細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)最大撓度的確定*

董冠文, 李宗義, 趙彥軍, 黃建明, 王澤蔭,楊 龍, 張慶華, 杜建霞, 趙典凱

(甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)最大撓度的確定*

董冠文, 李宗義, 趙彥軍, 黃建明, 王澤蔭,楊 龍, 張慶華, 杜建霞, 趙典凱

(甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

針對(duì)國(guó)內(nèi)工程力學(xué)教材普遍認(rèn)為細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)線(xiàn)性化方程中的撓度值不確定的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，指出其對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)線(xiàn)性化方程推導(dǎo)存在誤區(qū)，以?xún)啥算q支細(xì)長(zhǎng)壓桿為例，建立了其失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)線(xiàn)性化方程后，又考慮了壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移參數(shù)，通過(guò)消參，確定了細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)最大撓度值。結(jié)果表明：壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移以及臨界壓力的確定這兩個(gè)條件缺一不可才能在線(xiàn)性化下確定細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)最大撓度值，撓度值的大小與軸向壓力直接有關(guān)。

失穩(wěn)變形；線(xiàn)性化；撓曲線(xiàn)

1 引 言

1744年，Euler首次提出了細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形的彈性曲線(xiàn)問(wèn)題，并用橢圓積分表示了細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)方程的精確解[1]。由于壓桿失穩(wěn)會(huì)導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)的毀壞，因此保證結(jié)構(gòu)及其桿件的穩(wěn)定在工程技術(shù)中有重大意義。這就是壓桿失穩(wěn)變形理論目前應(yīng)用在許多領(lǐng)域的原因。例如，宇宙飛船的推進(jìn)器各級(jí)之間的連接桿及機(jī)器人手臂[2]，沖裁凸模長(zhǎng)度校核[17-18]等都是應(yīng)用實(shí)例。由此可見(jiàn)，Euler的杰出貢獻(xiàn)推動(dòng)了力學(xué)的發(fā)展，并使力學(xué)在許多工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)其他人還在研究梁彎曲問(wèn)題時(shí)，Euler提出了失穩(wěn)(側(cè)向彎曲)這個(gè)概念，不能不說(shuō)是一個(gè)十分超前的貢獻(xiàn)。

目前國(guó)內(nèi)工程力學(xué)(含機(jī)械專(zhuān)業(yè)使用)教材在介紹壓桿穩(wěn)定這部分內(nèi)容時(shí)，對(duì)Euler在1744年首次提出的細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)方程的精確解很少提及，主要原因是用這種精確解來(lái)計(jì)算要隨時(shí)查閱橢圓積分表，給教學(xué)帶來(lái)不便[13]。工程力學(xué)教材[3-7]采用了建立線(xiàn)性化的細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)方程的方法闡述細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)問(wèn)題。但這樣做新的問(wèn)題出現(xiàn)了，教材[3-7]認(rèn)為細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)方程中的撓度值成了不確定的常數(shù)，可以成為任意值。一些學(xué)者撰文也認(rèn)為細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)本來(lái)就是其非線(xiàn)性力學(xué)行為造成的，用線(xiàn)性化理論近似處理一個(gè)原本為非線(xiàn)性問(wèn)題是有局限的，因此線(xiàn)性化條件下不能確定撓曲線(xiàn)的撓度值[8-14]。

筆者以?xún)啥算q支細(xì)長(zhǎng)壓桿為例，建立了其失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)線(xiàn)性化方程后，并考慮壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移參數(shù)，通過(guò)消參最終首次確定了細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)最大撓度值。糾正了上述線(xiàn)性化的細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)方程不能確定撓度值的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。

2 教材中壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)線(xiàn)性化方程推導(dǎo)的誤區(qū)

一般教材都以圖1兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)形態(tài)不考慮軸向位移，桿長(zhǎng)是l，建立細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)線(xiàn)性化方程，得到撓曲線(xiàn)方程的通解為:

(1)

圖1 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)形態(tài)(不考慮軸向位移)

將左端邊界條件x=0，w=0代入式(1)得：

B=0于是式(1)變?yōu)?

(2)

再將右端的邊界條件x=l，w=0代入式(2)得:

(3)

A為不為0的常數(shù)(若A=0，w=0，不產(chǎn)生彎曲)

由式(3)得：

n=0時(shí)，w=0，不發(fā)生彎曲。n=1時(shí)，壓力F為使兩端鉸支壓桿發(fā)生未彎變形的最小力，即最小臨界壓力為:

臨界壓力對(duì)應(yīng)彎曲變形為半個(gè)正弦波曲線(xiàn)

(4)

式(1)～(4)是文獻(xiàn)[3]～[7]對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)推導(dǎo)的過(guò)程，式(4)就是按照文獻(xiàn)[3]～[7]觀點(diǎn)推導(dǎo)得到的撓曲線(xiàn)方程。

