行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式

李秀格

摘要：對行對稱矩陣的QR分解進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上給出了求行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式，并給出了證明。將QR分解方法應(yīng)用于該類行對稱矩陣的廣義逆的求解過程，既利用了QR分解保證足夠的精度，又可大大降低求解一類具有該結(jié)構(gòu)矩陣的廣義逆的計(jì)算量和存儲量。

關(guān)鍵詞：行對稱矩陣；QR分解；廣義逆

中圖分類號：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）17-4137-03

Fast Calculating Formula for Generalized Inverse of Row Symmetric Matrices

LI Xiu-ge

（Department of Information，Liaoning University，Shenyang 110036， China）

Abstract： The QR factorization of row symmetric matrices is studied，and on this basis an fast calculating formula for generalized inverse of row symmetric matrices is obtained and the proof of that formula is also given，all of which can dramatically reduce the amount of calculation and save the CPU time and memory for generalized inverse of row symmetric matrices，without loss of any numerical precision by the QR factorization.

Key words： row symmetric matrices；QR factorization； generalized inverse

1 概述

廣義逆矩陣的理論和方法廣泛應(yīng)用于數(shù)值分析、最小二乘問題、非線性問題、網(wǎng)絡(luò)問題、統(tǒng)計(jì)問題和無約束（約束）隨機(jī)規(guī)劃問題等領(lǐng)域。很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，均可轉(zhuǎn)化為線性問題，進(jìn)而利用矩陣進(jìn)行求解。該文中我們針對k次行對稱矩陣的特點(diǎn)，將QR分解方法應(yīng)用于該類行對稱矩陣的廣義逆的求解過程，與以往算法相比，該方法可降低求解一類具有該結(jié)構(gòu)矩陣的廣義逆的計(jì)算量和存儲量。

本文用[AH]表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，[Cm×n]表示[m×n]復(fù)矩陣集，[J∈Rm×m]為單位反對角矩陣（即反對角線上的元素全為1而其它元素全為0的矩陣）。

2 基本概念

定義1 （行對稱矩陣）[1] 令[A∈Cm×n]為任意給定的復(fù)矩陣，k為任意給定的正整數(shù)。定義矩陣[RA；J1，J2，…，Jk-1]為

[RA；J1，J2，…，Jk-1=A0A1?Ak-1∈Ckm×n]，

其中[A0=A，Ai=JiA，i=1，2，…，k-1]。矩陣[RA；J1，J2，…，Jk-1]稱為A的k次行對稱矩陣，A稱為它的母矩陣。

若[J1=J2=…=Jk-1=J]，則行對稱矩陣[RA；J1，J2，…，Jk-1]可簡記為[RkA；J]，[RkA；J]稱為[k]次行周期對稱矩陣。

定義2 （廣義逆）[2] 對任意一個(gè)[m×n]矩陣A，Penrose用下面的四個(gè)方程定義A的廣義逆：

1） [AXA=A]，

2） [XAX=X]，

3） [AXH=AX]，

4） [XAH=XA].

對任意[A∈Cm×n]，滿足上面四個(gè)方程的矩陣X是唯一的，稱矩陣X為矩陣A的廣義逆，簡記為[A+]。

基本性質(zhì)：

（a）對任意矩陣A，[A+]存在且唯一。

（b）對任意矩陣A，若A可逆，則[A-H=AH-]。

（c）對任意矩陣A，[A++=A]。

（d）對任意矩陣A，[AHH=A]。

定義3 （復(fù)矩陣的QR分解）[12] 設(shè)[A∈Cm×nm≥n]，[Q∈Cm×n]為酉矩陣，使得

[QHA=R0]，

其中[R]為[n×n]上三角矩陣，則稱此式為[A]的[QR]分解。

3 行對稱矩陣的QR分解

定理1 （k次行對稱矩陣的QR分解）[1] 設(shè)[A∈Cm×nm≥n]，[Q0∈Cm×n]為酉矩陣，使得

[Q0HA=R00]，

其中[R0]為[n×n]上三角矩陣。令

[Q=λ11Q0λ21Q0…λk1Q0λ12J1Q0λ22J1Q0…λk2J1Q0??…?λ1kJk-1Q0λ2kJk-1Q0…λkkJk-1Q0∈Ckm×km]，

