師范生數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的實(shí)證研究 ——以溫州大學(xué)為例

章勤瓊1，3，鄭 鵬2，譚 莉3

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師范生數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的實(shí)證研究 ——以溫州大學(xué)為例

章勤瓊，鄭 鵬，譚 莉

（1．南京師范大學(xué)，江蘇南京 210023；2．瑞安市馬嶼曹村中學(xué)，浙江瑞安 325208；3．溫州大學(xué)，浙江溫州 325035）

在PCK（學(xué)科教學(xué)知識(shí)），MPCK（數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)）以及MKT（教學(xué)需要的數(shù)學(xué)知識(shí)）的理論框架的基礎(chǔ)上，從“數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)”與“數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)”兩個(gè)維度對(duì)師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)展開研究．利用一份國(guó)際比較研究中，測(cè)試在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的問(wèn)卷對(duì)85名數(shù)學(xué)師范生進(jìn)行調(diào)查后進(jìn)而運(yùn)用訪談了解他們對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的深入理解．結(jié)果表明，樣本師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)不容樂觀，而在大學(xué)期間的課程設(shè)置對(duì)他們的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)有一定影響．進(jìn)一步指出可以從以下方面提升師范生的教學(xué)知識(shí)：繼續(xù)加強(qiáng)學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)；重視對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材的理解；更多關(guān)注中小學(xué)教學(xué)實(shí)踐．

師范生；數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)；PCK；MPCK；MKT

教育大計(jì)，教師為本．對(duì)于教師的研究歷來(lái)是教育研究領(lǐng)域的熱門議題．20世紀(jì)80年代中期，美國(guó)學(xué)者Shulman指出教師必須具備的“教學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)”主要由7種知識(shí)構(gòu)成，其中學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge，簡(jiǎn)稱PCK）是指作為教師這一職業(yè)獨(dú)有的內(nèi)容與教學(xué)法的整合，以及專業(yè)理解的特殊形式．是“教師最有用的知識(shí)代表形式”．他的這一理論在國(guó)際教師教育研究領(lǐng)域產(chǎn)生了很大影響，引起諸多教育研究者的關(guān)注，使研究者們深入思考作為一名教師，究竟需要怎么樣的知識(shí)才能做到有效的教學(xué)．比如，就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，只是掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展仍是不夠的，教師更需具備“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），即數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)．美國(guó)密歇根大學(xué)學(xué)者Ball及其研究團(tuán)隊(duì)在Shulman提出的PCK基礎(chǔ)上，提出了新的理論，即教學(xué)需要的數(shù)學(xué)知識(shí)（Mathematical Knowledge for Teaching，簡(jiǎn)稱MKT）．它是指數(shù)學(xué)教學(xué)中所需要的、能用于教學(xué)的、有益于教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)．這些理論的相繼提出，對(duì)教師知識(shí)的研究起到了極大的推動(dòng)作用．

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“實(shí)驗(yàn)稿”》提出了三維目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程有更大的收獲，在教學(xué)中教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式的形成．而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》更加注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，明確提出“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)．教師是課程改革最終能否卓有成效并落到實(shí)處的最關(guān)鍵因素，但同時(shí)課程改革又為教師提出了新的要求．對(duì)于即將成為教師的師范生而言，自然就要面對(duì)更大的壓力和挑戰(zhàn)．教學(xué)知識(shí)的掌握與應(yīng)用水平如何，是作為評(píng)價(jià)一個(gè)師范生是否優(yōu)秀的重要指標(biāo)．

因此，在已有研究的理論框架的基礎(chǔ)上，旨在探討即將走上教師崗位的大四師范生與數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的知識(shí)現(xiàn)狀并據(jù)此給出相應(yīng)的建議．

