復(fù)雜結(jié)構(gòu)體的聲輻射模態(tài)遠(yuǎn)場計算方法

魚海濤，王英民，王 奇，茍艷妮

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安710072；2.西安科技大學(xué) 理學(xué)院，西安710054）

復(fù)雜結(jié)構(gòu)體的聲輻射模態(tài)遠(yuǎn)場計算方法

魚海濤1，2，王英民1，王 奇1，茍艷妮1

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安710072；2.西安科技大學(xué) 理學(xué)院，西安710054）

聲輻射模態(tài)在主動結(jié)構(gòu)聲控制領(lǐng)域取得了滿意的噪聲控制效果，但缺乏有效簡便的遠(yuǎn)場測量或計算方法已成為其進(jìn)一步發(fā)展的瓶頸?；谶h(yuǎn)場封閉包絡(luò)與結(jié)構(gòu)表面輻射聲功率相等，借助聲傳遞矩陣的概念，將聲輻射模態(tài)的求解轉(zhuǎn)換到流體域進(jìn)行求解，獲得了一種通用的任意結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)場聲輻射模態(tài)求解方法。為了驗證方法的可行性，利用不同的場點包絡(luò)形狀、不同距離的場點以及不同的場點數(shù)目對其性能進(jìn)行分析，主要包括結(jié)構(gòu)輻射聲功率、聲輻射模態(tài)幅值、聲輻射模態(tài)效率。利用獲得的聲輻射模態(tài)計算脈動球的輻射聲功率，并與其理論解進(jìn)行比較，計算結(jié)果顯示不同的場點狀態(tài)對輻射聲功率的影響較小，所獲取的聲輻射模態(tài)和輻射效率具有較高的可信度。同時，本方法可為遠(yuǎn)場測量聲輻射模態(tài)提供理論參考。

聲學(xué)；聲輻射模態(tài)；聲傳遞矩陣；邊界元方法；輻射功率；輻射效率

聲輻射模態(tài)（ARM）自20世紀(jì)90年代由Borgiotti[1]、Sarkissian[2]、Elliott[3]及Cunefare[4,5]等人提出以來，在主動結(jié)構(gòu)聲控制（Active Structural Acoustic Control，簡稱ASAC）領(lǐng)域取得了滿意的噪聲控制效果。與振動模態(tài)相比，因其僅與結(jié)構(gòu)的形狀、尺寸及研究頻率有關(guān)，而與結(jié)構(gòu)的材料、邊界條件及激勵力的屬性無關(guān)，且消除了各階聲輻射之間的相互耦合[6]，國內(nèi)外學(xué)者對于ARM進(jìn)行了持續(xù)的關(guān)注和研究。

姜哲[7]通過一線性自伴正算子確定了一組基函數(shù)作為聲輻射模態(tài)，但其所構(gòu)造的基函數(shù)僅對板狀結(jié)構(gòu)有明確的物理意義。由于邊界元方法（Boundary Element Method，簡稱BEM）更適合任意三維結(jié)構(gòu)的求解，基于BEM的聲輻射模態(tài)計算方法得到了更多的關(guān)注。

黎勝等[8]將CHIEF方法用Moore-Penrose廣義逆引入到聲輻射模態(tài)公式中，給出了正方形封閉空間結(jié)構(gòu)聲輻射模態(tài)的輻射效率和形狀。趙志高等[9]將邊界元方法與廣義特征值的理論結(jié)合研究了球體和立方體的聲輻射模態(tài)。沈火明等[10]基于非協(xié)調(diào)邊界元法研究了球體和立方體的聲輻射模態(tài)。張曉宇等[11]采用對殼體兩端分別延長2個肋位的方法，利用商業(yè)軟件SYSNOISE分析比較了圓錐殼和圓柱殼的聲輻射模態(tài)特性，但對于球體、立方體等無端或多端結(jié)構(gòu)則無法采用此方法進(jìn)行計算，同時由于幾何形狀受到延長肋位的影響，易造成聲輻射模態(tài)形狀及輻射效率的不準(zhǔn)確。Peters等[12]則研究了采用邊界元方法得到的不對稱阻抗矩陣對三維結(jié)構(gòu)聲輻射模態(tài)的影響。吳海軍等[13]使用快速多極子邊界元方法分析了簡支板的聲輻射模態(tài)，主要的貢獻(xiàn)在于提高運(yùn)算速度和減小內(nèi)存占用，為利用快速多極子邊界元方法深入研究三維結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)奠定基礎(chǔ)，但也指出[14]，對于任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)，此方法輸出一組非最有效的聲輻射模態(tài)，因此不適合任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)的求解。上述方法都是通過結(jié)構(gòu)表面振速和結(jié)構(gòu)表面聲壓獲得輻射算子，進(jìn)而獲得聲輻射模態(tài)。