(1) 誤區(qū)之一：在式(1)～(4)文獻(xiàn)[3]～[7]微彎條件下對(duì)細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)推導(dǎo)的過(guò)程中，可發(fā)現(xiàn)圖1的撓曲線(xiàn)(撓曲線(xiàn)就是細(xì)長(zhǎng)壓桿側(cè)向彎曲的形態(tài)，所以撓曲線(xiàn)長(zhǎng)為l)在x軸投影長(zhǎng)為l，違反投影規(guī)律。

3 線(xiàn)性化細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)變形撓曲線(xiàn)方程建立

為避免上述誤區(qū)，如圖2所示設(shè)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿長(zhǎng)為l，等截面，材料均勻，承受軸向壓力F的作用，軸向壓力F嚴(yán)格作用在壓桿截面的形心上。隨著軸向壓力F的增大，桿出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，失穩(wěn)后(側(cè)向彎曲)的桿在x軸的投影長(zhǎng)度恰好比桿本身長(zhǎng)度l要短，此時(shí)壓桿兩端截面形心間產(chǎn)生了軸向位移，設(shè)其長(zhǎng)度為λ，桿在x軸的投影長(zhǎng)度為1-λ。代入將左端邊界條件x=0，w=0，得到的方程仍然為式(2)。

圖2 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)形態(tài)(考慮軸向位移)

3.1 直線(xiàn)平衡狀態(tài)

要使Fcr最小，只能取n=1，于是最終得出：

(5)

3.2 微彎平衡狀態(tài)

因?yàn)閯偠菶I是常數(shù)，由最小臨界值變形得：

(6)

代入撓曲線(xiàn)方程式(2)得：

(7)

取一階導(dǎo)數(shù)得：

(8)

下面再求圖2中的λ值，如圖3所示。

圖3 從圖2中的撓曲線(xiàn)取出長(zhǎng)為ds的微段

設(shè)沿?fù)锨€(xiàn)取一長(zhǎng)為ds的微段如圖3所示，該段在x軸的投影為dx，于是有：

(9)

(10)

將式(8)代入式(10)，同時(shí)將式(10)代入式(9)

(11)

代入撓曲線(xiàn)式(7)得:

(12)

代將式(11)代入式(12)后，再將式(5)代入得最大撓度為:

于是撓曲線(xiàn)方程為:

(13)

4 擾動(dòng)對(duì)穩(wěn)定性的影響

將其他狀態(tài)下的臨界壓力：

(14)

在與前面同樣的假設(shè)條件下，對(duì)壓桿施加擾動(dòng),要考慮縱-橫彎曲方程即：

(15)

現(xiàn)在對(duì)方程式(14)改寫(xiě)為：

將上式代入式(15)得：

這里Fn是編號(hào)為n的臨界力，得到撓曲線(xiàn)的表達(dá)式：

(16)

(17)

式(17)說(shuō)明不論擾動(dòng)mn多么小，當(dāng)F=Fn時(shí)撓度趨于無(wú)限大。事實(shí)上，將EI=Fnl2/n2π2代入式(16)，撓度恒為無(wú)限大，即平衡路徑不存在，所以只有最小臨界力才具有實(shí)際意義。

也就是說(shuō)當(dāng)FN

5 結(jié) 語(yǔ)

壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移以及臨界壓力的確定這兩個(gè)條件缺一不可才能在線(xiàn)性化下確定細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)最大撓度值，撓度值的大小與軸向壓力直接有關(guān)。在機(jī)械工程中，一些設(shè)備的桿件結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定導(dǎo)致產(chǎn)生撓曲線(xiàn)，不單純是由于軸向壓力大于最小臨界力造成的，同時(shí)也與軸向壓力大小是否保持在桿直線(xiàn)形態(tài)的范圍有關(guān)。

[1] 納什W A.[美]. 趙志剛譯.材料力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

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[3] 宋 曦，趙永剛，馬連生. 材料力學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2010.

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The Maximum Deflection Determination of Instability for Slender Columns

DONG Guan-wen, LI Zong-yi, ZHAO Yan-jun, HUANG Jian-ming, WANG Ze-yin,YANG Long, ZHANG qing-hua, DU Jian-xia, Zhao Dian-kai

(GansuMechanical&ElectricalVocationalCollege，TianshuiGansu741001，China)

Engineering mechanics teaching materials in domestic are generally accepted the fault idea that the deflection value of slender compressive bar buckling deformation flexural linearization equation is uncertain, the auther points out the buckling of slender compressive bar deformation flexural linearization equation is derived incorrectly. Taking both ends hinged slender compressive bars as an example, after established its flexural buckling deformation linearization equation, and then considering axial displacement parameters compressive bar instability on both ends of the central section, through eliminating the parameter, the maximum deflection of instability slender compressive bar is determined. Results show that axial displacement of the compressive bar instability on both ends of the central section and the critical pressure have necessary conditions to determine the maximum deflection value of slender compressive bar under the linear instability, the deflection value is directly related with the size of the axial pressure.

buckling deformation; linearization; flexural

2013-11-26

董冠文(1984-)，男，甘肅天水人，助理講師，主要從事模具結(jié)構(gòu)力學(xué)方面的教學(xué)工作。

O341

A

1007-4414(2014)01-0015-04