1 研究問(wèn)題

探討師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)現(xiàn)狀，主要關(guān)注以下具體問(wèn)題：（1）師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)主要包含哪些方面？（2）師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)現(xiàn)狀如何？（3）對(duì)于師范生數(shù)學(xué)教學(xué)的改進(jìn)有哪些建議？這是針對(duì)師范生群體的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的掌握現(xiàn)狀作深入的研究，結(jié)果在一定程度上可以反映如今師范生群體的現(xiàn)狀．這將有利于加深師范生對(duì)自身教學(xué)知識(shí)水平的認(rèn)識(shí)和自我反思．此外，研究所得出的師范生教學(xué)知識(shí)掌握情況對(duì)于高等師范院校教育課程設(shè)置和改革而言也具有一定的實(shí)際意義．

2 研究方法

2.1 理論框架

在數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)包含的內(nèi)容上，Shulman提出PCK的主要包含兩部分，即教師對(duì)學(xué)科知識(shí)的表征和對(duì)學(xué)生特定的學(xué)習(xí)困難與概念的理解；在MPCK理論上，有學(xué)者將其分為兩要素：特定數(shù)學(xué)內(nèi)容與教學(xué)聯(lián)合的知識(shí)和特定數(shù)學(xué)內(nèi)容與學(xué)生聯(lián)合的知識(shí)；而Ball的MKT理論則主要將其分為4個(gè)方面，即一般數(shù)學(xué)知識(shí)、特殊數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)生與內(nèi)容知識(shí)以及教學(xué)與內(nèi)容知識(shí)．在這4個(gè)方面的知識(shí)中，前兩者可以視為與數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)，而后兩者則更加關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)．綜合PCK、MPCK與MKT的研究，都將與數(shù)學(xué)教師的教學(xué)相關(guān)的知識(shí)作兩個(gè)維度的區(qū)分，分別是數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)，見表1．

表1 PCK和MPCK以及MKT理論中對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)劃分

因此，綜合PCK、MPCK以及MKT的理論框架，研究者認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂中需要的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)是一種“掌握理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念與內(nèi)容以及知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，并據(jù)此設(shè)計(jì)具體的教學(xué)以達(dá)成既定目標(biāo)所需的知識(shí)”，并從“數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)”與“數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)”兩個(gè)維度來(lái)探討師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)．

2.2 研究樣本

研究采用方便取樣的方法，選取溫州大學(xué)某級(jí)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的數(shù)學(xué)師范專業(yè)（以下記為數(shù)學(xué)專業(yè)）以及教師教育學(xué)院的小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)（以下記為小教專業(yè)）的大四年級(jí)師范生．這兩個(gè)專業(yè)是溫州大學(xué)的一本重點(diǎn)專業(yè)，學(xué)生在入學(xué)時(shí)都是以超過(guò)高考重點(diǎn)線的分?jǐn)?shù)錄取的．就培養(yǎng)目標(biāo)而言，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)后將從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，而小教專業(yè)的學(xué)生將會(huì)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師．但實(shí)際上兩個(gè)專業(yè)的學(xué)生都有可能成為中學(xué)或小學(xué)數(shù)學(xué)教師．

到了大四階段，選取的樣本學(xué)生都已經(jīng)完成所有的數(shù)學(xué)專業(yè)課以及師范教育課程的學(xué)習(xí)，并結(jié)束了為期兩個(gè)月的在中小學(xué)的教育實(shí)習(xí)．目前他們正處于準(zhǔn)備教師編制考試，參加各種招聘，聯(lián)系工作的狀況．

2.3 研究工具

研究中將數(shù)學(xué)教師分為“數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)”與“數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)”兩個(gè)維度．針對(duì)“數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)”，研究采用一份由澳大利亞學(xué)者編制的某一大型國(guó)際比較項(xiàng)目中用來(lái)研究小學(xué)在職教師的數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的問(wèn)卷．一共有35道與中小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的題目，分為A、B兩部分，其中A部分20題，B部分15題，其中A部分題目多為考察對(duì)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解，如第6題計(jì)算，第7題和第8題分別要求求兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，第18題要求求一個(gè)組合圖形的面積等，只要能對(duì)乘方、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、面積等數(shù)學(xué)概念理解透徹了，就不難回答．而B部分題目則需要綜合運(yùn)用若干知識(shí)點(diǎn)，如第4題“三角形是一個(gè)直角三角形，=12 cm，=cm，∠的度數(shù)是多少？”，則需要先根據(jù)勾股定理計(jì)算出三角形的另一條直角邊的長(zhǎng)度，再利用斜邊與直角邊的長(zhǎng)度關(guān)系算出角度．