吳衛(wèi)國等人[15]則研究了簡支板聲輻射模態(tài)的遠(yuǎn)場獲取方法，但不能夠在遠(yuǎn)場計算任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)，因此本文借助聲傳遞矩陣（Acoustic Transfer Matrix，簡稱ATM）提出一種適用于任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的遠(yuǎn)場聲輻射模態(tài)求解方法，并分析了不同的場點形狀、不同的場點距離及不同的場點數(shù)目對獲取的聲輻射模態(tài)的影響。

1 聲輻射模態(tài)理論

1.1 結(jié)構(gòu)的輻射聲功率定義

任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的輻射聲功率P可由結(jié)構(gòu)表面聲壓ps和表面法向振速vs表示[4]為

或由場點聲壓pf表示[4]為

式中Γ為結(jié)構(gòu)表面，Ω為場點構(gòu)成的曲面，()*表示()的復(fù)共軛，Re{}表示取實部，y為結(jié)構(gòu)表面上一點，x為流體中一點。

1.2 BEM中結(jié)構(gòu)表面聲壓和表面振速的表示

根據(jù)BEM可知，在輻射問題中，結(jié)構(gòu)表面聲壓ps和結(jié)構(gòu)表面法向振速vs滿足

其中矩陣As和Bs分別由邊界元積分核函數(shù)確定，稱之為邊界元系數(shù)矩陣，i為虛數(shù)，k為波數(shù)，z0=ρ0c0，為流體的特性阻抗，ρ0為流體密度，c0為流體中聲速，Z稱為聲輻射阻抗矩陣。

將式(3)帶入式(1)，并離散化可得

1.3 聲輻射模態(tài)及其輻射效率

對C進(jìn)行特征值分解（Eigenvalue Decomposition，即EVD），有

其中若采用常單元進(jìn)行計算，節(jié)點數(shù)目和單元數(shù)目相等，均為N，則Q為N×N階實矩陣，由N個N階特征向量qk(k=1,2,...,N)組成，Λ為特征值λk(k=1,2,...,N)構(gòu)成的對角矩陣，qk表示一種可能的速度分布，代表了一種固有的輻射形式，即第k階聲輻射模態(tài)（Acoustic Radiation Mode，即ARM），第k階聲輻射模態(tài)的輻射效率定義[4,5]為

因上述的求解基于結(jié)構(gòu)表面聲壓和結(jié)構(gòu)表面法向振速求解，本文將此聲輻射模態(tài)求解方法命名為ARM-SS（ARM on Structrue Surface）。

2 聲輻射模態(tài)遠(yuǎn)場計算方法

任意結(jié)構(gòu)聲輻射在場點引起的聲壓，根據(jù)BEM有

令

有

其中矩陣Af和Bf分別由邊界元積分核函數(shù)確定，稱之為邊界元系數(shù)矩陣，T稱為聲傳遞向量（Acoustic Transfer Vector，即ATV，適用于單個場點）或聲傳遞矩陣（Acoustic Transfer Matrix，即ATM，適用于多個場點），建立了輻射問題中場點聲壓與結(jié)構(gòu)表面法向振速之間的映射關(guān)系。

同時注意到式(8)建立了矩陣T與聲輻射阻抗矩陣Z之間的映射關(guān)系，而通過式(4)可知耦合矩陣C可通過聲輻射阻抗矩陣Z獲得，因此可通過聲傳遞矩陣T計算耦合矩陣C。

在取多個場點時，T矩陣大小為Nf×N維，表示結(jié)構(gòu)上每個小單元的法向振速與場點球面Ω上每個小單元聲壓之間的關(guān)系。一般地，場點單元數(shù)目Nf與結(jié)構(gòu)單元數(shù)目N并不相等，因此矩陣T為長方形矩陣，不是方陣。

