矩形平板遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)分析

代仁文，王德石，高晟耀

（海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢430033）

矩形平板遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)分析

代仁文，王德石，高晟耀

（海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢430033）

研究矩形平板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)，建立簡(jiǎn)支邊界矩形障板和滑移邊界矩形障板模型。采用傅里葉變換獲得遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)，分析點(diǎn)激勵(lì)載荷和線激勵(lì)載荷作用下遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的變化規(guī)律，并討論激勵(lì)載荷位置以及結(jié)構(gòu)物理特性參數(shù)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的影響。結(jié)果表明，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓隨著激勵(lì)載荷靠近邊緣而減小，相對(duì)于簡(jiǎn)支邊界而言，滑移邊界能增強(qiáng)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)。隨著損耗因子、板厚的增大，將減小整個(gè)頻率段內(nèi)的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)。另外，板密度對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的影響在低頻段和高頻段也呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。通過(guò)聲壓級(jí)變化規(guī)律的分析研究，能為聲學(xué)元件設(shè)計(jì)和噪聲控制機(jī)理的分析提供一定的依據(jù)。

聲學(xué)；矩形平板；遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)；滑移邊界；噪聲控制

在工程運(yùn)用中許多結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為矩形板結(jié)構(gòu)，如橋梁、車廂底板以及潛艇艙室之間的擋板。這種矩型板件對(duì)結(jié)構(gòu)噪聲控制要求較高；因此，研究矩形平板的聲輻射具有實(shí)際意義。通過(guò)研究結(jié)構(gòu)在不同觀測(cè)點(diǎn)聲壓級(jí)的變化規(guī)律可以衡量聲輻射的特性，還能夠?yàn)橛性纯刂铺峁┮欢ǖ睦碚撘罁?jù)。采用Rayleigh積分可求得空間內(nèi)任一觀測(cè)點(diǎn)的聲壓[1]，但其中對(duì)板橫向振動(dòng)位移的積分很難求出，Morse[2]采用傅里葉變換的方法化解Rayleigh積分，從而解決了求解積分的難題。Sakagam i[3]采用傅里葉變換方法分析了在線激勵(lì)、點(diǎn)激勵(lì)、彎矩激勵(lì)載荷下，半無(wú)限長(zhǎng)簡(jiǎn)支矩形加障板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)。徐步青等[4]分析了線分布激勵(lì)載荷下簡(jiǎn)支矩形加障板的遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)聲壓級(jí)。邊界條件對(duì)聲輻射具有較大的影響，A lain Berry[5,6]分別采用級(jí)數(shù)替代和傅里葉變換研究了簡(jiǎn)支邊界、彈性邊界、固支邊界、自由邊界條件下矩形加障板的聲輻射特性。Putra[7]在文章第五部分詳細(xì)對(duì)比分析了滑移邊界和簡(jiǎn)支邊界的模態(tài)聲輻射效率。

本文在文獻(xiàn)[2，6]的基礎(chǔ)上，采用傅里葉變換推導(dǎo)簡(jiǎn)支邊界和滑移邊界條件下矩形加障平板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)，并分別分析線激勵(lì)載荷和點(diǎn)激勵(lì)載荷作用下矩形平板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)公式。在第三部分以簡(jiǎn)支邊界為例研究幾何和物理特性參數(shù)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的影響。

1 遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓基本理論公式

圖1為鑲嵌在無(wú)限大障板中矩形板的聲輻射模型，矩形板長(zhǎng)、寬、高分別為2 b、b、h。當(dāng)矩形板靜止時(shí)與障板處于同一平面。圖1 a、圖1 b分別為簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)載荷和簡(jiǎn)諧線分布激勵(lì)載荷的聲輻射模型，由于障板只是向半空間內(nèi)輻射聲場(chǎng)。

根據(jù)Rayleigh積分，空間內(nèi)任意觀察點(diǎn)的聲壓可表示為

對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)（r＞＞a,r＞＞b），從矩形板上各面元輻射的聲波到觀察點(diǎn)時(shí)振幅的差異很小，所以（1）式中r′可以用r表示，即r′-1≈r-1。采用傅里葉變換方法可將Rayleigh積分變換為[1]

其中γx=k0sinθcosφ，γy=k0sinθsinφ，

k0表示波數(shù)表示板橫向位移方程的傅里葉變換式

同時(shí)可將板的橫向位移表示為

從式（2）可發(fā)現(xiàn)，只要求出式w?(γx，γy)則可導(dǎo)出遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓的表達(dá)式。

1.1 簡(jiǎn)支矩形板遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓輻射

根據(jù)板振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可得板振動(dòng)橫向位移的微分方程形式為