則[Q]為[km×km]酉矩陣，滿足

[QHRA；J1，J2，…，Jk-1=kR00]。

其中 [λijk×k=1k1k1k…1k11×2-11×20…012×312×3-22×3…0????1k-1×k1k-1×k1k-1×k…-k-1k-1×k]

為[k×k]正交矩陣，k為一正整數(shù)。

推論1（k次行周期對稱矩陣的QR分解） [1] 前提條件同定理1，則k次行周期對稱矩陣[RkA；J]存在一個(gè)QR分解

[QHRkA；J=kR00]

4 基于行對稱矩陣的上述QR分解求其廣義逆

引理（復(fù)矩陣的廣義逆） 設(shè)[A∈Cm×nm≥n]，[Q0∈Cm×n]為酉矩陣，使得[Q0HA=R00]，則可求得A的廣義逆： [A+=R-00?QH0]。endprint

證明：由基本性質(zhì)（1）易知，[A+]不僅存在而且唯一。因?yàn)閇R0]為上三角矩陣，所以[R0]非奇異，[R0]的逆一定存在，且[R-00?R00=E]。因?yàn)閇Q0]為酉矩陣，所以[QH0?Q0=E]。下證[A+]滿足Penrose方程：

[A?A+?A=Q0R00?R-00?QH0?Q0R00=Q0R00?E=Q0R00=A]

[A+?A?A+=R-00?QH0?Q0R00?R-00?QH0=E?R-00?QH0=R-00?QH0=A+]

[A?A+H=Q0R00?R-00?QH0H=Q0?E000?Q0HH=Q0?E000H?Q0H=Q0?E000?Q0H=Q0R00?R-00?QH0=A?A+]

[A+?AH=R-00?QH0?Q0R00H=EH=E=R-00?QH0?Q0R00=A+?A]

證畢。

定理2（k次行對稱矩陣的廣義逆） 前提條件同定理1，[A∈Cm×n]的k次行對稱矩陣可作如下QR分解：

[RA；J1，J2，…，Jk-1=Q?kR00]

則其廣義逆為：[RA；J1，J2，…，Jk-1+=1k?R0-0?QH]

證明：因?yàn)閇Q0]為酉矩陣，所以[QH0?Q0=E]。因?yàn)閇Q0HA=R00]，

所以[RA；J1，J2，…，Jk-1+=Q?kR00+=kQ?R00+=kQ?Q0HA+][=1k?A+?Q0?QH=1k?R-00?QH0?Q0?QH=1kR0-0?QH]

證畢。

推論2（k次行周期對稱矩陣的廣義逆） 由推論1及定理2易得到k次行周期對稱矩陣[RkA；J]的廣義逆為：

[RkA；J+=1k?R0-0?QH].

5 數(shù)值示例

求行對稱矩陣[RA；J=011110101101]的廣義逆。

解：

計(jì)算[A]的QR分解為：[Q0=026-1312161312-16-13]

[R0=212036]

產(chǎn)生一個(gè)[2×2]正交矩陣[λij2×2]： [λij2×2=121211×2-11×2]

計(jì)算正交矩陣[Q]：[Q=12Q0Q0JQ0JQ0=013-16013-161212316121231612-123-1612-123-1612-123-16-12123161212316-12-123-16013-160-1316]

[R=2R00=210300000000]

計(jì)算[R0]的逆： [R-0=12-16063]

計(jì)算共軛轉(zhuǎn)置矩陣： [QH=012121212013123-123-12312313-1616-16-1616-1601212-12-12013123-123123-123-13-1616-1616-1616]

據(jù)（1）式得[RA；J+=12?R0-0?QH=-1616131316-161316-16-161613]

6 結(jié)束語

本文對k次行對稱矩陣及其廣義逆的概念和性質(zhì)進(jìn)行了推廣，并在對行對稱矩陣進(jìn)行QR分解的基礎(chǔ)上給出了求行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式。最后舉例說明了求解一類具有該結(jié)構(gòu)矩陣的廣義逆的計(jì)算過程，利用公式直接求解大大降低了求解該類行對稱矩陣的廣義逆的計(jì)算量和存儲量。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.行（或列）對稱矩陣的QR分解[J].中國科學(xué)（A輯），2002，32（9）：843-845.