研究中，數(shù)學(xué)專業(yè)與小教專業(yè)師范生在同一天分別在各自的日常課堂上完成問(wèn)卷，時(shí)間共一個(gè)半小時(shí)，完成之后當(dāng)堂收回問(wèn)卷．之前沒有通知，他們是在沒有復(fù)習(xí)與提前準(zhǔn)備的情況下按時(shí)完成此問(wèn)卷．之后，在對(duì)回收的問(wèn)卷進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，針對(duì)某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，選擇完成問(wèn)卷的典型師范生進(jìn)行訪談．訪談的問(wèn)題主要有：（1）你認(rèn)為中（?。W(xué)生要完成此題，需要具備哪些知識(shí)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)思維？（2）你覺得中（?。W(xué)生在做這道題目時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)哪些問(wèn)題，為什么會(huì)出現(xiàn)這些問(wèn)題？針對(duì)中（?。W(xué)生的錯(cuò)誤，你會(huì)如何指導(dǎo)？（3）在課堂上，你會(huì)如何教學(xué)與這一題目相關(guān)的內(nèi)容？

2.4 研究數(shù)據(jù)的處理

在回收問(wèn)卷后，對(duì)每一份加以編碼，分別用與代表數(shù)學(xué)專業(yè)與小教專業(yè)的學(xué)生，為編碼后的數(shù)字．對(duì)問(wèn)卷主要采用量化分析的方法，首先利用Excel軟件對(duì)所有題目都作難度與區(qū)分度的分析，進(jìn)而對(duì)樣本學(xué)生的答題情況作總體分析，制作相應(yīng)的圖表，并利用SPSS軟件對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行信度分析．在總體分析的基礎(chǔ)上，對(duì)某些具體題目作深入的描述性分析．

對(duì)訪談結(jié)果主要采用質(zhì)性分析，主要從以下3個(gè)方面進(jìn)行分析：（1）對(duì)題目所含數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想的了解程度；（2）對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的預(yù)估與糾正；（3）教學(xué)中的設(shè)計(jì)與處理．

3 研究結(jié)果

3.1 問(wèn)卷結(jié)果分析

研究共發(fā)放問(wèn)卷94份，其中數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生64份，小教專業(yè)學(xué)生30份，共回收問(wèn)卷88份，回收率為93.6%，回收的問(wèn)卷中有85份有效，有效率為96.6%，其中數(shù)學(xué)學(xué)院59份，教師教育學(xué)院26份，男生39份，女生46份．樣本學(xué)生的基本情況詳見圖1：

1-1 樣本性別情況 1-2 樣本專業(yè)情況

（1）問(wèn)卷的難度、區(qū)分度和信度分析．

難度即測(cè)試題目的難易程度，在一般的能力方面的測(cè)試中是作為衡量測(cè)試題目質(zhì)量的主要指標(biāo)之一，和區(qū)分度共同影響問(wèn)卷的有效性和科學(xué)性．難度的計(jì)算方式這里采取的是某題的通過(guò)率，即，其中為某題的通過(guò)人數(shù)，為總?cè)藬?shù)．這種定義法在難度值越小時(shí)，說(shuō)明表面試題難度越大；難度值越大時(shí)，說(shuō)明試題難度越小，的最大值為1，最小值為0．通過(guò)對(duì)回收問(wèn)卷的分析，該問(wèn)卷35道題目的平均難度為0.785，標(biāo)準(zhǔn)差為0.22．有14道題目難度值在0.9以上，難度較低．有5道題的難度值在0.4以下，難度最高的是第15題，難度值達(dá)到0.28，第20題的難度值也高達(dá)0.29．