若在y=l上施加簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷，激勵(lì)載荷的形式為

其中F0表示激勵(lì)載荷的幅值，δ表示Dirac delta函數(shù)。

則板的橫向位移可表示為各模態(tài)的組合形式

其中Wmn表示位移振動(dòng)幅值，φ() x,y表示位移振型函數(shù)，四邊簡(jiǎn)支條件的矩形板，其振型函數(shù)取為

則將式（7）和（8）帶入式（5），則可導(dǎo)出

圖1 鑲嵌在無(wú)限大障板中的矩形簡(jiǎn)支板聲輻射模型

則位移振幅可表示為

因此，橫向位移表示為

振型函數(shù)傅里葉變換式為

因此，橫向位移的傅里葉變化式為

將上式帶入式（2），可獲得矩形簡(jiǎn)支板在遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓表達(dá)式

若簡(jiǎn)支板在點(diǎn)(p，q)處受到簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)載荷的作用，則激勵(lì)力的形式為

類似求解簡(jiǎn)諧線激勵(lì)載荷的方法，可獲得簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)載荷作用下板結(jié)構(gòu)的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓表達(dá)式為

1.2 滑移邊界條件下遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓輻射

滑移邊界表示在邊界處橫向有微小的滑動(dòng)，扭矩為零但彎矩不為零。則滑移邊界的振型函數(shù)一般取為

采用2.1節(jié)中的方法可導(dǎo)出

（1）滑移邊界矩形板在y=l處受到簡(jiǎn)諧線激勵(lì)力作用，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓為

（2）滑移邊界矩形板在() p，q處受到簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)力作用時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓為

2 仿真分析

2.1 不同邊界條件下聲壓級(jí)

圖2為不同邊界條件下矩形板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)，線激勵(lì)位置為y=0.1處，點(diǎn)激勵(lì)位置在() 0.1，0.1處，觀測(cè)點(diǎn)均為為達(dá)到更明顯的分析效果，分析了0～25 00 Hz內(nèi)的聲壓級(jí)變化曲線。從圖中可看出，滑移邊界板的峰值聲壓滯后簡(jiǎn)支條件發(fā)生。在第二共振頻率內(nèi)ss和gg邊界板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓相差最大為35 dB，從而可得出，在低頻段（約250 Hz）設(shè)計(jì)簡(jiǎn)支邊界可增加聲輻射，在中高頻段簡(jiǎn)支條件減小聲輻射。

2.2 激勵(lì)載荷位置對(duì)聲壓的影響

圖3為線激勵(lì)、點(diǎn)激勵(lì)載荷不同激勵(lì)位置的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)，觀測(cè)點(diǎn)為φ=0，θ= π 4。從圖中可以看出，隨著作用點(diǎn)靠近邊緣，在低頻段和高頻段聲壓輻射而減弱；在中間頻段出現(xiàn)交替變化。

圖2 不同邊界條件下遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)隨頻率變化規(guī)律

圖3 激勵(lì)力位置對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的影響

2.3 物理特性參數(shù)變化對(duì)聲壓輻射的影響

結(jié)構(gòu)聲輻射特性與幾何和物理特性參數(shù)密切相關(guān)，此部分以簡(jiǎn)支板受到點(diǎn)激勵(lì)作用為例，結(jié)構(gòu)損耗因子、板厚度以及板密度的變化對(duì)簡(jiǎn)支矩形板遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓的影響。

圖4、圖5為結(jié)構(gòu)受到點(diǎn)激勵(lì)載荷的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)響應(yīng)圖，激勵(lì)點(diǎn)為() 0.3，0.3處受到時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)為從圖5中可知，隨著縱橫比的增大，峰值發(fā)生頻率減小，在小于最低共振頻率內(nèi)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓輻射而增強(qiáng)，在中高頻率段聲壓峰值出現(xiàn)交替變化，在高頻段(5 000 Hz～8 000 Hz)小縱橫比的聲壓峰值較大。說(shuō)明在工程上最有意義的頻率段[3]（500～1 000 Hz）內(nèi)，可以針對(duì)具體頻率和具體聲學(xué)要求設(shè)計(jì)聲學(xué)元件。從圖4中可知，在所有頻段內(nèi)兩條曲線的變化規(guī)律具有一致性，峰值出現(xiàn)的位置相同，但聲壓級(jí)的峰值隨著損耗因子的增加而明顯降低。這是因?yàn)閾p耗因子η的增大僅引起D的增大，從而僅減小聲壓幅值。說(shuō)明增加阻尼材料的損耗因子，對(duì)于聲輻射有較強(qiáng)的抑制作用。