[2] 王松桂，楊振海. 廣義逆矩陣及其應(yīng)用[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[3] Golub G H，van Loan CF.Matrix Computations[M].Baltimore，Maryland：Johhns Hopkins University Press，1983.endprint

證明：由基本性質(zhì)（1）易知，[A+]不僅存在而且唯一。因?yàn)閇R0]為上三角矩陣，所以[R0]非奇異，[R0]的逆一定存在，且[R-00?R00=E]。因?yàn)閇Q0]為酉矩陣，所以[QH0?Q0=E]。下證[A+]滿足Penrose方程：

[A?A+?A=Q0R00?R-00?QH0?Q0R00=Q0R00?E=Q0R00=A]

[A+?A?A+=R-00?QH0?Q0R00?R-00?QH0=E?R-00?QH0=R-00?QH0=A+]

[A?A+H=Q0R00?R-00?QH0H=Q0?E000?Q0HH=Q0?E000H?Q0H=Q0?E000?Q0H=Q0R00?R-00?QH0=A?A+]

[A+?AH=R-00?QH0?Q0R00H=EH=E=R-00?QH0?Q0R00=A+?A]

證畢。

定理2（k次行對稱矩陣的廣義逆） 前提條件同定理1，[A∈Cm×n]的k次行對稱矩陣可作如下QR分解：

[RA；J1，J2，…，Jk-1=Q?kR00]

則其廣義逆為：[RA；J1，J2，…，Jk-1+=1k?R0-0?QH]

證明：因?yàn)閇Q0]為酉矩陣，所以[QH0?Q0=E]。因?yàn)閇Q0HA=R00]，

所以[RA；J1，J2，…，Jk-1+=Q?kR00+=kQ?R00+=kQ?Q0HA+][=1k?A+?Q0?QH=1k?R-00?QH0?Q0?QH=1kR0-0?QH]

證畢。

推論2（k次行周期對稱矩陣的廣義逆） 由推論1及定理2易得到k次行周期對稱矩陣[RkA；J]的廣義逆為：

[RkA；J+=1k?R0-0?QH].

5 數(shù)值示例

求行對稱矩陣[RA；J=011110101101]的廣義逆。

解：

計(jì)算[A]的QR分解為：[Q0=026-1312161312-16-13]

[R0=212036]

產(chǎn)生一個(gè)[2×2]正交矩陣[λij2×2]： [λij2×2=121211×2-11×2]

計(jì)算正交矩陣[Q]：[Q=12Q0Q0JQ0JQ0=013-16013-161212316121231612-123-1612-123-1612-123-16-12123161212316-12-123-16013-160-1316]

[R=2R00=210300000000]

計(jì)算[R0]的逆： [R-0=12-16063]

計(jì)算共軛轉(zhuǎn)置矩陣： [QH=012121212013123-123-12312313-1616-16-1616-1601212-12-12013123-123123-123-13-1616-1616-1616]

據(jù)（1）式得[RA；J+=12?R0-0?QH=-1616131316-161316-16-161613]

6 結(jié)束語

本文對k次行對稱矩陣及其廣義逆的概念和性質(zhì)進(jìn)行了推廣，并在對行對稱矩陣進(jìn)行QR分解的基礎(chǔ)上給出了求行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式。最后舉例說明了求解一類具有該結(jié)構(gòu)矩陣的廣義逆的計(jì)算過程，利用公式直接求解大大降低了求解該類行對稱矩陣的廣義逆的計(jì)算量和存儲量。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.行（或列）對稱矩陣的QR分解[J].中國科學(xué)（A輯），2002，32（9）：843-845.

