用計(jì)算機(jī)軟件驗(yàn)證和證明數(shù)學(xué)問題應(yīng)謹(jǐn)慎

文/寧玉川

摘 要：計(jì)算機(jī)圖形軟件的算法也是基于數(shù)學(xué)理論建立起來的，由于程序員編寫的程序所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是看不到的，因此一不小心，就會犯下循環(huán)論證的錯誤。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)證明；循環(huán)論證；過程目標(biāo)

在初中數(shù)學(xué)教材（人教版）上，設(shè)置了幾個可用計(jì)算機(jī)軟件去驗(yàn)證的數(shù)學(xué)問題，如，探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、探索二次函數(shù)性質(zhì)、探索位似性質(zhì)等。這些內(nèi)容的設(shè)置，豐富了教材的內(nèi)容，增強(qiáng)了教材的趣味性，具有一定的時代特色。

但是，用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證或證明數(shù)學(xué)問題真的具有合理性嗎？

比如，在初中數(shù)學(xué)教材（人教版）九年級下冊，第27章中的“平行線等分線段對應(yīng)成比例”一節(jié)，課本上是通過讓學(xué)生畫圖并測量得出結(jié)論的。然而，學(xué)生畫圖和測量不可能十分精確，都會出現(xiàn)誤差，有的只能得出近似成比例的結(jié)果，這時，我們應(yīng)該用歸納法得出猜想，再通過大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其合理性、真實(shí)性、可靠性。

如果某人試圖用相似三角形的性質(zhì)去證明上述定理，顯然是十分荒謬的，顯然這是犯了循環(huán)論證的錯誤。

也有的教師為了能完美地得出精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了用計(jì)算機(jī)軟件測量驗(yàn)證的方法，甚至在一些公開課活動中，也動用了此方法。評課時，很多教師對此大加贊賞，說什么既減少了實(shí)驗(yàn)誤差，又使用了現(xiàn)代教學(xué)手段。豈不知，不知不覺中，我們就有可能犯了一個嚴(yán)重的邏輯錯誤——循環(huán)論證。

為什么這樣說呢？

因?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形軟件的算法也是基于數(shù)學(xué)理論建立起來的，各種應(yīng)用軟件都是用一些計(jì)算機(jī)高級語言程序開發(fā)的，這些高級語言為開發(fā)者提供了大量的函數(shù)（又稱為類）模型，用于軟件開發(fā)者綜合使用這些函數(shù)處理各種信息，包括圖形。而應(yīng)用程序的使用者之所以移動鼠標(biāo)就可以畫出各種圖形，是因?yàn)橛?jì)算機(jī)通過應(yīng)用軟件把鼠標(biāo)的坐標(biāo)信息傳遞給了這些函數(shù)模型，從而畫出（顯示）了相應(yīng)的圖象。在高級語言提供的類函數(shù)中，包含了類似于平線線分線段成比例的類函數(shù)，這個類函數(shù)就是基于平行線分線段成比例建立起來的。我們應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件畫出的三條平行線分兩條直線一定是符合函數(shù)模型的，也就是說計(jì)算機(jī)是運(yùn)用平行線分線段成比例計(jì)算出顯示坐標(biāo)，從而了畫出的平行直線。如果我們又反過來用計(jì)算機(jī)建立的平行直線去驗(yàn)證所截線段是否成比

例，那恰好等同于用平行線分線段成比例本身去驗(yàn)證自己。所以說，用計(jì)算機(jī)軟件證明上述定理是荒謬的，犯了循環(huán)論證的嚴(yán)重錯誤。

也許某些圖形軟件在處理有關(guān)平行線的繪圖時沒有使用類似于平線線分線段成比例的類函數(shù)，而使用的是與之不相關(guān)聯(lián)的算法編寫的應(yīng)用程序。如果是這樣的話，我們使用它去證明上述的平行線分線段成比例是沒有問題的。可是我們不是應(yīng)用程序的編寫者，當(dāng)然并不知道某個軟件運(yùn)行時，使用的是何種算法，因此盲目用計(jì)算機(jī)軟件證明一個數(shù)學(xué)問題是不可靠的。