將式(2)離散化，可得

其中矩陣F為一對角矩陣，若用SΩi表示場點球面Ω上第i個小單元的面積，則

因此其大小為Nf×Nf維。

將式(9)代入式(10)，有

若定義

則式(2)與式(4)最右端相等，且矩陣C大小為N×N維，可對式(13)中矩陣C進(jìn)行如式(5)和式(6)的聲輻射模態(tài)相關(guān)求解。

此方法計算耦合矩陣C所需矩陣T和F均為場點的相關(guān)參量，不需要在結(jié)構(gòu)表面進(jìn)行求解，因此屬遠(yuǎn)場方法；同時，本方法基于聲傳遞矩陣T進(jìn)行計算，因此，將其稱為ARM-ATM（ARM based on ATM）。另外聲傳遞矩陣T可針對任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)體進(jìn)行計算，因此本方法適合任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)體的聲輻射模態(tài)求解，且可通過商業(yè)軟件SYSNOISE或LMS Virtual Lab等獲得，一旦聲傳遞矩陣和場點面積對角矩陣獲得，則結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)便可通過計算得到。

3 性能分析

由于脈動球輻射聲功率具有理論解，為了驗證ARM-ATM的正確性，選取半徑a=1 m的脈動球殼進(jìn)行驗證。使用四邊形映射網(wǎng)格劃分為2 402個節(jié)點和2 400個單元。流體為水，其密度ρ0=1 000 kg/m3和聲速c0=1 500 m/s，分別采用不同的場點形狀、不同場點距離、不同場點數(shù)目，研究其對所獲得的結(jié)構(gòu)輻射聲功率、聲輻射模態(tài)形狀、各階聲輻射模態(tài)效率的影響。

3.1 不同場點形狀的影響

采用兩種不同場點包絡(luò)形狀進(jìn)行計算，球形包絡(luò)和橢球形包絡(luò)，其中：球面場點半徑10 m，包含602個節(jié)點、600個單元；橢球場點由球面場點分別對x、y、z坐標(biāo)放大1、1.5、2倍得到，同樣包含602個節(jié)點、600個單元。

（1）輻射聲功率：利用所獲得的聲輻射模態(tài)對脈動球不同波數(shù)下的輻射聲功率進(jìn)行計算，其相對誤差及所需聲輻射模態(tài)數(shù)目如表1所示。

可見，由ARM-SS和ARM-ATM方法獲得的輻射聲功率相對誤差均在合理范圍內(nèi)，且相對誤差隨波數(shù)的增加而增大。橢球場點的相對誤差比球狀場點誤差大約1%，其原因可歸結(jié)為橢球包絡(luò)與球狀結(jié)構(gòu)網(wǎng)格產(chǎn)生的一定程度的失配。對ARM-SS和ARM-ATM，兩種方法在小波數(shù)下重新計算輻射聲功率所需模態(tài)數(shù)目均為1，隨著波數(shù)的增加，所需模態(tài)數(shù)目顯著增加，且ARM-SS和ARM-ATM方法所需模態(tài)數(shù)目幾乎一致。

（2）聲輻射模態(tài)幅值：所獲得聲輻射模態(tài)形狀，除第1階模態(tài)外，與文獻(xiàn)[5]具有極高的相似性，表2給出了k=0.1時第1階模態(tài)的平均值、最大值及最小值比較。可見，通過ARM-SS和ARM-ATM方法獲得的第1階ARM的均值幾乎相同，而無論對球形場點還是對橢球場點，ARM-ATM方法獲得的最大值比ARM-SS方法稍大，但最小值卻比ARM-SS方法小得多，其原因歸結(jié)為場點網(wǎng)格面積的影響，且僅有四個單元的幅值為此最小值，大多數(shù)單元幅值等于或接近最大值。因此，ARM-ATM方法對聲輻射模態(tài)形狀影響不大。

