基于內(nèi)外部表征的數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題分析

葉 晶，陳清華

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基于內(nèi)外部表征的數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題分析

葉 晶，陳清華

（福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建福州 350007）

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決過程中，學(xué)生對問題表征方式的不同將影響學(xué)生對解題策略的選擇．表征分為內(nèi)部表征與外部表征，外部表征對應(yīng)用題解決的影響因素包括文字表征、符號表征、圖表表征、背景表征等；內(nèi)部表征對應(yīng)用題解決的影響因素包括概念表征、命題表征、概念圖表征以及圖式表征等．兩種表征具有不同的結(jié)構(gòu)及特征，對應(yīng)用題的解決具有不同的機制，通過內(nèi)外部表征兩個方面對高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的分析，認(rèn)識內(nèi)外部表征對應(yīng)用題解決的具體作用．

數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題；內(nèi)部表征；外部表征

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中提到：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力．”應(yīng)用題以實際生活為背景，將數(shù)學(xué)知識生活化與實際問題數(shù)學(xué)化結(jié)合在一起．為體現(xiàn)這一課程基本理念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，高考試題中經(jīng)常以應(yīng)用題的形式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．

Mayer曾經(jīng)提出數(shù)學(xué)問題解決的兩個重要成分：問題表征和解決計劃的執(zhí)行．問題的表征方式以及問題的正確表征對解決計劃的選取產(chǎn)生影響．由于應(yīng)用題的普遍特點是題干較長、信息量大，而且需要學(xué)生建模，因此在數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決過程中，學(xué)生需要將問題進(jìn)行表征以簡化問題并找到適當(dāng)?shù)慕忸}策略，故表征在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決過程中發(fā)揮重要作用．

美國現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙認(rèn)為：“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的．”

王兄提出：“在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，大部分工作是創(chuàng)建和完善表征系統(tǒng)，而數(shù)學(xué)教學(xué)的目的則大多是關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)運用這些表征及以此為工具來解決數(shù)學(xué)問題．”

一般地，表征指的是用一種形式（物理的或心理的），將一種事、物、想法、知識重新表現(xiàn)出來，是學(xué)習(xí)者對信息的加工、建構(gòu)以及儲存的方式．Zhang將表征分為內(nèi)部表征和外部表征，傳統(tǒng)理論認(rèn)為表征指的就是內(nèi)部表征，或者很少將外部表征從內(nèi)部表征中區(qū)分出來．通過Tic-Tac-Toe游戲，他認(rèn)為外部表征不僅僅是對內(nèi)部意識的輸入和刺激，也不僅僅是記憶助手；對于很多任務(wù)來說，外部表征是固有的元素，問題的外部表征方式對問題的解決產(chǎn)生影響，這種影響并不一定要通過內(nèi)部表征實現(xiàn)．

下面將從外部表征與內(nèi)部表征兩個方面對高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)行分析．

1 外部表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

Zhang提出外部表征的定義，他認(rèn)為外部表征是情境的知識和結(jié)構(gòu)，包括物理符號、物體、維度、外部規(guī)則、限制條件以及根植于物理結(jié)構(gòu)中的關(guān)系．

1.1 文字表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

Mayer曾經(jīng)提出解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的4個一般性認(rèn)知過程，其中第一個過程是問題轉(zhuǎn)譯．問題轉(zhuǎn)譯指的是將問題的陳述性描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題．研究者認(rèn)為這是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題最關(guān)鍵的一步，因為對試題所給信息進(jìn)行理解、翻譯及外部表征是制定計劃的基礎(chǔ)，表征的正確與否決定采取策略的正確與否．

例1 （2012年高考江蘇卷理·17）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo)．

（Ⅰ）求炮的最大射程；

（Ⅱ）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

【解析】本題已給出炮彈發(fā)射后的曲線方程及對應(yīng)的函數(shù)圖象，第（Ⅰ）問求炮的最大射程，學(xué)生可以表征為曲線與軸相交的兩個交點之間的距離；第（Ⅱ）問中，學(xué)生根據(jù)題目要求將飛行物的運動軌跡表征為一條的直線；還需對“不超過”以及“可以擊中”進(jìn)行重點表征：“不超過”即“最大值”，“可以擊中”就是“有交點”，在這樣文字的理解與表征下，該題的文本轉(zhuǎn)化為求

與

恰好有一個交點且該點在第一象限時橫坐標(biāo)的值．在閱讀題目材料時，學(xué)生應(yīng)先理解題目提供的信息，理解并表征題目中的重要字詞，在文字表征的作用下為解題策略的選擇提供依據(jù)．

