解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題面面觀

文/李風(fēng)

摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，而解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題又是近幾年高考考查的熱點(diǎn)題型。這就要求教師對(duì)對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納、總結(jié)，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一個(gè)較完整、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。介紹解析幾何中常見的三類對(duì)稱問(wèn)題：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題、直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題、曲線方程中的對(duì)稱問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：解析幾何；對(duì)稱問(wèn)題；高考數(shù)學(xué)

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)C（x3，y3）關(guān)于點(diǎn)B（x2，y2）對(duì)稱，即點(diǎn)B為點(diǎn)A和點(diǎn)C的中點(diǎn)，且坐標(biāo)滿足x2=■，y2=■.

二、直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題

1.求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

問(wèn)題：求已知點(diǎn)A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B（xB，yB）。

求已知點(diǎn)A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B（xB，yB），其基本思想是根據(jù)直線l是直線AB的垂直平分線，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

解法一：步驟一，根據(jù)AB⊥l，且點(diǎn)A在直線AB上，利用點(diǎn)斜式即可求出直線AB的方程；步驟二，求點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)即直線l和直線AB的交點(diǎn)Q；步驟三，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

解法二：步驟一，設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)為Q（■，■），根據(jù)直線AQ⊥l，且點(diǎn)Q在直線l上，聯(lián)立二元一次方程組即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；步驟二，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

備注：上述兩種方法是求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的一般解法，方法一運(yùn)用了直線的有關(guān)知識(shí)，方法二則突出了方程的思想。

2.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程

問(wèn)題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，求關(guān)于點(diǎn)A（xA，yA）對(duì)稱的直線方程為l2。

解法一：步驟一，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求直線l2上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′在已知直線l1上，且點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入直線方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直線方程為A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因?yàn)橹本€l1、l2關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以這兩條直線平行，設(shè)所求直線為l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直線l1上取一點(diǎn)（0，-■），則點(diǎn)（0，-■）關(guān)于A（xA，yA）對(duì)稱的點(diǎn)2（xA，2yA+■）在直線l2上，將點(diǎn)2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，從而求得l2的直線方程。

注：上述兩種方法是解本題型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解決其他圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題；方法二為待定系數(shù)法，它利用了圖形的幾何性質(zhì)，解答本題型較為簡(jiǎn)便。

3.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程

問(wèn)題：求直線l1：A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對(duì)稱的直線方程l3。

解法一：步驟一：聯(lián)立l1、l2的直線方程，求得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)N；步驟二：在l1上取點(diǎn)M（0，-■），則可求得點(diǎn)M（0，-■）關(guān)于l2對(duì)稱的點(diǎn)M′；步驟三：因?yàn)辄c(diǎn)N、M都在直線l3，所以由兩點(diǎn)式方程即可求得l3的直線方程。

解法二：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求直線l3上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P0（x0，y0）在直線l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，線段PP0的中點(diǎn)M（■，■）。因?yàn)辄c(diǎn)P與P0關(guān)于直線l2對(duì)稱，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分別關(guān)于x、y的表達(dá)式，代入直線方程l1中，即可求得l3的直線方程。

備注：解法一和解法二的思想都是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P0的問(wèn)題。

三、曲線中的對(duì)稱問(wèn)題

1.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程

因?yàn)閳A的方程由圓心和半徑即可確定，兩個(gè)圓關(guān)于直線對(duì)稱，

大小相同，半徑一定相等，所以求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓，只需求已知圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，就是所求圓的圓心，

從而求得所求圓的方程。

2.利用圓的對(duì)稱性求圓的方程

若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，則此直線一定是圓的直徑，再根據(jù)其他條件即可確定圓的方程。

3.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程

問(wèn)題：已知曲線C1:f（x，y）=0，求關(guān)于點(diǎn)A（xA，yA）對(duì)稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′在已知曲線C1上，且點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程

問(wèn)題：已知曲線C1：f（x，y）=0，求關(guān)于已知直線l對(duì)稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）在已知曲線C1上；步驟二，將P′（x′，y′）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（x′，y′）=0。

解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題即分為點(diǎn)對(duì)稱和直線對(duì)稱（軸對(duì)稱），

點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決，直線對(duì)稱（軸對(duì)稱）問(wèn)題可以借助于中垂線，即根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率關(guān)系可解決。

參考文獻(xiàn)：

［1］胡雄偉.高等職業(yè)院校對(duì)口招生考試考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材［M］.遠(yuǎn)方出版社，2011.

［2］任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吳偉.解析幾何中關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題的一點(diǎn)探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 與研究，2008（08）.

［4］王粉霞.與解析幾何中的對(duì)稱相關(guān)的問(wèn)題［J］.教育革新，2008（03）.