區(qū)分度同難度的效果類似，也是用來(lái)衡量測(cè)試卷題目質(zhì)量的主要指標(biāo)之一．區(qū)分度的具體操作方法是采用高低分組法來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)測(cè)，即將高分組被試（得分最高的27%部分）在該題上的通過(guò)率（），與低分組被試（得分最低的27%部分）在該題上的通過(guò)率（）作比較，采用計(jì)算公式得到最終結(jié)果．區(qū)分度一般在到之間，數(shù)值越大，則區(qū)分度越到．一般來(lái)說(shuō)，試題的區(qū)分度在0.4以上就表示該題的區(qū)分度很好．問(wèn)卷的所有題目的區(qū)分度都在0.4以上，平均值為0.508，標(biāo)準(zhǔn)差為0.028，可以認(rèn)為區(qū)分度良好．問(wèn)卷35道題目的難度與區(qū)分度詳見圖2．雖然相比A部分的題目，要解答B(yǎng)部分的題目，需要能綜合運(yùn)用若干知識(shí)點(diǎn)．但從測(cè)試結(jié)果來(lái)看，對(duì)兩部分題目的回答并沒有明顯差異．這在一定程度上說(shuō)明對(duì)于師范生來(lái)說(shuō)，最大的問(wèn)題不在于對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用，而是對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)的理解不夠透徹深入．

圖2 問(wèn)卷各試題的難度與區(qū)分度

按照學(xué)院與性別對(duì)被試者進(jìn)行區(qū)分，在每道題目的正確率上，表現(xiàn)略有差異．但這種差異并不明顯，沒有體現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的差異．詳見圖3與圖4．

圖3 基于專業(yè)維度的各試題正確率分析

圖4 基于性別維度的各試題正確率分析

在分析問(wèn)卷每道題目的難度與區(qū)分度的基礎(chǔ)上，利用SPSS19對(duì)所收集的所有樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行了科隆巴赫系數(shù)（Cronbach）的驗(yàn)證，結(jié)果顯示科隆巴赫系數(shù)為0.783，一般而言，在教育學(xué)領(lǐng)域中如果科隆巴赫系數(shù)大于0.7，則認(rèn)為研究數(shù)據(jù)具有內(nèi)部一致性，是可信的．

（2）問(wèn)卷總體分析．

問(wèn)卷35道題目共有60處答案，每一處答案正確記為1分，錯(cuò)誤記為0分，再對(duì)所有學(xué)生的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)．師范生的總平均分為49.89分，正確率為83.15%，整體水平為良．而最低分為40分，最高分為55分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.567，可以發(fā)現(xiàn)師范生個(gè)體之間存在較大的差距．分專業(yè)來(lái)看，數(shù)學(xué)專業(yè)59人中，最高分為55分，最低分為43分，平均分為50.13分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.531．而小教專業(yè)的26人中，最高分為54分，最低分為40分，平均分為49.34分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.649．得分情況詳見表2：

表2 樣本學(xué)生問(wèn)卷答題總體情況分析

從專業(yè)的對(duì)比上來(lái)看，數(shù)學(xué)專業(yè)的平均分比小教專業(yè)的高出了0.79分；最高分及最低分分別比小教專業(yè)高出了1分與3分．通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)專業(yè)的師范生比小教專業(yè)的師范生在數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的掌握程度稍好，但是差距不大．究其原因，可能是因?yàn)閿?shù)學(xué)專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的學(xué)習(xí)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于小教專業(yè)，所以在數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握上會(huì)好一些．但是值得注意的一點(diǎn)是，對(duì)于中小學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握并不完全等同于所學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容．

（3）典型試題分析．

由于測(cè)試卷是對(duì)在職小學(xué)數(shù)學(xué)教師做數(shù)學(xué)知識(shí)方面的測(cè)試，考察的知識(shí)點(diǎn)一般是中小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于已完成4年相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)的師范生似乎沒有太大問(wèn)題，但是測(cè)試卷中個(gè)別題目還是出現(xiàn)了很高的錯(cuò)誤率．而且這種錯(cuò)誤分布在各個(gè)不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)．現(xiàn)選取測(cè)試卷中錯(cuò)誤率較高的幾個(gè)例題，分析如下．

