差分方程在高中數(shù)列教學(xué)中的應(yīng)用

張國勇

【摘要】關(guān)于差分方程的研究我們要先從它的發(fā)展歷史說起，差分方程是在微分方程誕生之后產(chǎn)生的。因此人們是先研究了微分方程然后才開始研究差分方程的。而這些都是在微積分發(fā)明之后才出現(xiàn)的。從大的方向來說它是從函數(shù)方程演變過來的，因此其與函數(shù)方程有著緊密的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】差分方程高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)應(yīng)用研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0154-02

從差分方程發(fā)展的歷史進(jìn)程來看首先要從函數(shù)方程說起，由于函數(shù)方程在理論研究方面的復(fù)雜性，因此在最近的兩百年來的發(fā)展極其緩慢。直到二十世紀(jì)初隨著第一次工業(yè)革命的進(jìn)一步發(fā)展和第二次工業(yè)革命在科學(xué)技術(shù)方面的迅猛發(fā)展，人們才發(fā)現(xiàn)函數(shù)方程在許多生產(chǎn)和科研領(lǐng)域的有非常重要的作用，因此從二十世紀(jì)初開始其發(fā)展在理論上非常迅速，并迅速地推動了科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步。尤其是在航天技術(shù)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)方面的應(yīng)用和推廣直接推動了人類文明爆炸性的發(fā)展。本文主要從蘇教版的高中數(shù)學(xué)方面對其進(jìn)行分析和討論。目前對差分方程的教學(xué)研究主要集中在解的定性結(jié)構(gòu)分析方面。

一、從差分方程在高中教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析

當(dāng)前對差分方程的研究主要是在精確解的定性結(jié)構(gòu)方面，下面主要是從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方面來對差分方程進(jìn)行分析：

（一）從其在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)地位方面進(jìn)行分析

為了推動新一輪高中數(shù)學(xué)的課程改革，國務(wù)院先后發(fā)布一系列重要的文件。在新課改的方案中既強(qiáng)調(diào)了各個(gè)教學(xué)模塊的獨(dú)立性也同時(shí)強(qiáng)點(diǎn)了各個(gè)模塊之間的邏輯關(guān)聯(lián)性。高中數(shù)學(xué)在課程內(nèi)容安排上分為選修和必修兩個(gè)部分。必修的課程內(nèi)容是高考的重點(diǎn)，而選修的課程則是根據(jù)學(xué)生的未來發(fā)展方向和興趣愛好設(shè)置的，許多高中數(shù)學(xué)選修的內(nèi)容都是大學(xué)里面高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。這主要是為了學(xué)日后的深造奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)的選修主要分為四個(gè)系列，其中差分方程被列入了選修系列四。選修系列四的課程內(nèi)容主要是針對有良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的和期望在數(shù)學(xué)方面進(jìn)行長期發(fā)展的學(xué)生設(shè)置的。這也是將高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)連接一個(gè)教學(xué)延伸。

（二）從其在生產(chǎn)生活領(lǐng)域應(yīng)用的分析

隨著信息技術(shù)的進(jìn)一步的發(fā)展，差分方程在理工和經(jīng)濟(jì)方面的范圍逐步廣泛，同時(shí)其在理工和經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用程度也不斷加深。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上設(shè)置這些內(nèi)容可以使學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)的實(shí)用性。使他們提高對數(shù)學(xué)的興趣。差分方程是中學(xué)遞歸序列知識的提升和系統(tǒng)化。其在很大程度上直接推動了高中數(shù)學(xué)的建設(shè)進(jìn)而發(fā)展。尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)建模方面的發(fā)展。主要目的是為了培養(yǎng)其在實(shí)際問題分析方面的能力。差分方程與數(shù)列是高中數(shù)學(xué)新課程中重要的內(nèi)容。因?yàn)槠渚哂衅瘘c(diǎn)低、終點(diǎn)高、技巧性強(qiáng)，難度大和直觀性弱的特點(diǎn)。因此其學(xué)習(xí)難度比較大。因此其在最近幾年的高考中被作為壓軸題，大部分都是解差分方程的內(nèi)容。為了使學(xué)生掌握一些用離散變量解決基本問題的方法，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材在選修內(nèi)容上做了具體的規(guī)劃。