1.2 符號表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

數(shù)學(xué)語言一般由文字語言、圖表語言以及符號語言構(gòu)成．符號語言相較于其它兩種語言的優(yōu)點是避免羅嗦的文字?jǐn)⑹觯卣怪庇^圖形的想象空間．?dāng)?shù)學(xué)解題離不開數(shù)學(xué)符號，只有理解了符號所要表達(dá)的意義，以及該符號在題目中的特定含義才能為接下來的解題提供方向?qū)Ш剑驗榉栒Z言高度的簡潔性、抽象性、概括性，邢強等認(rèn)為學(xué)生在遇到含有大量符號或符號組合的應(yīng)用題時符號表征出現(xiàn)障礙，難以將符號所代表的意思與文本內(nèi)容進(jìn)行一一對應(yīng)，最終導(dǎo)致畏難情緒．

1.3 圖表表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

圖表表征指的是用幾何圖形或表格的形式來表示具體的問題．在應(yīng)用題的解決過程中，圖表表征的作用主要表現(xiàn)在將題目中的條件進(jìn)行整理，以簡潔明了的方式表示出來，以視覺直觀的方式作用于學(xué)生，便于學(xué)生找到解決問題關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，達(dá)到簡化問題的效果．

例2 （2012年高考四川卷理·9）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）

A. 1?800元 B. 2?400元 C. 2?800元 D. 3?100元

【解析】本題求利潤的最大值，考查的是簡單線性規(guī)劃問題．文本中涉及到甲、乙兩種產(chǎn)品，、兩種原料以及兩種產(chǎn)品的利潤．在學(xué)生閱讀完文本內(nèi)容后，發(fā)現(xiàn)關(guān)于甲、乙兩種產(chǎn)品所告知的信息是相似的，可將文本內(nèi)容用表格形式表征出來，如下表所示：

產(chǎn)品原料A（千克）原料B（千克）利潤（元） 甲12300 乙21400

由于表格能直觀、形象、簡潔明了地表達(dá)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，因此在表格的外部表征下，學(xué)生能輕松地根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)列出解決問題的關(guān)系式，達(dá)到解決問題的目的．在圖表表征中經(jīng)常用到的還有文氏圖、線段圖等．

1.4 背景表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

弗賴登塔爾曾經(jīng)提出“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的原則，他強調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，“應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗的現(xiàn)實之間去尋找聯(lián)系”．他認(rèn)為數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并且應(yīng)用于現(xiàn)實．?dāng)?shù)學(xué)教育如果脫離了那些豐富多彩而又錯綜復(fù)雜的背景材料，將成為“無源之水，無本之木”．同樣的道理，如果數(shù)學(xué)應(yīng)用題脫離了現(xiàn)實生活，僅僅將“課本上的定理”與“應(yīng)用題”結(jié)合，這樣的應(yīng)用是狹隘的應(yīng)用，有悖于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》中十大理念之一“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”．因此在高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的編制中，需要考慮背景的選用．

鮑建生提出具有實際背景的問題要求學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實生活中的問題．在解決帶有“現(xiàn)實”氣息的數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，學(xué)生應(yīng)將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”，這樣的解題有利于學(xué)生改變對數(shù)學(xué)的態(tài)度，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的重要作用，在現(xiàn)實生活中有效提高運用數(shù)學(xué)知識的能力．賦予現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)的味道，將數(shù)學(xué)問題加以現(xiàn)實背景的加工，都符合學(xué)生日常數(shù)學(xué)認(rèn)識觀．

2 內(nèi)部表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

內(nèi)部表征指的是學(xué)習(xí)者記憶系統(tǒng)中自己建構(gòu)的關(guān)于概念、命題、圖式以及其它類型的知識和結(jié)構(gòu)．這樣的結(jié)構(gòu)以及表征對于解題有什么作用呢？

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本．良好的組織使得所提供的知識易于用上，這甚至可能比知識的廣泛更為重要．”因為在某些情況下，過多的知識反而會成為學(xué)生的一種負(fù)擔(dān)，學(xué)生不能在眾多雜亂無章的知識點中找出有效的知識來解決問題．因此，學(xué)生大腦中建構(gòu)的有序的、有條理的、有聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)能作為向?qū)閷W(xué)生的解題提供幫助．

以下將從概念表征、命題表征、概念圖表征和圖式表征4個方面來說明內(nèi)部表征對解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響．

2.1 概念表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

數(shù)學(xué)概念表征一般指的是數(shù)學(xué)概念的表達(dá)方式．通過對數(shù)學(xué)概念多角度、多層面的認(rèn)識形成概念域．喻平對“概念域”進(jìn)行細(xì)致地描述，他指出一個概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域．研究表明，學(xué)生對概念的表征過度依賴于表象表征，即過度借助對目標(biāo)的知覺表象去了解或記憶某概念；學(xué)生對概念的表征往往通過“原型”或“樣例”方式表示．

