帶干擾的相依雙險(xiǎn)種再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

蔣蘭青

(閩江師范高等?？茖W(xué)校，福建 福州 350108)

對(duì)單一的成數(shù)或超額賠款再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的研究已取得很多成果，然而隨著人們保險(xiǎn)意識(shí)的增強(qiáng)和保險(xiǎn)業(yè)的不斷發(fā)展，險(xiǎn)種逐漸呈現(xiàn)多元化，且同一險(xiǎn)種引起的索賠也可能不再是單一的.文獻(xiàn)[1]研究了一類理賠具有某種相依關(guān)系的超額賠款再保險(xiǎn);文獻(xiàn)[2]建立了成數(shù)與超額賠款混合雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了兩險(xiǎn)種的最優(yōu)自留水平.本文在文獻(xiàn)[2]給出的模型基礎(chǔ)上，將文獻(xiàn)[1]中的相依關(guān)系引入該模型中，建立了一類更為一般的再保險(xiǎn)模型，在按期望值原理計(jì)算保費(fèi)下，得到了改進(jìn)模型的Lundberg不等式和最終破產(chǎn)概率.

1 預(yù)備知識(shí)與模型建立

定義1[3]計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t),t≥0}稱為參數(shù)為λ(λ>0)的齊次Poisson過(guò)程，如果：

(1)N(0)=0；

(2)過(guò)程有獨(dú)立增量；

定理1[4](齊次Poisson過(guò)程的可加性)設(shè)M={Mt,t≥0}和N={Nt,t≥0}是強(qiáng)度分別為λ1和λ2的齊次Poisson過(guò)程，并且兩個(gè)過(guò)程相互獨(dú)立.對(duì)于每一個(gè)ω∈Ω和任意的t≥0，令

Kt(ω)=Mt(ω)+Nt(ω),

則上式定義的過(guò)程K={Kt,t≥0}稱為過(guò)程M={Mt,t≥0}和N={Nt,t≥0}的疊加，且為服從強(qiáng)度為λ=λ1+λ2的齊次Poisson過(guò)程.

定理2[4]設(shè){S(t),t≥0}是一個(gè)復(fù)合Poisson過(guò)程，Poisson過(guò)程{N(t),t≥0}的強(qiáng)度為λ，則:

(1)S(t)有獨(dú)立增量；

下面將討論模型的建立過(guò)程.定義完備概率空間(Ω,F,P)，本文考慮的所有隨機(jī)變量都是定義在該概率空間上的.首先建立如下的未考慮再保險(xiǎn)的相依雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，盈余過(guò)程{U(t),t≥0}滿足：

(1)

其中：

(1)u≥0為保險(xiǎn)公司的初始資金，P為單位時(shí)間的保費(fèi)率；

(2){Xi,i≥1}和{Yj,j≥1}是取值于[0,∞)上的非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，分別表示險(xiǎn)種1在第i次的理賠額和險(xiǎn)種2在第j次的理賠額，設(shè)其分布函數(shù)分別為F(x)和G(y)，均值分別為μ1和μ2，且對(duì)x≤0和y≤0分別有F(x)=0，G(y)=0；

(3)N1(t),N2(t)分別表示兩類險(xiǎn)種在t時(shí)間內(nèi)的理賠次數(shù),且N1(t)與N2(t)之間相互獨(dú)立.顯然可以找到相互獨(dú)立的參數(shù)分別為λ1,λ2,λ的Poisson分布K1(t),K2(t),K(t),使得N1(t)=K1(t)+K(t)，N2(t)=K2(t)+K(t)成立.這樣兩險(xiǎn)種的各自理賠總額N1(t)與N2(t)便通過(guò)K(t)聯(lián)系起來(lái).由定理1易知N1(t)與N2(t)是分別服從強(qiáng)度為λ1+λ，λ2+λ的齊次Poisson過(guò)程.

(4){W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程，表示保險(xiǎn)公司不確定的收益和支出，σ>0為干擾因子，且假設(shè){Xi,i≥1}，{Yj,j≥1}，{N1(t),t≥0}，{N2(t),t≥0}，{W(t),t≥0}之間相互獨(dú)立.

現(xiàn)假設(shè)保險(xiǎn)公司對(duì)兩類險(xiǎn)種采取不同的再保險(xiǎn)策略，即對(duì)險(xiǎn)種1的理賠選擇自留比例為a的成數(shù)再保險(xiǎn)，對(duì)險(xiǎn)種2的理賠選擇自留額為M的超額賠款再保險(xiǎn)，則保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程與盈利過(guò)程分別為：

(2)

S(t,a,M)=U(t,a,M)-u,t≥0,

(3)

其中h(Yj)=min {Yj,M}表示險(xiǎn)種2在第j次的理賠額，Pa和PM分別為成數(shù)再保險(xiǎn)和超額賠款再保險(xiǎn)的單位時(shí)間再保費(fèi)率.假設(shè)原保險(xiǎn)公司與再保險(xiǎn)公司都是按期望值原理收取保費(fèi)，且原保險(xiǎn)、成數(shù)再保險(xiǎn)和超額賠款再保險(xiǎn)的安全負(fù)載分別為θ，θ1，θ2(θ≤θ1,θ≤θ2)，則P=(1+θ)[(λ1+λ)μ1+(λ2+λ)μ2]，Pa=(1+θ1)(1-a)(λ1+λ)μ1，PM=(1+θ2)(λ2+λ)E[(Yj-M)+].