而在另外一道“數(shù)與代數(shù)”的基礎(chǔ)知識(shí)題（第7題）中要求求28與70的最大公因數(shù)，總體錯(cuò)誤率竟達(dá)到了驚人的47.12%，在錯(cuò)誤的答案中都是填了7，可能是因?yàn)?是兩數(shù)最容易找到的公因數(shù)，但并沒進(jìn)一步思考是否已經(jīng)是最大．

另外，第33題的第2小題，有42.16%的學(xué)生認(rèn)為“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”這一命題是正確的，忽略了2也是質(zhì)數(shù)．

32題有關(guān)“圖形與幾何”的一些基礎(chǔ)概念，要求對(duì)以下3個(gè)命題加以判斷：（1）四邊形可以用同樣的形狀進(jìn)行鑲嵌；（2）正方形是矩形；（3）梯形至少有一條對(duì)稱軸．用以判斷的語(yǔ)句有3個(gè)，分別是“總是成立”、“有時(shí)候成立”、“都不成立”．在這一題的回答中，在第1小題與第3小題的錯(cuò)誤率較高，其中第1題可能是對(duì)“鑲嵌”這一概念不是很熟悉，而第3題可能是對(duì)梯形這一概念理解得并不透徹．

其中第20題為與“統(tǒng)計(jì)與概率”相關(guān)的內(nèi)容，要求選擇下圖中的點(diǎn)對(duì)符合以下事件發(fā)生的可能性做出描述：

（1）你投擲一枚均勻硬幣得到硬幣的正面；（2）從一副普通的撲克牌中隨機(jī)抽取一張，結(jié)果是一張黑色的方塊；（3）隨機(jī)選取一個(gè)整數(shù)，它不能被6整除．

這一題的錯(cuò)誤率高達(dá)71.13%，錯(cuò)誤基本出現(xiàn)在后兩個(gè)小題，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因主要是沒有能準(zhǔn)確理解這兩個(gè)事件，其中事件2黑色的方塊撲克牌是不存在的，因此是個(gè)不可能事件．而第3題則主要需要考慮能被6整除這一事件的反面，事實(shí)上這一事件的概率大小是可以計(jì)算得出的．

由以上題目可以看出，學(xué)生在“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”與“統(tǒng)計(jì)與概率”這3個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容領(lǐng)域的知識(shí)的理解上都存在一些問(wèn)題．這也說(shuō)明在完成了大學(xué)4年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，并不必然意味著學(xué)生對(duì)中小學(xué)基礎(chǔ)性知識(shí)有很好的掌握．

3.2 訪談材料分析

在對(duì)所有問(wèn)卷進(jìn)行分析以后，選取了6位有代表性的學(xué)生（數(shù)學(xué)專業(yè)與小教專業(yè)各3位學(xué)生，分別是S7，S15，S52與J9，J12，J20）進(jìn)行了有針對(duì)性的訪談，以了解他們數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的掌握現(xiàn)狀．由于研究從數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)兩個(gè)維度對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)進(jìn)行研究，因此訪談內(nèi)容也分別針對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深入理解和教學(xué)兩個(gè)角度來(lái)展開．

（1）對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解的分析．

這一部分以對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解的研究為主．在訪談中，學(xué)生主要需要回答以下3個(gè)問(wèn)題：

① 你覺得與這道題目相關(guān)的核心知識(shí)是什么？

② 你在解題時(shí)是如何思考的？

③ 你覺得做這道題目出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因主要是什么？

在訪談的學(xué)生中，基本都能較好回答每道題目相關(guān)的核心數(shù)學(xué)知識(shí)是什么，但在讓他們進(jìn)一步對(duì)這些核心知識(shí)做出闡述時(shí)，出現(xiàn)了一些差異．如在回答什么是最大公因數(shù)時(shí)，S15說(shuō)“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，就是在兩個(gè)數(shù)所有的共同的公因數(shù)中最大的一個(gè)”．而J20回答說(shuō)“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是拿這兩個(gè)數(shù)去除以一些數(shù)字，如果能整除，再在這些數(shù)中挑最大的那個(gè)數(shù)”．比較這兩位同學(xué)，可以看出數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的表述使用了更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言．但在問(wèn)道他們?yōu)槭裁催@一題目會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，他們都提到第一個(gè)想到10以內(nèi)7是28與70最大的公約數(shù)，沒想到28與70還有一個(gè)14這么大的公約數(shù)．從他們的這一回答可以看出，雖然他們都理解最大公約數(shù)的概念，但并沒能很好掌握求最大公約數(shù)的方法，進(jìn)一步地，也反映出他們并不能很好理解公因數(shù)之間的關(guān)聯(lián)．而另一位學(xué)生S52則體現(xiàn)出了對(duì)這一知識(shí)更好的掌握，他指出，已經(jīng)知道7是28與70的公約數(shù)，而且是個(gè)質(zhì)數(shù)，以下只需要檢驗(yàn)7的倍數(shù)是否是公約數(shù)即可．