例3 （2010年高考湖南卷理·19）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8 km的，兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過，兩點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）在直線的右側(cè)，考察范圍為到點的距離不超過km的區(qū)域；在直線的左側(cè)，考察范圍為到，兩點的距離之和不超過km的區(qū)域．

（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

（Ⅱ）略．

【解析】本題的第（Ⅰ）問，學(xué)生可根據(jù)題目所給的信息和數(shù)據(jù)分別列出距離方程，及，兩個根式對學(xué)生的計算能力提出一定的考驗．學(xué)生若對橢圓的概念有較清晰的印象，即可判斷得出“在直線的左側(cè)，考察范圍為到、兩點的距離之和不超過km區(qū)域”是對橢圓定義的描述．

認(rèn)知心理學(xué)的原型理論認(rèn)為，概念是以實例來表征的，這種實例具有代表性特征，并“把那些具有表征數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的最典型的標(biāo)準(zhǔn)實例稱為數(shù)學(xué)概念的原型．原型分為：實例原型、圖象原型、表達(dá)式原型”．學(xué)生對概念的表征方式具有“層次”性，一項研究表明，學(xué)生在表征概念時多采用概念意象，常常忽略概念的標(biāo)準(zhǔn)定義，即在學(xué)習(xí)橢圓的概念后，學(xué)生掌握比較牢固的是能根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形，或者利用橢圓的幾何性質(zhì)來解題（圖象原型、表達(dá)式原型）．而對橢圓概念的第一定義，即本質(zhì)定義（平面內(nèi)與兩個定點、的距離之和為常數(shù)()的動點的軌跡）表征掌握不是很牢固．由于學(xué)生對概念的表象過度依賴，因此在本題中學(xué)生不能在沒有橢圓圖象的情況下根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行判斷并解題．若學(xué)生只能由概念的語言表征過度到概念的圖形表征，而不能逆推將難以判斷、是橢圓的兩個焦點進(jìn)而影響本道題目的解決．由此可見，學(xué)生能否建立概念表征中的語言表征、圖形表征及形式化定義表征的聯(lián)系，會影響學(xué)生對概念的理解．

2.2 命題表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

喻平曾提出命題域的概念，他認(rèn)為若某個命題組中所有的命題都是等價的，那么這個等價命題網(wǎng)絡(luò)的圖式就稱為該命題的命題域．心理學(xué)研究表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)與練習(xí)的基礎(chǔ)上，將知識編碼后以表象代碼及命題代碼的形式儲存在大腦中．學(xué)生在解決新問題的過程中，需要對大腦中儲存的知識進(jìn)行提取和激活．命題網(wǎng)絡(luò)指的是由若干個有共同成分的命題彼此聯(lián)系組成．學(xué)生在學(xué)習(xí)不同知識模塊時可能涉及到同一個命題，學(xué)生若能在大腦中很好地建構(gòu)這些知識點，構(gòu)成命題表征的網(wǎng)絡(luò)，則能增強知識點之間的聯(lián)系并能提供多種解題策略，鍛煉開放性思維以及選擇最優(yōu)解決策略的能力．

2.3 概念圖表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

概念圖是由美國康奈爾大學(xué)的心理學(xué)家諾瓦克等人提出來的，它是一種用來組織和表征知識的工具，具體指的是將某一主題的相關(guān)概念或命題置于方框或圓圈中，再用連線連接，形成該主題的知識網(wǎng)絡(luò)．正是由于概念圖是利用節(jié)點代表概念、用連線和箭頭代表概念關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)圖，因此形象地呈現(xiàn)了各知識點之間的聯(lián)系．它可使學(xué)生利用自己的空間組織能力，建立概念之間的連接，將一種隱性的知識顯化，并且不僅能反應(yīng)某一領(lǐng)域知識的系統(tǒng)性和完整性，也能反應(yīng)不同領(lǐng)域知識的內(nèi)在聯(lián)系，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有現(xiàn)實意義．通過知識的概念圖表征，學(xué)生能從系統(tǒng)上、整體上把握知識的結(jié)構(gòu)，增進(jìn)對概念的理解及增加解題的策略．

例5 （2009年高考福建卷理·19）如圖，某市擬在長為8 km的道路的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)

（I）略；

【解析】第（Ⅱ）問中已知三角形的一個角及角所對的邊，求另外兩個邊的最大值，涉及知識點較多．學(xué)生通過對三角形的邊、角、邊與角關(guān)系的回憶與提取，可得到如圖所示的概念圖表征：

