圓形隧道圍巖應(yīng)力和位移的統(tǒng)一塑性解

張長(zhǎng)安

(山東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院，山東濟(jì)南 250031)

隧道開(kāi)挖使圍巖應(yīng)力重分布，繼而進(jìn)入彈塑性變形狀態(tài)。隧道處于平面應(yīng)變狀態(tài)，其縱向應(yīng)力對(duì)其橫斷面內(nèi)的應(yīng)力和變形具有重要影響，即隧道存在中間主應(yīng)力 σ2效應(yīng)。目前多采用 M-C或 Hoek-Brown(H-B)強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)隧道進(jìn)行彈塑性分析[1-3]，沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力σ2的影響。在巖(土)體工程中常用的還有M-N(又稱廣義空間滑動(dòng)面 SMP)準(zhǔn)則[4]和 D-P準(zhǔn)則[5]，這2種準(zhǔn)則都不同程度地考慮了中間主應(yīng)力σ2對(duì)材料強(qiáng)度的影響。本文針對(duì)M-C準(zhǔn)則、廣義M-N準(zhǔn)則和外接圓D-P準(zhǔn)則這3種強(qiáng)度準(zhǔn)則，分析平面應(yīng)變狀態(tài)下其統(tǒng)一形式，進(jìn)而建立圓形隧道圍巖應(yīng)力和位移的統(tǒng)一塑性解，研究隧道圍巖分析的強(qiáng)度準(zhǔn)則效應(yīng)。

1 平面應(yīng)變狀態(tài)下3種強(qiáng)度準(zhǔn)則

圍巖概化為均勻、連續(xù)、各向同性的理想彈塑性材料，隧道沿縱向處于平面應(yīng)變狀態(tài)，其縱向應(yīng)力為中間主應(yīng)力。圓形隧道力學(xué)模型如圖1所示。設(shè)圓形隧道內(nèi)表面受支護(hù)力pi作用，無(wú)窮遠(yuǎn)處受等值地應(yīng)力p0作用，圖中ri和R分別為隧道半徑和圍巖塑性區(qū)半徑。以下各準(zhǔn)則表達(dá)式中材料強(qiáng)度參數(shù)均采用其抗剪強(qiáng)度參數(shù)，即圍巖的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ。

1.1 M-C準(zhǔn)則

M-C準(zhǔn)則是巖(土)體工程中應(yīng)用最廣泛的準(zhǔn)則，其表達(dá)式為

圖1 圓形隧道力學(xué)模型

可見(jiàn)，M-C準(zhǔn)則忽略了中間主應(yīng)力σ2對(duì)材料強(qiáng)度的影響，其平面極限線為不等邊六邊形，如圖2所示。

圖2 強(qiáng)度準(zhǔn)則的極限線

1.2 廣義M-N(SMP)準(zhǔn)則

廣義M-N準(zhǔn)則克服了M-C準(zhǔn)則偏平面上的奇異性和D-P準(zhǔn)則的拉壓強(qiáng)度同性，并能在一定程度上反映中間主應(yīng)力σ2效應(yīng)，其平面極限線為曲邊三角形(參見(jiàn)圖2)。平面應(yīng)變狀態(tài)下廣義M-N準(zhǔn)則的表達(dá)式為[4]

式中:

1.3 外接圓D-P準(zhǔn)則

外接圓D-P準(zhǔn)則是廣義Mises準(zhǔn)則的一種線性形式，視中間主應(yīng)力σ2與最小主應(yīng)力σ3對(duì)強(qiáng)度的影響一樣，其平面極限線為過(guò)3個(gè)廣義壓縮點(diǎn)的圓(參見(jiàn)圖2)。平面應(yīng)變狀態(tài)下外接圓D-P準(zhǔn)則的表達(dá)式為[5]

式中:

1.4 3種準(zhǔn)則統(tǒng)一形式

綜合比較式(1)—式(3)，可以發(fā)現(xiàn)在平面應(yīng)變狀態(tài)下，這3種不同強(qiáng)度準(zhǔn)則可統(tǒng)一寫成

式中，參數(shù)M為圍巖內(nèi)摩擦角φ的單參數(shù)函數(shù)，參數(shù)Y為圍巖黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ的雙參數(shù)函數(shù)。這樣就可以利用式(4)來(lái)建立圓形隧道圍巖應(yīng)力和位移的對(duì)應(yīng)計(jì)算公式，選取不同的參數(shù)M和Y，就可以方便地得到對(duì)應(yīng)不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的解。

2 圍巖應(yīng)力和位移

在圍巖塑性區(qū)內(nèi)，σ1=σθ，σ3=σr，由平衡微分方程和強(qiáng)度準(zhǔn)則式(4)，并以隧道內(nèi)邊界r=ri處σr=pi為應(yīng)力邊界條件，求得塑性區(qū)的應(yīng)力σr，σθ分別為

圍巖彈性區(qū)的應(yīng)力、位移u分別為[2]

式中:E，ν分別為圍巖的彈性模量、泊松比;py為圍巖臨界支護(hù)力。

在彈塑性交界r=R處，圍巖彈性區(qū)的應(yīng)力滿足強(qiáng)度準(zhǔn)則式(4)，且r=R處的徑向應(yīng)力σr連續(xù)，則得圍巖臨界支護(hù)力py和塑性區(qū)半徑R分別為