[2] 王松桂，楊振海. 廣義逆矩陣及其應(yīng)用[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[3] Golub G H，van Loan CF.Matrix Computations[M].Baltimore，Maryland：Johhns Hopkins University Press，1983.endprint

證明：由基本性質(zhì)（1）易知，[A+]不僅存在而且唯一。因?yàn)閇R0]為上三角矩陣，所以[R0]非奇異，[R0]的逆一定存在，且[R-00?R00=E]。因?yàn)閇Q0]為酉矩陣，所以[QH0?Q0=E]。下證[A+]滿足Penrose方程：

[A?A+?A=Q0R00?R-00?QH0?Q0R00=Q0R00?E=Q0R00=A]

[A+?A?A+=R-00?QH0?Q0R00?R-00?QH0=E?R-00?QH0=R-00?QH0=A+]

[A?A+H=Q0R00?R-00?QH0H=Q0?E000?Q0HH=Q0?E000H?Q0H=Q0?E000?Q0H=Q0R00?R-00?QH0=A?A+]

[A+?AH=R-00?QH0?Q0R00H=EH=E=R-00?QH0?Q0R00=A+?A]

證畢。

定理2（k次行對稱矩陣的廣義逆） 前提條件同定理1，[A∈Cm×n]的k次行對稱矩陣可作如下QR分解：

[RA；J1，J2，…，Jk-1=Q?kR00]

則其廣義逆為：[RA；J1，J2，…，Jk-1+=1k?R0-0?QH]

證明：因?yàn)閇Q0]為酉矩陣，所以[QH0?Q0=E]。因?yàn)閇Q0HA=R00]，

所以[RA；J1，J2，…，Jk-1+=Q?kR00+=kQ?R00+=kQ?Q0HA+][=1k?A+?Q0?QH=1k?R-00?QH0?Q0?QH=1kR0-0?QH]

證畢。

推論2（k次行周期對稱矩陣的廣義逆） 由推論1及定理2易得到k次行周期對稱矩陣[RkA；J]的廣義逆為：

[RkA；J+=1k?R0-0?QH].

5 數(shù)值示例

求行對稱矩陣[RA；J=011110101101]的廣義逆。

解：

計(jì)算[A]的QR分解為：[Q0=026-1312161312-16-13]

[R0=212036]

產(chǎn)生一個(gè)[2×2]正交矩陣[λij2×2]： [λij2×2=121211×2-11×2]

計(jì)算正交矩陣[Q]：[Q=12Q0Q0JQ0JQ0=013-16013-161212316121231612-123-1612-123-1612-123-16-12123161212316-12-123-16013-160-1316]

[R=2R00=210300000000]

計(jì)算[R0]的逆： [R-0=12-16063]

計(jì)算共軛轉(zhuǎn)置矩陣： [QH=012121212013123-123-12312313-1616-16-1616-1601212-12-12013123-123123-123-13-1616-1616-1616]

據(jù)（1）式得[RA；J+=12?R0-0?QH=-1616131316-161316-16-161613]

6 結(jié)束語

本文對k次行對稱矩陣及其廣義逆的概念和性質(zhì)進(jìn)行了推廣，并在對行對稱矩陣進(jìn)行QR分解的基礎(chǔ)上給出了求行對稱矩陣廣義逆的快速求解公式。最后舉例說明了求解一類具有該結(jié)構(gòu)矩陣的廣義逆的計(jì)算過程，利用公式直接求解大大降低了求解該類行對稱矩陣的廣義逆的計(jì)算量和存儲量。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄒紅星，王殿軍，戴瓊海，等.行（或列）對稱矩陣的QR分解[J].中國科學(xué)（A輯），2002，32（9）：843-845.

[2] 王松桂，楊振海. 廣義逆矩陣及其應(yīng)用[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

[3] Golub G H，van Loan CF.Matrix Computations[M].Baltimore，Maryland：Johhns Hopkins University Press，1983.endprint