廣義二次函數(shù)方程在模糊賦范空間上的Hyers-Ulam穩(wěn)定性

崔哲男,王彪,趙順實,李林松*

(1.延吉市第二高級中學(xué),吉林 延吉 133000; 2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 延吉 133002)

0 引言

自從1940年Ulam[1]提出函數(shù)方程穩(wěn)定性問題以來,許多學(xué)者對該問題進行了研究并取得豐碩的研究成果[2-4].近年來A.K.Mirmostafaee,J.M.Rassias,M.Mursaleen等在模糊賦范空間上研究了函數(shù)方程的穩(wěn)定性,并取得了有意義的結(jié)果[5-8].2010年Mohammad[9]討論了廣義二次函數(shù)方程在一般賦范空間上的Hyers-Ulam穩(wěn)定性,在此基礎(chǔ)上本文進一步討論了廣義二次函數(shù)方程在模糊賦范空間上的Hyers-Ulam穩(wěn)定性.

首先給出模糊范數(shù)空間上的一些基本概念[10].

定義1設(shè)X是實線性空間,若函數(shù)N∶X×R→[0,1]滿足條件?x,x′∈X,?t,t′∈R,有:

(N1)?t≤0,N(x,t)=0;

(N2)?t>0,x=0 ?N(x,t)=1;

(N4)N(x+x′,t+t′)≥min {N(x,t),N(x′,t′)};

則稱函數(shù)N為X上的模糊范數(shù),(X,N)稱為模糊賦范線性空間.

定義3設(shè)(X,N)是模糊賦范線性空間,{xn}?X.若?ε>0,?t>0,?N∈N,使得?n≥N,?p>0,有N(xn+p-xn,t)>1-ε,則稱{xn}為(X,N)中的Cauchy列.

顯然,模糊賦范空間上的所有的收斂列都是Cauchy列.若模糊賦范空間上的每個Cauchy列都是收斂的,則稱這個模糊賦范空間是完備的,完備的模糊賦范空間稱為模糊Banach空間.

設(shè)X,Y是向量空間,函數(shù)f∶X→Y,k≥3.定義

其中xi∈X,i=1,…,k.顯然f(x)=x2滿足

Df(x1,…,xk)=0,

(1)

所以稱函數(shù)方程(1)為廣義二次函數(shù)方程,滿足廣義二次函數(shù)方程的函數(shù)稱為廣義二次函數(shù).

定理1[9]廣義二次函數(shù)方程(1)等價于f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y).

下面分兩個部分給出廣義二次函數(shù)方程的非一致廣義模糊Hyers-Ulam穩(wěn)定性定理及一致廣義模糊Hyers-Ulam穩(wěn)定性定理.

1 非一致廣義模糊Hyers-Ulam定理

(2)

則存在唯一的二次映射Q∶X→Y滿足方程(1)且

N(Q(x)-f(x),t)≥N′(φ(x,x,0,…,0),2(4-α)t),1<α<4,

(3)

N(Q(x)-f(x),t)≥N′(φ(x,x,0,…,0),2(α-4)t),α>4.

(4)

證明情況(1): 當(dāng)1<α<4時.對?n∈N,φ(2nx1,…,2nxk)=αnφ(x1,…,xk)成立,取xi=0,1≤i≤k,得φ(0,0,…,0)=αiφ(0,0,…,0)=αnφ(0,0,…,0),所以

φ(0,0,…,0)=0.

(5)

在(2)式中取xi=0,1≤i≤k,再由(5)式得N(4(1-k)f(0),t)≥N′(0,t),所以由(N2)得

f(0)=0.

(6)

在(2)式中取x1=x,x2=x,xi=0,3≤i≤k,再由(6)式得N(2f(2x)-8f(x),t)≥N′(φ(x,x,0,…,0),t),所以由(N3)得

(7)

將(7)式中x換成2ix,再由(N3)得

(8)

在(8)式中將t換成αit,再由(N4)得

(9)

在(9)式中將x換成2mx,再由(N3)得

(10)

(11)

(12)

下證唯一性.假設(shè)存在另一個二次映射Q′∶X→Y且滿足(3)式,則?n∈N,有Q(2nx)=22nQ(x),Q′(2nx)=22nQ′(x).因此有

令n→∞,則?t>0,可得N(Q(x)-Q′(x),t)=1,因此Q(x)=Q′(x).

情況(2): 當(dāng)α>4時，在(7)式中用2-nx代替x,則有

同情況(1)的方法類似可得

(13)

2 一致廣義模糊Hyers-Ulam定理

定理3設(shè)X是線性空間,(Y,N)是模糊Banach空間,函數(shù)φ∶Xk→[0,+∞)對所有的x1,x2,…,xk∈X,滿足

(14)

若函數(shù)f∶X→Y是關(guān)于函數(shù)φ模糊范數(shù)一致逼近廣義二次函數(shù)，即

(15)

(16)

證明由(15)式,?ε>0,?T>0,?t≥T,對所有的xi∈X,1≤i≤k,有

(17)

在(17)式中取xi=0,1≤i≤k,得

N(4(1-k)f(0),t φ(0,…,0))≥1-ε.

(18)

在(17)式中取x1=x2=x,xi=0,3≤i≤k,得

N(2f(2x)-8f(x)-2(2k-5)f(0),t φ(x,x,0,…,0))≥1-ε.

(19)

由(18)式和(19)式,再結(jié)合(N4)得

(20)

在(20)式中將x換成2nx,再結(jié)合(N4)得

(21)

在(21)式中取t=T,n=p,將x換成2nx，則對所有的整數(shù)n≥0,p>0,有

(22)

(23)

因此有

(24)

再令s→0即得

參考文獻：

[1]Ulam S M. Problems in Modern Mathematics[M]. New York：Interscience Pubisher,1960.

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[5]Xu T Z,Rassias J M,Xu W X. A fixed point approach to the stability of a general mixed additive-cubic functional equation in quasi fuzzy normed spaces[J]. International Journal of Physical Sciences,2011,6:313-324.

[6]Javadi S,Rassias J M. Stability of general cubic mapping in fuzzy normed spaces[J]. An St Univ Ovidius,Constanta,2012,20(1):129-150.

[7]Mirmostafaee A K. A fixed point approach to almost quadratic mapping in quasi fuzzy normed spaces[J]. Fuzzy Set Syst,2009,160:1653-1662.

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[9]Mohammad J,Rahele Sh. On solution and Hyeres-Ulam-Rassias stability of a generalized quadratic equation[J]. International Journal of Nonlinear Science,2010,10(2):231-237.

[10]Bag T,Samanta S K. Finite dimensional fuzzy normed linear spaces[J]. The Journal of Fuzzy Mathematics,2003,11(3):687-705.

[11]Ulom S M. Problems in Modern Mathematics[M]. New York: Wiley,1964.