差分方程與數(shù)列的極值、增減和函數(shù)圖象的凹凸變化：

例：在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x這兩個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0＜x1＜x2＜1時(shí)，使f=■＞■恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

解：已知，滿足f■＞■性質(zhì)的是凸函數(shù)，而在（0，1）為凸函數(shù)的有y=Log2x,而y=2x，y=x2為（0,1）上的凹函數(shù)，y=cos2x在（0，90°]為凸函數(shù)，（90°，1]為凹函數(shù)，所以這題的正確答案是B選項(xiàng)。

（1）接著是學(xué)習(xí)一些差分方程的基本知識，這主要就包括一階性差分方程和二元一階性差分方程組的知識，這就包括數(shù)學(xué)建模、接等差數(shù)列以及通解關(guān)系和通解公式，使學(xué)生在具體的實(shí)例中認(rèn)識并了解一些描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，了解一階線性差分方程的通解和特解，會用迭代法求一階線性差分方程組的解，對給定的方程組會求出極值并描繪其線性變化等方面的能力。

例如：已知數(shù)列{an}中，a1=0,an+1=an+2n-1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

解： ∵an+1=an+2n-1

∴an+1-an=2n-1

∴a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1）

=0+1+3+5+…+（2n-3)=■[1+(2n-3)](n-1)=(n-1)2

又∵a1=0=(1-1)2

∴an=(n-1)2

（2）通過與實(shí)際生活中密切相關(guān)的實(shí)例體會差分方程數(shù)學(xué)模型的實(shí)用性。如企業(yè)經(jīng)營狀況和人口增長，工程進(jìn)度等生產(chǎn)實(shí)例來進(jìn)行解釋。是抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，生動化。例如以某個(gè)人的住房公積金為例利用差分方程對其進(jìn)行分析。例如：張先生在去年買了一套三室一廳的房子，銀行工作人員告訴他如果利用住房公積金貸款在十年內(nèi)還清，每個(gè)月的利率是0.36%，張先生想貸款十萬元，利用差分方程計(jì)算張先生每個(gè)月要還銀行多少錢？

解：設(shè)Xk為K月末欠銀行的金額，十年內(nèi)月利率為I,每個(gè)月還款額為A，貸款額度為L，下一個(gè)月月末欠銀行的金額加上一個(gè)月的利息并減去當(dāng)月的還款額。

即： XK+1=XK+I?鄢XK-A,或XK+1=XK(1+I)-A,K=1,2,…120,

這是一個(gè)一階線性差分方程。

∴XK=(1+I)K?鄢C+■,其中C是待定常數(shù),

注意到其中X0是表示最初欠銀行的錢，即X0=L,

代入得L=C+■，解C=L-■，

∴XK=(1+I)K?鄢(L-A/I）+■=L(1+L)K+■[1-(1-I)K]