當(dāng)支護(hù)力pi小于py時(shí)，圍巖進(jìn)入彈塑性變形狀態(tài)。在圍巖塑性區(qū)內(nèi)，ε1= εθ，ε3= εr，假定塑性區(qū)體積應(yīng)變?yōu)?，即

平面應(yīng)變對(duì)應(yīng) εz=0，將 εr=du/dr，εθ=u/r代入式(8)，并以圍巖彈塑性交界r=R處的位移uR為邊界條件，求得塑性區(qū)位移為

由式(6b)和式(9a)可以看出，此時(shí)塑性區(qū)和彈性區(qū)的位移表達(dá)式完全一樣，只是式(6b)適用于r＞R的彈性區(qū)，式(9a)適用于ri≤r＜R的塑性區(qū)。

式(5)和式(9)即為圓形隧道圍巖開(kāi)挖時(shí)基于3種不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的應(yīng)力和位移的統(tǒng)一塑性解。選取不同的參數(shù)M和Y，就可以得到不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則下隧道圍巖應(yīng)力和位移的具體計(jì)算式，應(yīng)用非常方便。文獻(xiàn)[3]的M-C準(zhǔn)則解以及文獻(xiàn)[4]的廣義M-N準(zhǔn)則解均是本文推導(dǎo)的統(tǒng)一塑性解的特例。

3 算例分析

主要探討不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)隧道圍巖應(yīng)力和位移的影響，取隧道半徑 ri=1.0 m，c=1.73 MPa，φ =25°，ν =0.3，E=1.0 GPa，初始地應(yīng)力 p0=10 MPa。

不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的出發(fā)點(diǎn)不同，對(duì)中間主應(yīng)力σ2影響的處理也不同，因而同一問(wèn)題采用不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算，其對(duì)應(yīng)結(jié)果常有差異。選取不同的參數(shù)M和Y，圖3、圖4分別對(duì)比了這3種準(zhǔn)則計(jì)算的應(yīng)力分布、塑性位移分布。

圖3 應(yīng)力分布

圖4 塑性位移分布

由式(7)可以得出對(duì)應(yīng)M-C準(zhǔn)則、廣義M-N準(zhǔn)則和外接圓D-P準(zhǔn)則的圍巖塑性區(qū)半徑R分別為1.68，1.43和1.19 m，反映在圖3切向應(yīng)力σθ的峰值位置以及圖4塑性區(qū)位移終點(diǎn)的不斷前移。這都說(shuō)明不同強(qiáng)度準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)明顯不同的應(yīng)力和位移分布，隧道圍巖應(yīng)力和位移的強(qiáng)度準(zhǔn)則效應(yīng)顯著。同時(shí)，M-C準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)范圍和位移最大，切向應(yīng)力σθ峰值最小;外接圓D-P準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)范圍和位移最小，切向應(yīng)力σθ峰值最大;廣義M-N準(zhǔn)則的結(jié)果則處于二者之間。

上述不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果間的差異實(shí)際反映的是不同準(zhǔn)則對(duì)中間主應(yīng)力σ2效應(yīng)處理的差異，隨著巖體中間主應(yīng)力σ2效應(yīng)的增加，巖體強(qiáng)度提高，對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)范圍和位移減小，保持圍巖穩(wěn)定所能承受的切向應(yīng)力增大。這說(shuō)明不考慮中間主應(yīng)力σ2影響的M-C準(zhǔn)則過(guò)于保守，考慮中間主應(yīng)力σ2可以充分發(fā)揮巖體的強(qiáng)度潛能和自承載能力。另外，中間主應(yīng)力σ2對(duì)巖體強(qiáng)度的提高作用不如第三主應(yīng)力σ3的作用明顯。外接圓D-P準(zhǔn)則視中間主應(yīng)力σ2和第三主應(yīng)力σ3的影響一樣，高估了σ2的提高作用，同時(shí)也不能反映巖土材料拉壓異性、應(yīng)力Lode角效應(yīng)等基本力學(xué)特性，因而在隧道圍巖分析中應(yīng)用外接圓D-P準(zhǔn)則需謹(jǐn)慎，應(yīng)優(yōu)先選用合理考慮中間主應(yīng)力σ2效應(yīng)的廣義M-N準(zhǔn)則。

4 結(jié)論

1)分析可知平面應(yīng)變狀態(tài)下M-C準(zhǔn)則、廣義M-N準(zhǔn)則和外接圓D-P準(zhǔn)則具有統(tǒng)一的表達(dá)式，進(jìn)而得到不同強(qiáng)度準(zhǔn)則下圓形隧道圍巖的應(yīng)力和位移的統(tǒng)一塑性解。已有的M-C準(zhǔn)則解以及廣義M-N準(zhǔn)則解均是本文推導(dǎo)的統(tǒng)一塑性解的特例。

2)圍巖應(yīng)力和位移的強(qiáng)度準(zhǔn)則效應(yīng)顯著，本質(zhì)是不同準(zhǔn)則對(duì)中間主應(yīng)力σ2效應(yīng)的處理不同，考慮中間主應(yīng)力σ2可以充分發(fā)揮巖體的強(qiáng)度潛能和自承載能力。M-C準(zhǔn)則過(guò)于保守，外接圓D-P準(zhǔn)則應(yīng)用需謹(jǐn)慎，應(yīng)優(yōu)先選用廣義M-N準(zhǔn)則。

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