［5］張銀歧.解析幾何中“對(duì)稱”問(wèn)題的解法探析［J］.魅力中國(guó)，2011（03）.

編輯 郭曉云

endprint

摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，而解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題又是近幾年高考考查的熱點(diǎn)題型。這就要求教師對(duì)對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納、總結(jié)，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一個(gè)較完整、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。介紹解析幾何中常見的三類對(duì)稱問(wèn)題：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題、直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題、曲線方程中的對(duì)稱問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：解析幾何；對(duì)稱問(wèn)題；高考數(shù)學(xué)

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)C（x3，y3）關(guān)于點(diǎn)B（x2，y2）對(duì)稱，即點(diǎn)B為點(diǎn)A和點(diǎn)C的中點(diǎn)，且坐標(biāo)滿足x2=■，y2=■.

二、直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題

1.求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

問(wèn)題：求已知點(diǎn)A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B（xB，yB）。

求已知點(diǎn)A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B（xB，yB），其基本思想是根據(jù)直線l是直線AB的垂直平分線，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

解法一：步驟一，根據(jù)AB⊥l，且點(diǎn)A在直線AB上，利用點(diǎn)斜式即可求出直線AB的方程；步驟二，求點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)即直線l和直線AB的交點(diǎn)Q；步驟三，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

解法二：步驟一，設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)為Q（■，■），根據(jù)直線AQ⊥l，且點(diǎn)Q在直線l上，聯(lián)立二元一次方程組即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；步驟二，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

備注：上述兩種方法是求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的一般解法，方法一運(yùn)用了直線的有關(guān)知識(shí)，方法二則突出了方程的思想。

2.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程

問(wèn)題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，求關(guān)于點(diǎn)A（xA，yA）對(duì)稱的直線方程為l2。

解法一：步驟一，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求直線l2上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′在已知直線l1上，且點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入直線方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直線方程為A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因?yàn)橹本€l1、l2關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以這兩條直線平行，設(shè)所求直線為l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直線l1上取一點(diǎn)（0，-■），則點(diǎn)（0，-■）關(guān)于A（xA，yA）對(duì)稱的點(diǎn)2（xA，2yA+■）在直線l2上，將點(diǎn)2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，從而求得l2的直線方程。

注：上述兩種方法是解本題型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解決其他圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題；方法二為待定系數(shù)法，它利用了圖形的幾何性質(zhì)，解答本題型較為簡(jiǎn)便。

3.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程

問(wèn)題：求直線l1：A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對(duì)稱的直線方程l3。

解法一：步驟一：聯(lián)立l1、l2的直線方程，求得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)N；步驟二：在l1上取點(diǎn)M（0，-■），則可求得點(diǎn)M（0，-■）關(guān)于l2對(duì)稱的點(diǎn)M′；步驟三：因?yàn)辄c(diǎn)N、M都在直線l3，所以由兩點(diǎn)式方程即可求得l3的直線方程。

解法二：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求直線l3上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P0（x0，y0）在直線l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，線段PP0的中點(diǎn)M（■，■）。因?yàn)辄c(diǎn)P與P0關(guān)于直線l2對(duì)稱，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分別關(guān)于x、y的表達(dá)式，代入直線方程l1中，即可求得l3的直線方程。

備注：解法一和解法二的思想都是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P0的問(wèn)題。

三、曲線中的對(duì)稱問(wèn)題

1.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程

因?yàn)閳A的方程由圓心和半徑即可確定，兩個(gè)圓關(guān)于直線對(duì)稱，

大小相同，半徑一定相等，所以求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓，只需求已知圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，就是所求圓的圓心，

從而求得所求圓的方程。

2.利用圓的對(duì)稱性求圓的方程

若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，則此直線一定是圓的直徑，再根據(jù)其他條件即可確定圓的方程。

3.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程

問(wèn)題：已知曲線C1:f（x，y）=0，求關(guān)于點(diǎn)A（xA，yA）對(duì)稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′在已知曲線C1上，且點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程

問(wèn)題：已知曲線C1：f（x，y）=0，求關(guān)于已知直線l對(duì)稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）在已知曲線C1上；步驟二，將P′（x′，y′）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（x′，y′）=0。

解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題即分為點(diǎn)對(duì)稱和直線對(duì)稱（軸對(duì)稱），

點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決，直線對(duì)稱（軸對(duì)稱）問(wèn)題可以借助于中垂線，即根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率關(guān)系可解決。

參考文獻(xiàn)：

［1］胡雄偉.高等職業(yè)院校對(duì)口招生考試考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材［M］.遠(yuǎn)方出版社，2011.

［2］任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吳偉.解析幾何中關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題的一點(diǎn)探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 與研究，2008（08）.

［4］王粉霞.與解析幾何中的對(duì)稱相關(guān)的問(wèn)題［J］.教育革新，2008（03）.

