硬彈簧Duffing隔振系統(tǒng)跳躍機理分析

樓京俊,張 暉，俞 翔，朱石堅

（1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

硬彈簧Duffing隔振系統(tǒng)跳躍機理分析

樓京俊1,2,張 暉1,2，俞 翔1,2，朱石堅1,2

（1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

硬彈簧Duffing系統(tǒng)在同一簡諧激勵下有時有多個周期解，并且系統(tǒng)能在這幾個解之間來回跳動，也就是突跳。為精確找到系統(tǒng)隨參數(shù)變化時產(chǎn)生跳躍的區(qū)間，先運用諧波平衡法分析系統(tǒng)的頻率—振幅響應(yīng)曲線和激勵力幅值—振幅響應(yīng)曲線，再通過預(yù)估—校正算法準(zhǔn)確找到了系統(tǒng)隨激勵頻率和激勵力變化的跳躍區(qū)間，最后分別采用PMUCR胞映射方法和范德玻爾平面分析對所求得的區(qū)間加以驗證，驗證了所求得跳躍區(qū)間的精確性。

振動與波；Duffing；跳躍區(qū)間；預(yù)估—校正算法；胞映射；范德玻爾平面

非線性隔振系統(tǒng)具有與傳統(tǒng)線性隔振系統(tǒng)不同的某些特點和性能，并且當(dāng)參數(shù)處于一定范圍內(nèi)時，系統(tǒng)將呈現(xiàn)混沌運動狀態(tài)，非線性隔振系統(tǒng)在其混沌狀態(tài)下具有較好的隔振性能并能有效控制線譜成分[1，2]。Duffing系統(tǒng)是非線性隔振系統(tǒng)最基本模型之一，提出至今已有近90年的歷史，最初是由G.Duffing[3]采用迭代法求的近似解而得到。1922年Hamel[4]總結(jié)了Duffing的研究，以單擺為研究對象，與G.Duffing的研究方法不同，Hamel沒有將恢復(fù)力表示成線性項和立方項，而是用變分法獲得幅頻特性曲線，得到更精確的結(jié)果。1976年Holmes和Rand[5]的文章闡明了Duffing方程的分岔和突變理論。Ueda[6，7]發(fā)表了立方非線性恢復(fù)力Duffing振子的混沌動力學(xué)行為的文章。1995年黃桂玉[8]利用Melnikov函數(shù)討論了Duffing系統(tǒng)次諧波振動，給出了精確估計的參數(shù)區(qū)域。1997年畢勤勝、陳予恕等[9，10]利用轉(zhuǎn)遷特性求出Duffing模型主共振解、倍周期分岔轉(zhuǎn)遷集的表達式。2008年錢長照[11]使用改進的L-P方法研究了強非線性Duffing系統(tǒng)受簡諧激勵作用下的主共振和1/3亞諧共振解。唐元璋[12]等簡化了一種求取非線性常微分方程高階諧波解的近似解析計算方法。以上研究在分析Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生跳躍和分岔機理方面涉及較少，雖然張小龍、東亞斌[13]對Duffing隔振系統(tǒng)的力傳遞率及跳躍現(xiàn)象進行了理論分析，卻沒有得到精確跳躍區(qū)間。Duffing系統(tǒng)產(chǎn)生跳躍，即是系統(tǒng)發(fā)生了鞍結(jié)分岔或切分岔，這與系統(tǒng)產(chǎn)生倍周期分岔聯(lián)系緊密，倍周期分岔又是系統(tǒng)通往混沌的道路之一，因而對Duffing系統(tǒng)跳躍的研究十分有意義。本文先運用諧波平衡法分析系統(tǒng)的頻率—振幅響應(yīng)曲線和激勵力幅值—振幅響應(yīng)曲線，再通過跟蹤延拓算法準(zhǔn)確找到系統(tǒng)分別隨激勵頻率和激勵力變化的跳躍區(qū)間，最后分別采用PMUCR胞映射方法和范德玻爾平面分析對所求得的區(qū)間加以驗證。

1 Duffing系統(tǒng)模型

非線性隔振系統(tǒng)如圖1所示，該系統(tǒng)的運動微分方程為

式中K1X+K3X3為非線性彈性恢復(fù)力；K3為負(fù)時，系統(tǒng)呈現(xiàn)軟特性；K3為正時，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬特性。

圖1 非線性隔振系統(tǒng)

對方程（1）進行無量綱化，得

前者稱為硬彈簧Duffing方程，后者稱為軟彈簧Duffing方程。式中

2 振動響應(yīng)分析

對于硬彈簧Duffing系統(tǒng)（2），當(dāng)激勵力不是很大時，系統(tǒng)的受迫振動以頻率為ω的振動占主導(dǎo)地位，令其解為：并取進行諧波平衡，可得頻率—振動響應(yīng)關(guān)系如下