定義3記Ta,M=inf {t|U(t,a,M)<0}為保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻，若對(duì)所有t均有U(t,a,M)>0，則Ta,M=∞； 記ψ(u,a,M)=P(Ta,M<∞|U(0)=u)，?u≥0表示最終破產(chǎn)概率.

引理1[1]盈利過(guò)程{S(t,a,M),t≥0}是一個(gè)右連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，具有如下性質(zhì)：

(1)E[S(t,a,M)]=[P-Pa-PM-(λ1+λ)E(aX)-(λ2+λ)E(h(Y))]t>0；

(2)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性；

(3)存在正數(shù)r，使得E[e-r S(t,a,M)]<+∞.

引理2對(duì)于盈利過(guò)程{S(t,a,M),t≥0}，存在函數(shù)ga,M(r)使得E[e-r S(t,a,M)]=et ga,M(r)，其中

ga,M(r)=(Pa+PM-P)r+(λ1+λ)(MX(ar)-1)+

(4)

上式中MX(r)，Mh(Y)(r)分別是X,h(Y)的矩母函數(shù).

證明總的自留理賠額的矩母函數(shù)為

E{[MX(ar)]N1[Mh(Y)(r)]N2}=E{[MX(ar)]K1[Mh(Y)(r)]K2[MX(ar)Mh(Y)(r)]K}=

E[MX(ar)]K1·E[Mh(Y)(r)]K2·E[MX(ar)Mh(Y)(r)]K=

exp{t[(λ1+λ)(MX(ar)-1)+(λ2+λ)(Mh(Y)(r)-1)+λ(MX(ar)-1)(Mh(Y)(r)-1)]}，

令E[S(a,M)]為再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)人每單位時(shí)間的期望凈利潤(rùn)，即E[S(a,M)]=P-Pa-PM-(λ1+λ)E(aX)-(λ2+λ)E(h(Y)); 又令L={(a,M): 0≤a≤1,M≥0且E[S(a,M)]>0}.

引理3對(duì)任意的(a,M)∈L，方程ga,M(r)=0在r>0內(nèi)有唯一的正解R=Ra,M，并稱此解為調(diào)節(jié)系數(shù).

λE(aXer aX)(Mh(Y)(r)-1)+λE(h(Y)er h(Y))(MX(ar)-1)+rσ2，

證明由引理1易知{U(t,a,M),t≥0}有獨(dú)立平穩(wěn)增量，又由文獻(xiàn)[5]知當(dāng){U(t,a,M),t≥0}有獨(dú)立平穩(wěn)增量時(shí)，M(t,a,M)為鞅的充要條件是E[e-Ra,MU(t,a,M)]=e-Ra,Mu.由引理2和引理3知，存在函數(shù)ga,M(r)使得E[e-Ra,MS(t,a,M)]=et ga,M(Ra,M)=1，故有E[e-Ra,MU(t,a,M)]=E[e-Ra,Mu]E[e-Ra,MS(t,a,M)]=e-Ra,Mu.證畢.

2 Lundberg不等式與最終破產(chǎn)概率

定理3對(duì)盈余過(guò)程{U(t,a,M),t≥0}，最終破產(chǎn)概率滿足下面的Lundberg不等式

ψ(u,a,M)≤e-Ra,Mu,

(5)

其中Ra,M為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)Doob’s不等式[6]及引理1—3有

e-Ra,Mu·E[e-Ra,MS(t,a,M)]=e-Ra,Mu.

令t→∞，則有

證畢.

定理4對(duì)于本文建立的模型(1)，其最終破產(chǎn)概率為

(6)

其中Ra,M為調(diào)節(jié)系數(shù).

e-Ra,Mu=E[M(t0∧Ta,M)|Ta,M≤t0]P(Ta,M≤t0)+E[M(t0∧Ta,M)|Ta,M>t0]P(Ta,M>t0)=

E[M(Ta,M)|Ta,M≤t0]P(Ta,M≤t0)+E[M(t0)|Ta,M>t0]P(Ta,M>t0).

(7)

由于對(duì)破產(chǎn)時(shí)刻Ta,M有U(Ta,M,a,M)<0，于是e-Ra,MU(Ta,M,a,M)>1，從而由(6)式得風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的破產(chǎn)概率ψ(u,a,M)≤e-Ra,Mu，亦可得定理3中(5)式的結(jié)果.

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