本題已知三角形中的一個角及該角所對應(yīng)的邊，如何將兩個已知量與剩余的4個未知量產(chǎn)生聯(lián)系，這就需要用到上圖中的三角關(guān)系、正弦定理和余弦定理，將與都轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得的最大值．或者由余弦定理得出與的關(guān)系，利用均值不等式將其變形求得的最大值．

2.4 圖式表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

康德最早提出“圖式”概念，現(xiàn)代圖式理論認(rèn)為圖式指的是圍繞某一主題所組織起來的知識點的表征和貯存的方式．圖式在應(yīng)用題的解決過程中，對問題情境的理解、對問題解決方法的獲取都產(chǎn)生一定的作用．Jitendra對學(xué)習(xí)不良兒童的應(yīng)用題解決運用圖式教學(xué)法進(jìn)行了有效的干預(yù)，并產(chǎn)生了良好的效果．研究表明，圖式在理解中有預(yù)測、選擇、記憶的作用；圖式還具有遷移的作用．

由于圖式將知識有條不紊的貯存在長時記憶中，有利于將知識濃縮成框架并組成大腦中的知識網(wǎng)絡(luò)，因此學(xué)生能迅速且正確地將問題進(jìn)行內(nèi)部表征，使問題清晰化．學(xué)生將知識圖式化后，根據(jù)圖式能推測出題目中未知或隱含的條件，圖式中的聯(lián)結(jié)詞還可能包含一定的解題策略和方法，有利于問題的解決．學(xué)生的圖式結(jié)構(gòu)越完善，即知識間的連接越強、包攝性越廣，越有利于問題的內(nèi)部表征，也就越有利于問題的解決，因此圖式在問題的解決中具有獨到的意義．張夏雨選用6個模板上的勾股定理問題為材料進(jìn)行研究，得出學(xué)生在模板上的成績與學(xué)業(yè)水平相當(dāng)，說明圖式在問題解決中不可忽視的作用．

因此，在應(yīng)用題的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重訓(xùn)練學(xué)生對于應(yīng)用題的外部表征以及內(nèi)部表征，重視學(xué)生對知識的自我建構(gòu)和組織．研究表明，內(nèi)部表征與外部表征可以相互轉(zhuǎn)化．表征不是單一的起作用，特別是在應(yīng)用題的解決過程中，需要將問題先進(jìn)行外部表征，然后在內(nèi)部表征的完善下解決應(yīng)用題．由于表征形式的多樣性以及學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的差異性導(dǎo)致了表征的差異性，因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生的表征取向，突出問題的本質(zhì)特征，從多角度對應(yīng)用題進(jìn)行表征的訓(xùn)練，進(jìn)而增加學(xué)生解決問題的策略途徑．

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[19] 張夏雨，喻平．不同學(xué)業(yè)水平學(xué)生數(shù)學(xué)問題圖式的差異性研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（1）：45-48．

[20] 鄧鑄，余嘉元．問題解決中對問題的外部表征和內(nèi)部表征[J]．心理學(xué)動態(tài)，2001，（3）：193-200．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Analysis of Mathematics Word Problems of College Entrance Examination Based on External Representations and Internal Representations

YE Jing, CHEN Qing-hua

(School of Mathematics and Computer Science, Fujian Normal University, Fujian Fuzhou 350007, China)

In the progress of answering mathematics word problems, the representations of question for each student will affect the choice of solution strategy they make. Representations are divided into internal representations and external representations. The effect factors from external representations are literal representation, symbolic representation, diagrammatic representation and background representation. The effect factors from internal expressions are concept representation, proposition representation, concept mapping representation, and schema representation. Two types of representations have different structures and features. Also, they have different mechanisms for mathematics word problems. By analysis mathematics word problems in the paper of college entrance examination from internal and external representations parts, we will have a solid understanding of the effect on word problems from internal and external representations.

mathematics word problems of college entrance examination; internal representations; external representations

G420

A

1004–9894（2014）04–0092–04

2014–03–09

國家自然科學(xué)基金項目——導(dǎo)出范疇的若干問題及應(yīng)用研究（11071040）；福建省自然科學(xué)基金項目——Abel范疇的若干問題研究（2010J01001）；福建省教育廳資助項目——新課程背景下的高考命題改革研究（JA07031）；福建省財政廳資助項目——基于課標(biāo)的數(shù)學(xué)科高考命題改革與評價研究（閩財指（2013）564號）

葉晶（1989—），女，福建福州人，碩士研究生，主要從事考試命題研究、教師專業(yè)發(fā)展研究和高觀中數(shù)研究．陳清華為本文通訊作者．