圖2 頻率—振幅響應(yīng)分析曲線

圖3 激勵力幅值—振幅響應(yīng)曲線

3 跳躍分析

由于前面進行諧波平衡時僅取了1階，只對基頻進行了平衡。因而圖2、3所示曲線只能大概反應(yīng)頻率—幅值、激勵力幅值—振幅之間的關(guān)系。為得到準(zhǔn)確的上跳、下跳點，采用4階Runge—Kutta方法求得系統(tǒng)的Poincaré映射，作出Poincaré映射點的某個坐標(biāo)隨控制參數(shù)ω或f的變化曲線，便構(gòu)成了分岔圖。采用最簡單的跟蹤延拓算法，即，將在（或fk）求得的解直接作為 ωk+1=ωk+Δω（或fk+1=fk+Δf）時的初始條件。對方程（2）分別取控制參數(shù)ξ=0.1，f=0.5和ξ=0.1，ω=2進行分岔分析，可以得到分岔圖如圖4、5所示。

由上面數(shù)值分析可得，取ξ=0.1，f=0.5時，ω在1.44～2.21范圍內(nèi)，系統(tǒng)會因初值不同而在大小振幅上跳動。

由上面數(shù)值分析可得，取ξ=0.1，ω=2時，f在0.4～2.3范圍內(nèi)，系統(tǒng)會因初值不同而在大小振幅上跳動。

4 胞映射分析

徐皆蘇[14]（C.S.Hsu）在上個世紀(jì)80年代提出了胞映射方法。胞映射法在分析動力系統(tǒng)性態(tài)時，可以模擬周期運動時間歷程曲線，準(zhǔn)確地繪制出周期運動的漸進吸引域，通過對胞之間轉(zhuǎn)移關(guān)系的研究完成對原動力系統(tǒng)的相應(yīng)研究，揭示出系統(tǒng)的全局性態(tài)。

圖4 系統(tǒng)（2）隨ω變化分岔圖（取參數(shù)ξ=0.1，f=0.5）

圖5 系統(tǒng)（2）隨f變化分岔圖（取參數(shù)ξ=0.1，ω=2）

（2）確定特性保持判定中的推薦距離dp。dp包括兩個分量dx和dy，本文設(shè)定其分別為胞x和y方向邊長的10-5，通過計算可知，精度可以滿足要求；

（3）數(shù)值積分。采用ode 45（4或5階Runge-Kutta）方法，這個方法是變步長方法，即可以根據(jù)指定精度，自動調(diào)整步長和步數(shù)。首先要建立微分方程組的描述文件，然后用ode 45命令設(shè)置初始條件和積分時間；

（4）如果連續(xù)k次以上映射出選定區(qū)域，或者在這條軌跡的性態(tài)確定之前，已經(jīng)達到了預(yù)先設(shè)定的循環(huán)次數(shù)，就認(rèn)為這條軌跡的性態(tài)是不確定的。本文把k設(shè)定為12；

（5）完成胞映射程序以后，就可以判斷吸引子的吸引域了。

胞映射分析情況如圖6、7所示。

從圖6可以看出，圖（a）、（d）中，當(dāng)取ξ=0.1，f=0.5，ω=1.43、2.22時，在相平面上只有一個解的吸引域；而圖（b）、（c）中，當(dāng)ω=1.44、2.21時，在相平面上存在大小振幅相互交錯的解。因此，當(dāng)ω從小逐漸增大時，在2.22時向下跳躍；ω從大逐漸減小時，在1.44向上跳躍。所以，此時系統(tǒng)的跳躍區(qū)間在1.44～2.21之間，從而也驗證了跟蹤延拓算法分岔分析結(jié)果準(zhǔn)確性。同理，在ξ=0.1，ω=2時，從圖7也可以驗證f在取值0.4～2.3時的跳躍情況。

5 范德玻爾（Vander Pol）平面分析

由前面分析可知，當(dāng)ω取值在一定范圍時，對應(yīng)于每一個具體的ω值，振幅A可以取三個不同的值?？梢宰C明振幅取中間值S的振動是不穩(wěn)定的。為了研究振動的穩(wěn)定性，將A和ω寫成隨時間緩慢變化的形式

式中a1和b1是隨時間緩慢變化的函數(shù)。頻率為ω的振動在相平面中的代表點以角速度ω旋轉(zhuǎn)，而式（4）中的a1和b1是以頻率ω繞坐標(biāo)原點作順時針旋轉(zhuǎn)（如圖8、9中的（b）所示），因此在以a1和b1為坐標(biāo)軸的范德玻爾平面上，頻率為ω的振動的代表點是不旋轉(zhuǎn)的不動點。

從圖8、9中胞映射圖（a）和范德玻爾平面上的解圖（b）能明顯看出，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)確定在跳躍區(qū)間上時，系統(tǒng)對初始值有很強敏感性。不論是從胞映射圖，還是范德玻爾平面上的解圖上可以看出，兩個周期1吸引子的吸引域相互交錯、相互纏繞，只要初始條件稍加改變，系統(tǒng)的運動性態(tài)會隨之改變。