表1 采用ARM-SS和ARM-ATM方法計算輻射聲功率所需模態(tài)數(shù)目及對應(yīng)相對誤差

（3）聲輻射模態(tài)輻射效率：兩種方法在k=0.1和k=12時的各階模態(tài)輻射效率比較如圖1所示。

由圖1(a)可見，在小波數(shù)情況下，根據(jù)ARM-SS和ARM-ATM方法獲得的聲輻射模態(tài)輻射效率具有如文獻(xiàn)[5]所述明顯的分組特性。同時，注意到其數(shù)量級，從第2階模態(tài)開始，ARM-ATM方法獲得的輻射效率比ARM-SS稍大，而球狀場點的比橢球場點的稍大。但根據(jù)表1可知，在小波數(shù)情況下，輻射聲功率的計算僅需要第1階模態(tài)，因此對輻射聲功率的計算不產(chǎn)生影響。

表2 k=0.1時第1階模態(tài)平均值、最大值及最小值比較

圖1 ARM-ATM與ARM-SS對輻射效率影響情況比較

由圖1(b)可見，在較大波數(shù)情況下，對于中低階模態(tài)而言，ARM-SS對應(yīng)的輻射效率幾乎不變，但ARM-ATM對應(yīng)的輻射效率隨著模態(tài)階數(shù)有較小的變化，易見球狀場點對應(yīng)的輻射效率具有明顯的分組特性，其原因為引入的場點對其產(chǎn)生了一定的影響。同時，ARM-ATM獲得的輻射效率比ARM-SS獲得的輻射效率稍大，從而解釋了表1中橢球場點k=12和k=16所需模態(tài)數(shù)目稍少的原因。隨著模態(tài)階次的增加，不同方法間的輻射效率差異逐漸減小。

綜上，不同場點包絡(luò)形狀對結(jié)構(gòu)輻射聲功率的計算及聲輻射模態(tài)的獲取影響不大。

3.2 不同場點距離的影響

為了研究場點在不同距離處對ARM-ATM的影響，3.1節(jié)中的球形場點被縮小或放大為半徑R分別等于1.01 m、2 m、10 m、100 m和1 000 m的球形場點，其節(jié)點數(shù)目和單元數(shù)目仍然分別為602和600個。顯然半徑為1.01 m和2 m屬于近場場點，而剩余三個為遠(yuǎn)場場點。

（1）輻射聲功率：不同半徑場點計算得到的輻射聲功率相對誤差及所需模態(tài)數(shù)目如表3所示，限于篇幅所限，將半徑10 m和100 m的相應(yīng)數(shù)據(jù)省略掉，其相對誤差及所需模態(tài)數(shù)目均與1 000 m對應(yīng)數(shù)據(jù)相同?？梢?，對輻射聲功率的相對誤差而言，不同半徑的場點包絡(luò)沒有明顯的區(qū)別，且輻射聲功率相對誤差均在合理范圍之內(nèi)。然而，在波數(shù)較大時，近場場點所需模態(tài)數(shù)目較遠(yuǎn)場場點要多，而此情況對R=1.01 m更甚，其原因在本節(jié)（3）中進(jìn)行討論。但遠(yuǎn)場場點則不受此影響，遠(yuǎn)場場點所需模態(tài)數(shù)目保持了良好的一致性。

（2）聲輻射模態(tài)幅值：在3.1節(jié)已經(jīng)對半徑為10 m的球狀場點和ARM-SS方法進(jìn)行了比較，因此，本節(jié)將k=0.1時半徑為10 m的球狀場點所獲得的前9階聲輻射模態(tài)作為基礎(chǔ)進(jìn)行比較。研究發(fā)現(xiàn)：對半徑1 000 m的場點，第1階模態(tài)的最大值、最小值與半徑10 m處的相對誤差達(dá)到了10-4的數(shù)量級，而第2階—第8階模態(tài)也保持在10-2的數(shù)量級，僅第9階模態(tài)的相對誤差稍大，但仍在正常范圍內(nèi)。盡管半徑2 m的相對誤差比半徑1 000 m的誤差稍大，但結(jié)果仍然可信。而由半徑1.01 m場點計算的第1階模態(tài)最小值誤差相當(dāng)?shù)拇?，但其原因?.1節(jié)（2）中已進(jìn)行了討論。同時第8階及第9階模態(tài)誤差也相當(dāng)大，但在計算輻射聲功率時僅需第1階模態(tài)，因此，不同場點位置對基于ARM-ATM計算的結(jié)構(gòu)輻射聲功率影響甚小。