圖4 損耗因子對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的影響

圖5 板厚對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的影響

板厚影響板的剛度和單位體積質(zhì)量，板厚對(duì)聲壓輻射的影響如圖5所示。從圖中可知，在整個(gè)頻段內(nèi)，隨著板厚的增加各階共振頻率隨之增大，聲壓級(jí)峰值隨之減小。圖6為板密度對(duì)聲壓輻射影響的仿真圖，圖6 a表示θ=0處的聲壓級(jí)，圖6 b表示處的聲壓級(jí)。在θ=0情況下，小于最低共振頻率內(nèi)，聲壓輻射隨著板密度的增加而增強(qiáng)，其余頻率段聲壓輻射隨著密度的增大而減弱。但在的情況下，在1 000 Hz～3 000 Hz頻率帶不同密度聲壓級(jí)的峰值出現(xiàn)交替變化。

圖6 密度對(duì)聲壓輻射的影響

3 結(jié)語(yǔ)

本文采用傅里葉變換方法獲得簡(jiǎn)支邊界和滑移邊界矩形加障板的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)，以簡(jiǎn)支邊界為例研究了聲壓級(jí)的變化規(guī)律，分析了滑移邊界與簡(jiǎn)支邊界的遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓級(jí)的對(duì)比關(guān)系。在低頻段和高頻段聲壓輻射隨著作用點(diǎn)靠近邊緣而減弱，在中間頻率段出現(xiàn)交替變化；在大于第二共振頻率段內(nèi)滑移邊界相對(duì)于簡(jiǎn)支邊界聲輻射較強(qiáng)，從而可知加工為簡(jiǎn)支邊界能夠減小聲輻射。最后，分析研究了幾何參數(shù)和物理特性參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)支矩形板遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓的影響。分析表明，隨著結(jié)構(gòu)損耗因子、板厚的增加，在整個(gè)頻率段內(nèi)聲輻射均減弱；隨著板密度的增加，在小于第一共振頻率內(nèi)和高頻段聲輻射均增強(qiáng)，中間頻率段峰值交替變化，總體上隨著參數(shù)的增加的聲輻射減弱。

[1]Strutt J W,Lord Rayleigh.Theory of sound[M].London: Mac M illan,1896:107.

[2]Morse P M and Ingrad K U.Theoretical acoustics[M].M c Graw-Hill,NY,1968;rpt.Princeton University Press,NJ, 1986,375-379.

[3]M ichishita K,Sakagam i K,Morimoto M,Svensson U P.Sound radiation from an unbaffled elastic plate strip of infinite length[J].Applied Acoustics,2000,61:45-63.

[4]徐步青，揚(yáng)紹普，馬心坦.線分布激勵(lì)下功能梯度材料矩形板聲輻射研究[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，33(1)：54-58.

[5]Berry A,Guyader J and Nicolas J.A general formulation for the sound radiation from rectangular,baffled plates with arbitrary boundary conditions[J].J.Acoust.Soc.Am.,1990,88:2792-2802.

[6]W L L.Vibroacoustic analysis of rectangular plates with elastic rotational edge restraints[J].J.Acoust.Soc.Am., 2006,12(2):769-779.

[7]Putra A,Thompson D J.Sound radiation from rectangular baffled and unbaffled plates[J].Applied Acoustics,2010, 71:1113-112.

Analysis of Far-filed Sound Pressure Level of Rectangular Plates

DAI Ren-wen,WANG De-shi,GAO Sheng-yao

（Department of Weapon Engineering,Navy University of Engineering,Wuhan 430033,China）

The far-field sound pressure level of rectangular plates is studied.Acoustic models for simply supported and guided supported rectangular plates in an infinite baffle are established respectively.The far-field approximate solution is derived in a closed form using Fourier transform method.Two kinds of possible concentrated forces,a line force and a point force,are included respectively in the analysis.Furthermore,a parametric study is carried out to clarify the effect of the incentive loading position and the various physical parameters of the rectangular plates.It is concluded that,the far-field pressure level decreases with the location of the incentive loading approaching the edge of the plate.In comparison with the simply supported edge,the guided edge can enhance the far-field radiation sound pressure.With the increasing of the loss factor and the thickness of the plate,the far-field sound pressure level decreases in overall frequency range.On the other hand,density of the plate has different influences on the far-field sound pressure level in low frequency range and high frequency range respectively.This work may provide a foundation for design of acoustic components and analysis of active noise control.

acoustics;rectangular plate;far-filed pressure level;guided supported edge;noise control

TB5；O422.6

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.006

1006-1355(2014)01-0023-05

2013-01-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50875259）海軍工程大學(xué)自然科學(xué)基金（HGDQNJJ033）

代仁文（1988-），男，碩士研究生，四川樂(lè)至人，主要從事水下航行體振動(dòng)與噪聲控制研究。

E-mail:dairwen@163.com