圖6 方程¨+0.1˙+x+x3=0.5cosωt在不同ω下的初始條件分區(qū)圖

圖7 方程¨+0.1˙+x+x3=fcos2t在不同f下的初始條件分區(qū)圖

圖8 方程¨+0.1˙+x+x3=0.5cos1.8t分析

圖9 方程¨+0.1˙+x+x3=1cos2t分析

6 結(jié)語

通過對硬彈簧Duffing系統(tǒng)分別隨激勵力和頻率的變化，計算得到其產(chǎn)生跳躍的區(qū)間，結(jié)論如下：

（1）進行了幅頻特性分析，得到了Duffing系統(tǒng)頻率—振幅響應(yīng)曲線和激勵力幅值—振幅響應(yīng)曲線圖；

（2）通過跟蹤延拓算法精確算出Duffing系統(tǒng)隨激勵力或激勵頻率變化時的跳躍區(qū)間；

（3）通過胞映射和范德玻爾平面上的解分析，驗證了由跟蹤延拓算法所求結(jié)果的準(zhǔn)確性。

[1]樓京俊.基于混沌理論的線譜控制技術(shù)研究[D].武漢：海軍工程大學(xué)，2006.

[2]劉樹勇，位秀雷，許師凱，等.非線性混沌振動響應(yīng)的試驗分析[J].噪聲與振動控制，2014，34(2)：5-7.

[3]Duffing G.Erzwungene Schwingungen bei Veraderlicher EigenfrequenzundihreTechnischeBedeutung[M].Vieweg,1918.

[4]Hamel G．über erzwungene schwingungen bei endlichen amplituden[J].MathematischeAnnalen,1922,86∶1-13.

[5]Holmes P J,Rand D A.The bifurcations of Duffing’s equation∶An application of catastrophe theory[J].Journal of Sound and Vibration,1976,44∶237-253.

[6]Ueda Y.Randomly transitional phenomena in the system governed by Duffing’s equation[J].Journal of Statistical Physics,1979,20∶181-196.

[7]Ueda Y.Random phenomena resulting from non-linearity inthesystemdescribedbyDuffing’sequation[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1985, 20∶481-491.

[8]黃桂玉.Duffing系統(tǒng)的次諧分岔[J].湖北大學(xué)學(xué)報，1995，17(2)：161-167.

[9]畢勤勝，陳予恕.Duffing方程解的遷移集的解析表達式[J].力學(xué)學(xué)報，1997，29(5)：573-581.

[10]畢勤勝，陳予恕，吳志強.強非線性Duffing系統(tǒng)倍周期分叉[J].振動工程學(xué)報，1997，10(2)：183-189.

[11]錢長照.強非線性Duffing系統(tǒng)分岔相應(yīng)分析的MLP方法[J].動力學(xué)與控制學(xué)報，2008，6(2)：126-129.

[12]唐元璋，翁雪濤，樓京俊，等.非線性常微分方程高階諧波平衡法傅里葉展開的簡化[J].噪聲與振動控制，2014，34(2)：28-33.

[13]張小龍，東亞斌.Duffing型隔振的力傳遞率及跳躍現(xiàn)象的理論分析[J].振動與沖擊，2012，31(16)：38-42.

[14]Hsu C S.A theory of cell-to-cell mapping dynamical systems[J].J.Applied Mechanics,1980,147∶931-939.

Analysis of Snap-through Mechanism in Hard Duffing Vibration Isolation Systems

LOU Jing-jun1,2,ZHANG Hui1,2,YU Xiang1,2,ZHU Shi-jian1,2

(1.College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China; 2.National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise,Wuhan 430033,China)

∶Hard Duffing vibration isolation system sometimes has several periodic solutions under the same harmonic excitation,and the system can bounce back and forth among the several solutions,which is known as snap-through.In order to find the snap-through regions accurately,the amplitude against frequency curve of the system and system amplitude against excitation amplitude curve are plotted by the harmonic balance method.Then,the snap-through regions of the system for different frequencies and excitations are obtained by trial and error method.Finally,the regions are verified to be accurate by PMUCR cell mapping method and Vandel pol plane analysis method.

∶vibration and wave;Duffing;snap-through region;trial and error method;cell mapping;Vandel pol plane

O175.14< class="emphasis_bold">文獻標(biāo)識碼：ADOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.005

1006-1355(2014)06-0020-05

2014-05-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（51179197）；高等學(xué)校全國優(yōu)秀博士學(xué)位論文作者專項資金資助項目（201057）

樓京?。?976-），男，浙江義烏人，博士生導(dǎo)師，目前從事非線性動力學(xué)、振動與噪聲控制研究。

張暉（1985-），男，湖北武漢人，研究生，目前從事非線性動力學(xué)、振動與噪聲控制研究。

E-mail∶zh348688633@163.com