（3）聲輻射模態(tài)輻射效率：圖2給出了不同場點距離處獲得的聲輻射模態(tài)輻射效率的比較，可見，R=1.01 m對應(yīng)的輻射效率在小波數(shù)及大波數(shù)情況下均較其他距離處大。

在波數(shù)較小情況下，半徑1 000 m場點和100 m場點對應(yīng)的輻射效率完全重合，且從第2階模態(tài)開始，同階模態(tài)輻射效率隨場點距離減小有所增大，但在小波數(shù)情況下，計算輻射聲功率時僅需第1階模態(tài)，因此對輻射聲功率的計算沒有影響。

在大波數(shù)情況下，除半徑為1.01 m場點對應(yīng)的輻射效率曲線，其他半徑場點輻射效率曲線表現(xiàn)出了明顯的聚類特性，這也就解釋了表3中除R=1.01 m外，使用不同場點計算輻射聲功率所需模態(tài)階數(shù)大致相同的原因。需要注意的是，從理論上來說R= 1.01 m對應(yīng)的輻射效率較大，則計算輻射功率理應(yīng)需要更少模態(tài)數(shù)目，但從計算結(jié)果來看在頻率稍高時，需要更多階模態(tài)數(shù)目，其原因為：在R=1.01 m處求解，相當(dāng)于在貼近結(jié)構(gòu)表面計算，邊界元計算過程中場點到單元的距離遠(yuǎn)小于單元特征長度導(dǎo)致的計算誤差，不可避免地產(chǎn)生了大量近奇異積分，造成了積分結(jié)果的不準(zhǔn)確，進(jìn)而導(dǎo)致所獲取的輻射模態(tài)幅值不準(zhǔn)確。

因此，使用ARM-ATM計算結(jié)構(gòu)的輻射聲功率及聲輻射模態(tài)，只要場點不緊貼結(jié)構(gòu)表面，均可獲得較理想的結(jié)果，而對于緊貼表面的測量與計算，采用ARM-SS則更經(jīng)濟(jì)、有效。

3.3 不同場點數(shù)目的影響

為了研究在不同場點數(shù)目對ARM-ATM的影響，3.1節(jié)中的球形場點分別被劃分為24個、384個、600個及1 536個單元，用于驗證其性能。

（1）輻射聲功率：使用不同場點數(shù)目計算得到的輻射聲功率相對誤差及所需模態(tài)數(shù)目如表4所示，可見，使用單元數(shù)目較多的場點計算輻射聲功率，從相對誤差上來看沒有明顯的區(qū)別。但對于單元數(shù)目較少，如24個單元時，小波數(shù)和大波數(shù)對應(yīng)的相對誤差均較大，但仍在可容忍范圍內(nèi)，誤差較大的原因歸結(jié)為單元劃分的粗糙程度，10 m的球形場點僅用24個單元進(jìn)行表示，從圖形上來看并不是球形，而是一個24面體，因此引入了較大的誤差。但從大波數(shù)的分析來看，所需模態(tài)階數(shù)有了大幅降低，因此其收斂性較好，即場點單元數(shù)目較少時適用于對測量誤差要求不高的粗測。

（2）聲輻射模態(tài)幅值：由于3.1節(jié)和3.2節(jié)已分別將半徑R=10 m球狀場點與ARM-SS和不同半徑的球狀場點進(jìn)行了比較，本節(jié)將其作為基礎(chǔ)進(jìn)行對比，其單元數(shù)目為600個，研究發(fā)現(xiàn)：在球狀場點單元劃分?jǐn)?shù)目不同時，除24個單元場點對應(yīng)的第一階模態(tài)的最小值以外（其原因在3.1節(jié)已進(jìn)行過討論），利用ARM-ATM方法獲得的前7階聲輻射模態(tài)差異很小，而第8、9階模態(tài)則差異較大，但在k=0.1等小波數(shù)情況下計算輻射聲功率時僅與第1階模態(tài)有關(guān)，因此對輻射聲功率的計算影響很小。同時注意到，場點數(shù)目稍大會有利于聲輻射模態(tài)的準(zhǔn)確獲取，其原因可理解為場點數(shù)目較多時，場點接受的信息冗余度增加，有助于信息的準(zhǔn)確獲取。