在訪談中還可發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生雖然選擇的答案是正確的，但事實(shí)上并不能很好理解相關(guān)的數(shù)學(xué)本質(zhì)．比如在對(duì)上面提到的與“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容相關(guān)的第20題的第3小題，S7與J9，都正確地選擇了點(diǎn)．但在被問(wèn)及是如何思考時(shí)，S7說(shuō)，其實(shí)這一題我也不確定，只是覺得隨機(jī)選取一個(gè)整數(shù)，不能被6整除的概率很高，但又不會(huì)到1，圖中的這些點(diǎn)中，只有點(diǎn)是符合的．而J9則干脆說(shuō)，這一道題目我看不大懂，感覺F應(yīng)該是對(duì)的．可以看出，與上面一題類似，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在表述時(shí)使用了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也比小教專業(yè)的學(xué)生有更準(zhǔn)確的對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解．但如果該題沒有提供這一示意圖，對(duì)于他們而言，要得到正確的答案會(huì)存在較大困難．事實(shí)上，這一題目只需運(yùn)用簡(jiǎn)單的古典概型知識(shí)就能得出隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)不能被6整除的概率為．

（2）對(duì)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的分析．

這一部分以對(duì)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)的研究為主．在訪談中，學(xué)生主要需要回答以下問(wèn)題：在解決這一題目時(shí)，你覺得學(xué)生可能的問(wèn)題在哪里？如果由你來(lái)教學(xué)這一內(nèi)容，你會(huì)作怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì)？需要注意什么問(wèn)題？

以第7題為例，在訪談的6人中，都認(rèn)為對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，最可能出現(xiàn)的問(wèn)題會(huì)填7，因?yàn)?是最容易找到的公因數(shù)，而可能沒有進(jìn)一步思考是否還有更大的公因數(shù)．但在問(wèn)及會(huì)作怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì)以及需注意的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的回答出現(xiàn)而來(lái)一些差異．

S7指出，在講解“最大公因數(shù)”這一概念的時(shí)候，會(huì)先舉例幾組數(shù)讓學(xué)生回答每組數(shù)的公因數(shù)，把它們各自所有的公因數(shù)都列出來(lái)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)他們的公因數(shù)最小的都是1，而最大的卻不確定，為了研究上的方便，這里就引入了最大公因數(shù)，就是指眾多公因數(shù)中最大的那一個(gè)．在講解的時(shí)候需注意強(qiáng)調(diào)，這個(gè)“最大公因數(shù)”是眾多公因數(shù)中“最大”的一個(gè)，特別是在做題的過(guò)程中，在初步得出答案后要對(duì)其加以檢驗(yàn)，看看它是不是已經(jīng)是最大的公因數(shù)．他還特別指出，只要讓學(xué)生理解了需要找最大的公因數(shù)，只要多給學(xué)生不同類型的題目，讓學(xué)生在做練習(xí)中加深對(duì)這一知識(shí)的鞏固．

而J12則首先談到了與這一知識(shí)相關(guān)的前后知識(shí)，指出這部分內(nèi)容是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，需要在學(xué)生學(xué)會(huì)找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，知道一個(gè)數(shù)因數(shù)的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)．又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)約分和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)．對(duì)于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展，具有舉足輕重的作用．進(jìn)而指出教學(xué)中需要由復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)的公因數(shù)的內(nèi)容引出最大公因數(shù)的概念，在具體內(nèi)容的設(shè)置上，會(huì)通過(guò)具體的數(shù)字和實(shí)際例子來(lái)幫助學(xué)生理解，讓學(xué)生自主思考，交流討論，最后得出結(jié)論．在講解中應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)，“最大公因數(shù)”就是“最大”的“公因數(shù)”．注意和上節(jié)“公因數(shù)”內(nèi)容的聯(lián)系和區(qū)別．