我們不要誤認(rèn)為計(jì)算是萬能的，計(jì)算機(jī)是人類用已有的智慧建造出來的，在計(jì)算速度和記憶檢索能力方面超過了自然人，但是這些能力畢竟是程序編制者賦予的，在計(jì)算方法方面永遠(yuǎn)按照編程者給出的指令去運(yùn)行。編程者所提供給計(jì)算機(jī)的計(jì)算方法，無不來自已有的數(shù)學(xué)定理定律。到目前為止，還沒聽說過哪臺計(jì)算機(jī)能自己編寫真正意義的新的計(jì)算方法。一些原初的基本的定理，是不可能用計(jì)算機(jī)證明的。所謂計(jì)算機(jī)證明、驗(yàn)證，充其量只是一種旁證而已。也就是說，計(jì)算機(jī)只可以證明一些推論，驗(yàn)證一些推廣，驗(yàn)證解答的正確性。所以說計(jì)算機(jī)證明只是一種輔助的驗(yàn)證，具有很大的局限性。

所謂的計(jì)算機(jī)計(jì)算證明，至少到現(xiàn)在為止，還處于初級的研究階段。就拿最為著名的“用計(jì)算機(jī)證明四色定理”為例：20世紀(jì)初，肯普提出了一個證明的思路，不過過程十分繁雜。富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年以后，人們把定理的證明推廣到35國地圖。1960年又證明了39國以下的地圖也可以，隨后又推進(jìn)到了50國。但是由于運(yùn)算十分復(fù)雜，推進(jìn)十分緩慢。直到1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯把證明方法過程編寫成程序輸入了計(jì)算機(jī)，讓這些復(fù)雜演算用計(jì)算機(jī)去完成，結(jié)果計(jì)算機(jī)用了1千多小時，做了100億多個判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動了全世界。兩位數(shù)學(xué)家謙虛地說是計(jì)算機(jī)完成了四色定理的證明。不過多數(shù)科學(xué)家并不贊同這是計(jì)算機(jī)取得的成就，因?yàn)檫@個證明的辦法是數(shù)學(xué)家找到的，只是因計(jì)算量特別大，短時間內(nèi)用紙筆很難完成，所以編寫成程序輸入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)發(fā)揮了其計(jì)算速度快的特點(diǎn)，在一個相對較短的時間內(nèi)，按照人所設(shè)定的流程，完成了繁雜的演算過程而已。至今人們還在尋找四色定理簡潔明快的書面證明方法。

綜上所述，計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)問題，至今仍處于探索研究階段。我們在教學(xué)中不要輕言所謂用計(jì)算機(jī)去證明數(shù)學(xué)定理，不要誤導(dǎo)學(xué)生，不要讓他們誤認(rèn)為可以不用學(xué)習(xí)，什么事情都可以交給計(jì)算機(jī)，要讓學(xué)生知道計(jì)算機(jī)也是聽人的指揮的。

雖然用計(jì)算機(jī)去證明數(shù)學(xué)定理是不一定都是可行的，但是我們用它驗(yàn)證和解題倒是可以的，讓它協(xié)助我們做一些復(fù)雜的演算也是可以的。初中教材中所提供的都是用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證的方法，這種驗(yàn)證只是在一些局部的范圍內(nèi)具有合理性，所以不能亂用。由于程序員編寫的程序所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理你是看不到的，因此一不小心，我們在不知道的情況下就會犯下循環(huán)論證的錯誤。

參考文獻(xiàn)：

孫熙椿.幾何定理計(jì)算機(jī)證明［M］.科學(xué)出版社，2007-06-01.

編輯 韓 曉

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