表4 采用不同場點數(shù)目時ARM-ATM方法計算輻射聲功率所需模態(tài)數(shù)目及對應(yīng)相對誤差

（3）聲輻射模態(tài)輻射效率：不同場點數(shù)目對輻射效率的影響如圖3所示?？梢姡谛〔〝?shù)情況下4種場點劃分方法獲得的輻射效率具有很高的吻合度。但在大波數(shù)情況下，對輻射效率曲線而言，使用場點數(shù)目較少的單元劃分方法大于場點數(shù)目較多的單元劃分方法，如圖3(b)所示，384個單元、600個單元及1 536個單元劃分方法的輻射效率保持了較高的一致性，但24單元劃分方法的輻射效率比前三者均高，解釋了表4中24個單元劃分方法用于求解輻射聲功率所需模態(tài)數(shù)目少、收斂性好的原因。

因此，單元數(shù)目較多時對于聲輻射模態(tài)的獲取及輻射聲功率的計算影響很小，而單元數(shù)目較少時適合測量要求不高的粗測。需要說明的是：高波數(shù)情形下遠(yuǎn)場聲壓變化比低波數(shù)情形要復(fù)雜，因此要獲得足夠準(zhǔn)確的聲場數(shù)據(jù)計算聲輻射模態(tài)，就需要布置更多的場點，需要考慮聲波的空間分辨率因素，即采樣空間分辨率要滿足聲波的空間采樣定律。

圖3 不同場點數(shù)目對輻射效率的影響比較

4 結(jié)語

借助聲傳遞矩陣將結(jié)構(gòu)表面振速和場點聲壓聯(lián)系起來的特性，將聲傳遞矩陣引入到聲輻射模態(tài)的求解當(dāng)中，使在遠(yuǎn)場計算任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)成為可能，給出了遠(yuǎn)場計算任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)體的聲輻射模態(tài)的通用方法ARM-ATM，利用脈動球輻射聲功率及聲輻射模態(tài)幅值及效率進(jìn)行性能驗證，通過不同的場點包絡(luò)形狀、不同的場點距離及不同的場點數(shù)目的比較，對其性能進(jìn)行了分析。結(jié)果表明：只要場點不貼近結(jié)構(gòu)表面，ARM-ATM方法在不同場點包絡(luò)、不同場點距離處及不同場點數(shù)目下均可獲取較可信的結(jié)果。

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Far Field ComputationApproach ofAcoustic Radiation Modes forArbitrary Structures

YU Hai-tao1,2,WANG Ying-min1,WANGQi1,GOU Yan-ni1

(1.School of Marine Science and Technology,Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072,China; (2.School of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China)

∶Acoustic radiation modes(ARM)have achieved satisfactory effects in adaptive noise control.However,lack of effective and convenient measurement or computation approach hinders them from their further development.Since the acoustic radiation power at the far field enclosed envelope is equal to that in structure surface,the solution of ARM can be converted to the computation in fluid domain with the help of the concept of acoustic transfer matrix(ATM).In this paper,a general far field computation approach for arbitrary structures is proposed.To validate the feasibility of this approach,the performance of acoustic radiation power of structure,amplitudes of ARM and efficiency of ARM are analyzed with different shapes of field point envelope,different radius field point envelopes and different numbers of field points.As an example, the acoustic radiation power of a pulsing sphere is calculated by using the ARM obtained at the far field,and is compared with the theoretical solution.The computation results show that the different field point conditions have only a little influence on the computation of acoustic radiation power,and the obtained ARM and its efficiency have high credibility.The proposed approach has provided a theoretical basis for measurement ofARM at the far field.

∶acoustics;acoustic radiation mode;acoustic transfer matrix;boundary element method(BEM);radiation power;radiation efficiency

TB535< class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.06.001

1006-1355(2014)06-0001-06

2014-05-06

國家自然科學(xué)基金項目（51309191）；西安科技大學(xué)培育基金項目（201137）

魚海濤（1979-），男，陜西長武人，博士生，主要研究方向：水下物理場與信息感知。

E-mail∶haitaoyu@xust.edu.cn

王英民（1963-），男，博士生導(dǎo)師。