［5］張銀歧.解析幾何中“對(duì)稱”問(wèn)題的解法探析［J］.魅力中國(guó)，2011（03）.

編輯 郭曉云

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摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，而解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題又是近幾年高考考查的熱點(diǎn)題型。這就要求教師對(duì)對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納、總結(jié)，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一個(gè)較完整、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。介紹解析幾何中常見的三類對(duì)稱問(wèn)題：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題、直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題、曲線方程中的對(duì)稱問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：解析幾何；對(duì)稱問(wèn)題；高考數(shù)學(xué)

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)C（x3，y3）關(guān)于點(diǎn)B（x2，y2）對(duì)稱，即點(diǎn)B為點(diǎn)A和點(diǎn)C的中點(diǎn)，且坐標(biāo)滿足x2=■，y2=■.

二、直線方程中的對(duì)稱問(wèn)題

1.求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

問(wèn)題：求已知點(diǎn)A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B（xB，yB）。

求已知點(diǎn)A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B（xB，yB），其基本思想是根據(jù)直線l是直線AB的垂直平分線，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

解法一：步驟一，根據(jù)AB⊥l，且點(diǎn)A在直線AB上，利用點(diǎn)斜式即可求出直線AB的方程；步驟二，求點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)即直線l和直線AB的交點(diǎn)Q；步驟三，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

解法二：步驟一，設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)B的中點(diǎn)為Q（■，■），根據(jù)直線AQ⊥l，且點(diǎn)Q在直線l上，聯(lián)立二元一次方程組即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；步驟二，根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。

備注：上述兩種方法是求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的一般解法，方法一運(yùn)用了直線的有關(guān)知識(shí)，方法二則突出了方程的思想。

2.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程

問(wèn)題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，求關(guān)于點(diǎn)A（xA，yA）對(duì)稱的直線方程為l2。

解法一：步驟一，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求直線l2上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′在已知直線l1上，且點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入直線方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直線方程為A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因?yàn)橹本€l1、l2關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以這兩條直線平行，設(shè)所求直線為l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直線l1上取一點(diǎn)（0，-■），則點(diǎn)（0，-■）關(guān)于A（xA，yA）對(duì)稱的點(diǎn)2（xA，2yA+■）在直線l2上，將點(diǎn)2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，從而求得l2的直線方程。

注：上述兩種方法是解本題型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解決其他圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題；方法二為待定系數(shù)法，它利用了圖形的幾何性質(zhì)，解答本題型較為簡(jiǎn)便。

3.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程

問(wèn)題：求直線l1：A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對(duì)稱的直線方程l3。

解法一：步驟一：聯(lián)立l1、l2的直線方程，求得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)N；步驟二：在l1上取點(diǎn)M（0，-■），則可求得點(diǎn)M（0，-■）關(guān)于l2對(duì)稱的點(diǎn)M′；步驟三：因?yàn)辄c(diǎn)N、M都在直線l3，所以由兩點(diǎn)式方程即可求得l3的直線方程。

解法二：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求直線l3上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P0（x0，y0）在直線l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，線段PP0的中點(diǎn)M（■，■）。因?yàn)辄c(diǎn)P與P0關(guān)于直線l2對(duì)稱，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分別關(guān)于x、y的表達(dá)式，代入直線方程l1中，即可求得l3的直線方程。

備注：解法一和解法二的思想都是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P0的問(wèn)題。

三、曲線中的對(duì)稱問(wèn)題

1.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程

因?yàn)閳A的方程由圓心和半徑即可確定，兩個(gè)圓關(guān)于直線對(duì)稱，

大小相同，半徑一定相等，所以求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓，只需求已知圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，就是所求圓的圓心，

從而求得所求圓的方程。

2.利用圓的對(duì)稱性求圓的方程

若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)都在圓上，則此直線一定是圓的直徑，再根據(jù)其他條件即可確定圓的方程。

3.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程

問(wèn)題：已知曲線C1:f（x，y）=0，求關(guān)于點(diǎn)A（xA，yA）對(duì)稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′在已知曲線C1上，且點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程

問(wèn)題：已知曲線C1：f（x，y）=0，求關(guān)于已知直線l對(duì)稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）在已知曲線C1上；步驟二，將P′（x′，y′）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（x′，y′）=0。

解析幾何中的對(duì)稱問(wèn)題即分為點(diǎn)對(duì)稱和直線對(duì)稱（軸對(duì)稱），

點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決，直線對(duì)稱（軸對(duì)稱）問(wèn)題可以借助于中垂線，即根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率關(guān)系可解決。

參考文獻(xiàn)：

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［5］張銀歧.解析幾何中“對(duì)稱”問(wèn)題的解法探析［J］.魅力中國(guó)，2011（03）.

編輯 郭曉云

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