可以看出，相比S7認(rèn)為學(xué)生只要掌握了相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生能自然地解決相應(yīng)問(wèn)題的觀點(diǎn)．J12更多地將注意力放在如何在教學(xué)中利用更多的手段對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行落實(shí)并注意知識(shí)的前后聯(lián)系．

4 結(jié)論與啟示

4.1 研究的主要結(jié)論

首先，師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的現(xiàn)狀不容樂觀，這在數(shù)學(xué)專業(yè)的知識(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)的知識(shí)兩方面都有體現(xiàn)．研究中使用的是一份國(guó)際比較項(xiàng)目中供小學(xué)數(shù)學(xué)教師使用的問(wèn)卷．對(duì)于剛接受完大學(xué)4年本科數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的師范生來(lái)說(shuō)，小學(xué)教師該具備的專業(yè)知識(shí)理應(yīng)非常容易．但從問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果來(lái)看，樣本學(xué)生的總體成績(jī)只是良好，而且不少題目出現(xiàn)了較高的錯(cuò)誤率，甚至有5題的錯(cuò)誤率超過(guò)了60%．分析出現(xiàn)的錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)，主要是由于他們對(duì)有些知識(shí)的概念，如最大公因數(shù)、質(zhì)數(shù)、梯形等，并沒有非常深入的理解．這也表明，在大學(xué)期間學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)知識(shí)后拓展了他們的數(shù)學(xué)知識(shí)寬度，但并不等同于加深對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解．

其次，大學(xué)期間的課程設(shè)置對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)有較大的影響．參與研究的師范生分別來(lái)自數(shù)學(xué)專業(yè)與小教專業(yè)的大四師范生，這兩個(gè)專業(yè)在大學(xué)期間的課程設(shè)置有不同的側(cè)重點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在數(shù)學(xué)的專業(yè)課的相關(guān)課程較多，而小教專業(yè)則有更多時(shí)間花在對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)技能的培養(yǎng)上．課程設(shè)置的這一差異在問(wèn)卷與訪談中有一定的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在對(duì)問(wèn)卷中題目的解答中，不論是平均分、最高分還是最低分都要比教育學(xué)院略高．更為明顯的是在隨后的訪談中，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在表述中運(yùn)用了更多數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言，而且在對(duì)概念的理解上表現(xiàn)得要更透徹．而在談到教學(xué)設(shè)計(jì)以及在課堂上需注意的問(wèn)題時(shí)，小教專業(yè)的學(xué)生考慮的與教學(xué)相關(guān)的因素更多，他們會(huì)更多談到課標(biāo)的要求，前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)，教學(xué)中對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)等對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生影響的重要因素．

4.2 啟 示

師范生是未來(lái)教師隊(duì)伍的重要保障，師范生所掌握的學(xué)科知識(shí)與相應(yīng)的教學(xué)知識(shí)是他們今后成為合格教師的前提條件，因此如何更有效地提升師范生這兩方面的知識(shí)具有非常重要的意義．

首先，要不斷加強(qiáng)師范生對(duì)學(xué)科知識(shí)的掌握與理解．以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，數(shù)學(xué)教育工作者目前都認(rèn)可中小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要能有在“高觀點(diǎn)”下審視初等數(shù)學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)．因此，師范生需要在大學(xué)期間學(xué)習(xí)更多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，但正如前文所述，高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不意味著必然能加深對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)的理解，因此在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中需要更多關(guān)注如何將大學(xué)數(shù)學(xué)與中小學(xué)數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，真正做到通過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更好地促進(jìn)師范生對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解．

