陣，Hermite矩陣和反Hermite矩陣） 如果A ＝AT，矩陣A ∈Mn（R）稱為實對稱矩陣；如果A ＝－AT，矩陣A ∈Mn（R）稱為實反對稱矩陣；如果A ＝A＊，矩陣A ∈Mn（C）稱為Hermite矩陣；如果A ＝－A＊，矩陣A∈Mn（C），稱為反Hermite矩陣.

定義2（實對稱正定矩陣） n 階實對稱矩陣A稱為實對稱正定矩陣，如果對于任一非零實向量，X∈Rn×1，都有XTAX ＞0.

定義3（實方陣的對稱分支和反對稱分支） 事實上，實方陣可唯一地表示成，

的分解形式.令，

則，

A ＝R（A）＋S（A）.

其中，R（A）是實對稱矩陣，稱為實方陣A 的對稱分支；S（A）是實反對稱矩陣，稱為實方陣A 的反對稱分支.以下的分解式，A ＝R（A）＋S（A），均指這種意義的分解.

定義4（實正定矩陣） 設A ∈Mn（R），如果對于任一非零實向量，X ∈Rn×1，都有，XTAX ＞0，則稱A 為實正定矩陣［1－3］.

定義5（亞正定矩陣） 如果實方陣A的對稱分支R（A）是實對稱正定矩陣，則稱A 為亞正定矩陣［4］.

實正定矩陣和亞正定矩陣這2 個概念是等價的［4］，本研究使用亞正定矩陣的概念.“亞”字在漢語里有“次一等”的意思.顧名思義，亞正定矩陣就是滿足的條件少于普通的實對稱正定矩陣的正定矩陣.

定義6（主子陣和順序主子序） 一個方陣中相同的行標和列標的行和列的交叉元素所形成的矩陣稱為這個方陣的主子陣.一個方陣A 的k階主子陣，

其中，1 ≤i1＜i2＜… ＜ik≤n，可用符號來表示.特別地，主子陣稱為A 的k 階順序主子陣.

2 亞正定矩陣的充要條件

定理1 設A ∈Mn（R），則A 是亞正定矩陣的充分必要條件是，存在P ∈Mn（C）非奇異，使得，

證明

1）必要性.A 是亞正定矩陣?R（A）實對稱正定?存在Q ∈Mn（R）非奇異，使得，

其中，In為n 階單位矩陣.

因為，QTS（A）Q ∈Mn（R），所以，

故，QTS（A）Q 是反Hermite矩陣.由于實矩陣QTS（A）Q 的虛特征值共軛成對出現(xiàn)，且反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)，故QTS（A）Q 的特征值可以表示為，ib1，－ib1，…，ibs，－ibs，0，…，0，其中，bm＞0，m ＝1，2，…，s.

又，反Hermite矩陣QTS（A）Q 是正規(guī)矩陣?存在酉矩陣U 使得，

令，QU ＝P ∈Mn（C），則P 是非奇異矩陣，有，

式（1）兩端各自左乘U＊右乘U 得，

其中，In是n 階單位矩陣.

式（2）＋式（3）得，

因為P＊和P 皆非奇異，一個矩陣乘上非奇異陣不改變秩，所以由式（2）得，

即，

令，P－1X ＝Y ≠0，有，

再令，Y ＝（y1，y2，…，yn）T，其中，yi∈C，且yi不全為零，i＝1，2，…，n，則，

因，XTAX ∈R，由上式兩端比較可得出，

因此，A 是亞正定矩陣，

定理2 設A ∈Mn（R），則A 是亞正定矩陣的充分必要條件是，存在P ∈Mn（C）非奇異，使得，

其中，In是n 階單位矩陣.

證明

1）必要性.由定理1必要性的證明過程知式（3）成立.

令，P－1X ＝Y ≠0，有，

再令，Y ＝（y1，y2，…，yn）T，其中，yi∈C，且yi不全為零，i＝1，2，…，n，則，

所以，A 是亞正定矩陣.

定理3 設A ∈Mn（R），則A 是亞正定矩陣的充分必要條件是，存在P ∈Mn（C）非奇異，使得，

其中，In是n 階單位矩陣，

證明

1）必要性.由定理1 必要性的證明過程知式（2）、（3）成立.

2）充分性.由定理2知成立.

定理4 設A ∈Mn（R），則A 是亞正定矩陣的充分必要條件是，對任意實數(shù)t∈［0，1］，tA ＋（1－t）B 是亞正定矩陣，其中，B ∈Mn（R）是亞正定矩陣.

證明

故，tA ＋（1－t）B 是亞正定矩陣.

這一結論說明，n階亞正定矩陣集合為一凸集.

2）充分性.令t＝1即得.

需說明的是，如果定理4中的條件t∈［0，1］改為t∈（0，1），就不能推出A 是亞正定矩陣.例如，設B 是亞正定矩陣，A ＝0，則t∈（0，1），有tA ＋（1－t）B＝（1－t）B是亞正定矩陣，但A ＝0不是亞正定矩陣.

當ann≠0時，

因 為，βTX1和XT1α都是數(shù)，所以βTX1＝，故，

1）充分性.因ann＞0，且β）T是亞正定矩陣，故，當X1≠0時，由式（4）得，XTAX ＞0.當X1＝0時，必有xn≠0，由式（4）亦得XTAX ＞0.故A 是亞正定矩陣.

2）必要性.因為A 是亞正定矩陣，其主對角元素全 為 正 實 數(shù)［6］，故ann＞0，X1≠0，X1∈

R（n－1）×1，取，

由式（4）有，

當a11≠0時，

1）充分性.因a11＞0，且β）T是亞正定矩陣，故，當X1≠0時，由式（5）得，XTAX ＞0.當X1＝0時，必有x1≠0，由式（5）亦得XTAX ＞0.故A 是亞正定矩陣.

2）必要性.因為A 是亞正定矩陣，故a11＞0，X1≠0，X1∈R（n－1）×1，取，

由式（5）有，

注意，定理5和定理6的2個充要條件給出了亞正定矩陣的2個降階判別法.

因為，a11＞0，

［1］Johnson C R.Positive definite matrices［J］.The American Mathematical Monthly，1970，77（3）：259－264.

［2］Horn R A，Johnson C R.Matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985.

［3］李炯生.實方陣的正定性［J］.數(shù)學的實踐與認識，1985，15（3）：67－73.

［4］屠伯塤.亞正定陣理論（I）［J］.數(shù)學學報，1990，33（4）：462－471.

［5］屠伯塤.亞正定陣理論（II）［J］.數(shù)學學報，1991，34（1）：91－94.

［6］黃毅，歐鵬.亞正定矩陣的基本性質(zhì)［J］.成都大學學報（自然科學版），2014，33（1）：20－22.