不確定性拉索非線性隨機振動的最優(yōu)控制

張巍，應(yīng)祖光，胡榮春

（1.浙江理工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院實驗中心，杭州310018；2.浙江大學(xué)航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州310027）

不確定性拉索非線性隨機振動的最優(yōu)控制

張巍1，應(yīng)祖光2，胡榮春2

（1.浙江理工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院實驗中心，杭州310018；2.浙江大學(xué)航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州310027）

為實施不確定性斜拉索非線性隨機振動的最優(yōu)控制，建立受控拉索的橫向非線性運動方程，運用伽遼金法推導(dǎo)多模態(tài)耦合的振動方程。同時，考慮系統(tǒng)的不確定參數(shù)，建立不確定性系統(tǒng)的隨機最優(yōu)控制問題。隨后，應(yīng)用隨機平均法、微分對策理論與動態(tài)規(guī)劃方法確定HJI方程并得到極大極小控制律，最后通過數(shù)值結(jié)果說明該最優(yōu)控制對于斜拉索非線性隨機振動能夠達到較好控制效果。

振動與波；最優(yōu)控制；不確定性；非線性隨機振動；拉索

拉索是斜拉橋、大跨度支撐結(jié)構(gòu)等的重要構(gòu)件[1]，但因抗彎和抗壓剛度低而易于受環(huán)境激勵產(chǎn)生大幅振動，需要進行非線性振動控制研究。拉索確定性振動的主動和半主動控制已有一定研究[2―5]。然而，環(huán)境激勵通常具有隨機性，斜拉索隨機振動的最優(yōu)控制研究相對缺乏[6]；而且，實際拉索結(jié)構(gòu)的不確定性在所難免，模型系統(tǒng)因此包含不確定參數(shù)。系統(tǒng)的不確定性將退化按確定性設(shè)計的控制效果，由此，考慮不確定性斜拉索隨機振動的最優(yōu)控制尚有待于研究。

微分對策理論是解決不確定性系統(tǒng)振動最優(yōu)控制的一個有效方法，它將該問題歸結(jié)為最壞系統(tǒng)的最優(yōu)控制，即極大極小控制[7]。本文建立受控斜拉索的橫向非線性運動方程，運用伽遼金法推導(dǎo)多模態(tài)耦合的振動方程；然后考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性與隨機激勵。先后應(yīng)用隨機平均法、微分對策理論與動態(tài)規(guī)劃方法確定極大極小控制律；最后通過數(shù)值結(jié)果說明控制效果。

1 受控斜拉索的非線性振動方程

考慮兩端固定張緊的斜拉索[5]，在鉛直平面內(nèi)橫向激勵下的振動，受控彈性索的橫向運動方程為[1]

式中v是橫向位移，m是單位長度質(zhì)量，cv是阻尼系數(shù)，T是靜張力，EA是拉伸剛度，e是非線性動應(yīng)變[4]，s是曲線坐標，n是單位法向矢量，fv包含橫向激勵和控制力。其邊界條件為s=0,L(索長)時，v= 0。利用非線性應(yīng)變與張力表達式、靜平衡關(guān)系，并作無量綱化，式(1)成為

相應(yīng)邊界條件為z=0,1時，w=0，其中無量綱位移w=v/L，坐標z=s/L，斜拉索的傾斜角為a，水平靜張力為Tx，c=cv/m，f=fv/(m L)

將位移展成

它滿足索兩端邊界條件，其中qk為模態(tài)位移。考慮到索的模態(tài)振動幅值隨模態(tài)階次升高而迅速降低，保留到前三階模態(tài)。將式(4)代入(2)，運用伽遼金法，可得索的模態(tài)振動方程

式中ci=2ziwi，zi是阻尼比，是控制力u的位置坐標，x假定為高斯白噪聲激勵。

2 不確定系統(tǒng)的極大極小控制力

將式(5)～(7)表示成It?微分狀態(tài)方程

式中E[·]是期望算符，tf是控制的終時，R=diag [R1,R2,R3]，u=[u1,u2,u3]T，g(H)≥0。根據(jù)微分對策理論與動態(tài)規(guī)劃方法，建立系統(tǒng)(9)和指標(10)的平穩(wěn)HJI方程

式中l(wèi)是H的函數(shù)。由此式左邊可得最壞參數(shù)與最優(yōu)控制

將式(12)代入(11)求解之得到l，代回(12)即得不確定系統(tǒng)的最優(yōu)控制。應(yīng)用隨機平均法可計算系統(tǒng)(8)控制前后的響應(yīng)。

3 數(shù)值結(jié)果

設(shè)某斜拉索的參數(shù)L=130.0 m，a=0.984 rad，A= 60.0 cm2，m=60.0 kg/m，E=180 GPa，Tx=4 000 sin(a) kN，zi=5×10-5，D1=D2=D3=0.01，zc=0.9，Ri=4.0×sin (iπzc)，g=2 H2，。按照式(12)確定極大極小控制，計算受控索的均方位移，同時計算未控索的均方位移，得到相對降低值。作為比較，給出不計系統(tǒng)不確定性的最優(yōu)控制均方位移的相對降低值。結(jié)果如圖1所示，可見考慮系統(tǒng)不確定性的極大極小控制效果更好，能夠改善實際控制效果。圖2展示了受控與未控索響應(yīng)的一個樣本。

圖1 均方位移的相對降低值

圖2 響應(yīng)樣本(實線為受控值，虛線為未控值)

4 結(jié)語

本文綜合應(yīng)用隨機平均法、微分對策理論與動態(tài)規(guī)劃原理研究了不確定性斜拉索非線性隨機振動的最優(yōu)控制問題。建立了受控拉索多模態(tài)耦合的橫向非線性振動方程，應(yīng)用隨機平均法得到平均方程，應(yīng)用微分對策理論與動態(tài)規(guī)劃方法建立HJI方程，從而得到了不確定性系統(tǒng)的極大極小控制律。該考慮不確定性的非線性隨機最優(yōu)控制更切近實際情況，數(shù)值結(jié)果表明能達到更好的實際控制效果。

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Optimal Control of Nonlinear Random Vibration of an Inclined Taut Cable with Uncertainties

ZHANG Wei1,YING Zu-guang2,HU Rong-chun2

(1.Laboratory Center,School of Econom ics and Management,Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018,China; 2.Department of Mechanics,School of Aeronautics and Astronautics,Zhejiang University, Hangzhou 310027,China)

The optimal control of nonlinear random vibration of an inclined taut cable with uncertainties is studied.The nonlinear equation for transverse motion of the controlled cable is derived,and then converted into the vibration equations with multi-mode coupling by using Galerkin method.Considering the uncertainty parameters,the random optimal control model of the uncertainty system is established.Then the HJI equation is determined and the minimum and maximum control laws are obtained based on the random averaging method,differential game theory and dynam ical programm ing principle.Numerical results show that the proposed optimal control method has a good effectiveness for the nonlinear random vibration control of the cable.

vibration and wave;optimal control;uncertainty;nonlinear random vibration;cable

TB52；O32；TU311

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.011

1006-1355(2014)01-0044-03

2013-05-09

國家自然科學(xué)基金項目（11072215）

張?。?965-），女，江蘇南通人，高級工程師，學(xué)士，主要從事信息系統(tǒng)與控制研究。

E-mail:zhweihz@zstu.edu.cn