其次，師范生需要更多學(xué)習(xí)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材的理解，并與具體的教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合．課程標(biāo)準(zhǔn)解讀與教材分析如今已成為多數(shù)師范院校的必修課程，但對(duì)于這類課程的教學(xué)不能僅停留在文本學(xué)習(xí)的層面，需要更多讓學(xué)生學(xué)會(huì)解讀文本背后蘊(yùn)含的理念，并能與具體數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，能真正將理念運(yùn)用到對(duì)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)上．

再次，師范生培養(yǎng)中需要更多關(guān)注中小學(xué)教學(xué)實(shí)踐．在對(duì)學(xué)生的訪談中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被問(wèn)及課堂教學(xué)中需要如何操作時(shí)，學(xué)生的回答是“要給學(xué)生不同類型的題目”、“要通過(guò)具體的數(shù)字與實(shí)際例子”、“要讓學(xué)生自主思考、交流討論”等．但并不能落實(shí)到教學(xué)實(shí)踐中，如哪些具體題目，可以通過(guò)怎樣的實(shí)際例子，或者學(xué)生要對(duì)什么內(nèi)容作怎樣的自主思考與交流討論．究其原因，是因?yàn)閹煼渡鷮?duì)課堂教學(xué)的理解主要來(lái)自于書本，停留在理論層面，難以真正從實(shí)踐層面對(duì)教學(xué)做出思考．因此，需要在師范生培養(yǎng)中更多提供進(jìn)入真正的課堂了解實(shí)踐教學(xué)的機(jī)會(huì)．唯如此，才能將所學(xué)的理論知識(shí)與教學(xué)實(shí)踐真正結(jié)合起來(lái)，對(duì)今后的教師工作與課堂教學(xué)做出更有針對(duì)性的思考．

[1] Shulman L. Knowledge and Teaching: Foundations of the New Reform [J]. Harvard Educational Review, 1987, 57(1): 1-22.

[2] 童莉．?dāng)?shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新視角——數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK）[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（2）：23-26．

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[10] 章勤瓊，譚莉，Max Stephens．澳大利亞數(shù)學(xué)課堂中的個(gè)性化教學(xué)及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（6）：49–52．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Empirical Study on Teaching Knowledge in Mathematics of Pre-Service Teachers: Based on the Data from Wenzhou University

ZHANG Qin-qiong, ZHENG Peng, TAN Li

(1. Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210023, China;2. Caocun Junior High School of Mayu Town, Zhejiang Rui’an 325208, China;3. Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

On the basis of research framework on PCK, MPCK and MKT, this paper discussed on teaching knowledge in mathematics of pre-service teachers in terms of “knowledge of mathematics subject” and “knowledge of mathematics teaching”. By using a survey on mathematics subject knowledge used in an international comparative study, mathematics subject knowledge of 86 teacher students were examined and an interview was followed for capturing the deep understanding of knowledge in mathematics subject and teaching of the participants. The results showed that teaching knowledge in mathematics was not very well grasped by pre-service teachers and the courses they learned during university had positive influence to their teaching knowledge in mathematics. Following suggestions were then given to improve the teaching knowledge – to enhance the learning of subject knowledge; to attain importance of understanding of curriculum standards and textbooks and to focus on more school teaching practice.

pre-service teachers; teaching knowledge in mathematics; PCK; MPCK; MKT

G420

A

1004–9894（2014）04–0026–05

2014–03–24

南京師范大學(xué)博士后出站報(bào)告階段研究成果；2013年教育部人文社會(huì)科學(xué)青年基金項(xiàng)目——中澳中小學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)比較研究——基于教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的視角（13YJC880114）；中國(guó)博士后科學(xué)基金第54批面上資助——《教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》視角下教師專業(yè)素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)與發(fā)展研究（2013M541689）；2013年度江蘇省博士后科研資助項(xiàng)目——新課程背景下數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)研究——基于《教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》（1301129C）；溫州大學(xué)2013年教學(xué)改革項(xiàng)目——基于《教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》的《數(shù)學(xué)教學(xué)論》教學(xué)改革探索（13jg14）

章勤瓊（1983—），男，浙江樂清人，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院在站博士后，溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，教育學(xué)博士，主要從事數(shù)學(xué)教育與教師教育研究．