假設(shè)在K個(gè)月月末全部還清貸款，即成立 XK=0，應(yīng)有：

L（1+L)K+■[1-(1+L）K]=0

∴A=■

這就是計(jì)算每個(gè)月還款的公式。

所以張先生的住房公積金貸款計(jì)算過程就是：

已知L=100000（元），K=120個(gè)月，I=0.00036，代入數(shù)據(jù)計(jì)算式：A=■≈■≈1020.77（元）

所以張先生在十年內(nèi)每個(gè)月向銀行要還1020.77元錢。

（3）在學(xué)習(xí)應(yīng)用方面主要是為了讓學(xué)生通過初步的學(xué)習(xí)能夠

運(yùn)用差分方程和差分方程組解決實(shí)際問題的能力，并使其感受到連續(xù)變量與離散的思想。使學(xué)生對數(shù)列與差分方程的結(jié)構(gòu)由一個(gè)步了解到更深層次的認(rèn)識。鼓勵學(xué)生提高用差分方程建立數(shù)學(xué)方程式和數(shù)學(xué)模型的能力，因?yàn)橛貌罘址匠剃P(guān)系式建立數(shù)學(xué)模型是學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決社會實(shí)際問題的重要前提和思想基礎(chǔ)，結(jié)合實(shí)際問題探討解意義的能力。在教學(xué)過程中還應(yīng)將差分方程與導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和概念進(jìn)行比較，使學(xué)生進(jìn)一步感受到差分方程含義的作用和意義。初步了解將連續(xù)變量進(jìn)行離散化的思想。

二、從差分方程在高考和競賽方面的分析

（一）從高考方面進(jìn)行分析

（1）由于差分方程是解決許多實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)，因此近年來一直都是高考的必考內(nèi)容。差分方程是描述離散變量變化的重要工具，因此在高考中主要考在運(yùn)算、思維、邏輯推理、實(shí)踐能力和分析解決問題方面的能力。作為離散函數(shù)典型模型的內(nèi)容也包含其中，而且差分方程的相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)在許多版本的高中數(shù)學(xué)教材中唄編入了選修的專題，蘇教版的高中數(shù)學(xué)教材和這也差不多。這是高中數(shù)學(xué)課程的良好延伸，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)與大學(xué)高等數(shù)學(xué)的良好銜接。這將十分有利于提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的使用和實(shí)踐能力。例如：

已知數(shù)列{an}中，a1=1,an=■an-1+1,n=1,2…求an

解：an=■an-1+1,得an-2=■（an-1-2）

又∵a1-2=-1≠0

所以數(shù)列{an-2}是首項(xiàng)為-1，公比為■的等比數(shù)列

∴an-2=-1×（■）n-1

∴an=2-21-n,n∈N+

（二）從高中數(shù)學(xué)競賽方面進(jìn)行分析

近幾年來針對高中數(shù)學(xué)的學(xué)科知識競賽項(xiàng)目特別多，有許多還成為了學(xué)生進(jìn)入名牌大學(xué)的敲門磚。因此在教學(xué)過程中通常許多教育工作者會把差分方程與數(shù)列的使用作為教學(xué)工作和學(xué)科研究的重點(diǎn)的。

三、從教學(xué)運(yùn)用和理論方面進(jìn)行分析

(一)從運(yùn)用差分方程求解數(shù)列問題的方面分析

我國在高中數(shù)學(xué)差分方程教學(xué)應(yīng)用方面從1992年開始至今已經(jīng)取得了許多理論性的進(jìn)展。這對我國近年來的高中數(shù)學(xué)教材改革有著非常重要的指導(dǎo)作用和參考價(jià)值。這研究重要集中用在求和、近似計(jì)算以及遞推數(shù)列等數(shù)學(xué)方面的教學(xué)性問題。

（二）從用差分方程解決數(shù)列應(yīng)用問題的分析

由于差分方程的運(yùn)用范圍特別廣泛，尤其是數(shù)學(xué)建模，這就吸引了許多學(xué)者對其進(jìn)行研究。其中就有在2007年由王樹忠李冬梅兩人共同編著的《數(shù)學(xué)建?！吩敿?xì)解釋了數(shù)學(xué)建模的具體步驟。在《數(shù)學(xué)建?！芬粫袑＞唧w步驟的描述是：建模準(zhǔn)備→模型假設(shè)→模型建立→模型求解→模型分析等一共五個(gè)步驟。這些都在很大程度上進(jìn)一步強(qiáng)化了數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活領(lǐng)域的實(shí)用性作用。

總之，近年來對于數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)生活和科研方面的研究日趨廣泛，并在理論研究方面逐漸成熟。并迅速影響了國家在教育方面的改革，尤其是對高考的改革。

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